HYDRODYNAMIQUE.
Essai sur les oscillations et l’équilibre des corps
flottans ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Lorsqu’un corps est d’une densité moindre que celle d’un fluide
dans lequel il est plongé, il existe toujours une position où ce
corps est en équilibre, quelle que soit d’ailleurs sa figure ; car il
suffit pour cela, comme on le sait, par les principes de l’hydrostatique, que le centre de gravité du corps et celui de sa partie
plongée, et considérée comme homogène soient dans une même
verticale ; et de plus que le poids total du corps soit égal à celui du
volume de fluide qu’il déplace.
Si, par quelque cause que ce soit, ce corps est écarté de sa
position d’équilibre, et ensuite abandonné à lui-même, il prendra
généralement deux mouvemens ; l’un de translation dû à la différence entre le poids de ce corps et celui du fluide déplacé :
l’autre de rotation dû au défaut de verticalité de la droite qui joint
le centre de gravité du corps à celui du volume de sa partie submergée.
On a, depuis long-temps, les conditions générales de la stabilité
de l’équilibre des corps flottans. Ces conditions suffisent lorsqu’on fait abstraction de la figure de ces corps ; mais, lorsqu’il s’agit
d’évaluer leurs mouvemens oscillatoires, d’après leur forme particulière, il faut avoir recours à la nature de la surface qui les
termine, non seulement pour leur stabilité, mais encore pour apprécier quelle est la surface qui peut le mieux remplir des conditions données, conjointement avec la stabilité.
Nous sommes loin de prétendre de donner ici une théorie complète
des corps flottans ; nous nous proposons seulement de résoudre
généralement ce problème : Étant donné l’équation de la surface qui termine un corps, sa position initiale et celle de son centre de gravité ; déterminer les mouvemens oscillatoires de ce corps, en fonction des constantes qui entrent dans l’équation de cette surface et de celles qui servent à déterminer tant la position du centre de gravité du corps que sa position initiale dans le liquide ?
Nous nommerons axe du corps la droite, invariable par rapport
à lui, qui, passant par son centre de gravité, devient verticale
dans sa position d’équilibre. Après le dérangement de ce corps,
c’est-à-dire, lorsqu’il est hors de cette position, cet axe qui cesse
alors d’être vertical, détermine, avec la verticale qui passe alors
par le centre de gravité, un certain plan vertical qui partage le
corps en deux parties. Lorsque ces deux parties sont inégales, ce
qui est le cas général du problème, l’axe du corps, pendant le
mouvement, sort du plan vertical que nous venons de considérer.
Lorsqu’au contraire ces deux parties sont égales et semblablement
placées par rapport à ce plan, l’axe y reste pendant le mouvement ;
car, tout étant alors égal de part et d’autre du plan vertical, il
n’y a aucune raison pour que cet axe en sorte. Nous traiterons
d’abord ce cas particulier.
Nous allons, avant tout, rapporter les équations générales du
mouvement d’un corps de figure quelconque, sollicité par des forces
quelconques ; ainsi que les formules pour passer d’un système de
coordonnées rectangulaires sur un plan à un autre système de
coordonnées de même nature.
Si l’on désigne par les trois coordonnées rectangulaires
de l’un des élémens matériels d’un corps pour l’époque et par les composantes parallèles aux axes de la force
accélératrice qui sollicite cet élément à la même époque, on
aura[1] les six équations suivantes, pour déterminer le mouvement de ce corps
le signe intégral devant être étendu, dans ces six équations, à la
masse entière du corps.
Pour passer, sur un plan, d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de même nature, on a les formules connues
et étant les coordonnées dès l’origine des et l’angle
que font entre eux les axes des et des cet angle étant
compté de droite à gauche, à partir de l’axe des Lorsque
l’angle devient obtus, les formules (3) se changent en celles-ci
étant supposé le supplément de l’angle obtus c’est-à-dire, que l’angle
est aigu ; mais il est compté de gauche à droite,
à partir de l’axe des
Soit maintenant (fig. 1) la section verticale qui divise
le corps en deux parties égales et semblablement disposées, par
rapport à cette section ; soient l’intersection de ce plan avec
le plan de flottaison, lorsque le corps a été écarté de sa position
d’équilibre ; une perpendiculaire à l’axe de ce corps ; le
centre de gravité du corps ; et ceux des volumes des parties de ce
corps correspondant respectivement aux sections et Soient de plus et une troisième droite perpendiculaire
à la section et non représentée dans la figure, trois axes
rectangulaires, fixes dans le corps, et auxquels on rapporte la
surface qui le termine ; soient encore tangente à la surface au
point perpendiculaire à cette tangente, dans le plan de
la section, et une troisième droite perpendiculaire aux deux
autres, et non représentée dans la figure, trois autres axes, rectangulaires, mobiles dans le corps durant son mouvement ; soient enfin verticale et horizontale deux axes rectangulaires auxquels on rapporte le mouvement de rotation du corps. Quant au
mouvement de translation, nous le rapporterons à la ligne fixe
[2]. Supposons en outre ( étant la valeur qui répond à l’état
d’équilibre),
[3]
On a, par les deux dernières suppositions,
étant, comme à l’ordinaire, le rapport de la circonférence au diamètre.
Si l’on désigne par le volume élémentaire qui répond à l’élément matériel du corps, étant, comme à l’ordinaire, la
gravité, et la densité du fluide ; on aura
L’intégrale devant être étendue à la masse entière du corps,
et ne devant être étendue qu’au volume de la partie de ce
corps plongée dans le fluide, on aura, plus simplement,
le point placé au-dessus de indiquant que, dans l’intégrale, il ne faut retenir que les termes qui dépendent de l’enfoncement du corps et de son inclinaison après qu’il aura été écarté de sa position d’équilibre. De plus, comme pour le mouvement de rotation, on a
R étant le rayon vecteur mené du point à la projection d’un
point quelconque du corps sur le plan des et l’angle que fait ce rayon vecteur avec l’axe des avant que le corps ait
été écarté de sa position d’équilibre, on aura
étant le moment d’inertie du corps, relativement à l’axe de
rotation. Observant de plus qu’ici et les équations
du mouvement seront ainsi
(5)
(6)
Nous avons placé un trait au-dessus de la coordonnée horizontale afin de la distinguer de celle qui entre dans l’équation de la surface, dont nous allons faire usage.
Soit l’équation de la surface qui termine le corps
dont il s’agit ; désignons par les coordonnées du point rapporté aux axes l’équation de la même surface, portée aux nouveaux axes sera, par les formules
(4) ; et après avoir changé les signes des coordonnée
Prenons deux nouveaux axes rectangulaires des situés
dans le plan soit l’axe des on a (3)
substituant donc et faisant on aura, pour la section du
corps par le plan dont est la trace, l’équation
Au moyen de cette équation, on calculera l’aire de cette section,
dans laquelle l’angle entrera comme variable, de sorte qu’en prenant une section consécutive, qui fera avec la première un angle
nous pourrons représenter le volume élémentaire par le solide que ces deux sections consécutives détacheront du
corps, et auquel on peut donner le nom d’onglet ; volume que
l’on calculera rigoureusement par le Théorème de Guldin. sera
donc de cette forme étant considéré comme une fonction
de l’angle On aura donc en intégrant depuis
jusqu’à et en ne retenant, dans l’intégrale, que
les termes qui contiennent et
On obtiendra en fonction de l’angle en observant d’abord que
valeur dans laquelle (3)
De plus, puisque désigne la distance du centre de gravité de
l’élément à l’axe des on aura
d’où
les intégrales devant être prises depuis jusqu’à
Pour compléter cette méthode, il nous reste à déterminer les
coordonnées et du point et l’angle que font entre eux
les axes et Si, dans l’équation de la surface courbe, on fait on aura l’équation de la section savoir
ou bien, en dégageant
combinant cette équation avec celle de la ligne savoir,
dans laquelle on fait, pour abréger,
on aura les coordonnées d’où
Le point place au-dessus de indiquant qu’il faut faire après la différentiation. Cette tangente est prise négativement, parce
que les ce positifs sont comptés suivant la direction
On peut, au lieu de la section dont est la trace, sur le
plan prendre une section parallèle au plan de flottaison.
En effet, si l’on rapporte l’équation de la surface courbe aux axes
on aura(3)
Si, dans cette équation, on considère comme une constante,
ce sera l’équation de la section parallèle au plan de flottaison ; l’aire
de cette section, multipliée par sera donc, en intégrant
depuis jusqu’à égal à la distance comprise entre la ligne
et une parallèle à cette ligne tangente à la courbe on aura le volume du fluide déplacé. Quant à il sera facile de
l’avoir en fonction de car, pour cela, il ne faudra que calculer
la distance du centre de gravité de cette section à l’axe Il
est clair d’ailleurs que la limite des intégrales s’obtiendra, en faisant dans l’équation différentielle de la section rapportée aux axes car, de cette égalité, on tirera la
valeur de l’abscisse laquelle, étant substituée dans l’équation
de la courbe, donnera pour la limite en question.
Cette dernière méthode est plus simple que la précédente, en
ce que le centre de gravité de l’élément est plus facile à déterminer, et que la transformation des coordonnées est moins
compliquée. Au reste, il y a un cas, que nous allons prendre pour
exemple, et pour lequel l’une et l’autre méthodes paraissent jouir
d’un même degré de simplicité.
Supposons que le corps dont il s’agit soit un cylindre droit
ayant pour base l’une des sections coniques, renfermée dans l’équation
et représentée par (fig. 2) ; on aura, par la première méthode,
en faisant, pour abréger ;
Et comme, dans cet exemple, la fonction se réduit à
et à
désignant la hauteur du cylindre et le rayon vecteur on aura facilement, au moyen des valeurs précédentes
de et la valeur de ce rayon vecteur. On trouve, tout calcul fait,
en posant, pour abréger,
au moyen de cette expression de on intégrera
et par
les méthodes connues ; de sorte qu’en représentant respectivement
par les trois intégrales
prises entre les limites les équations du mouvement se changeront en
(7)
(8)
Telles sont les équations rigoureuses du problème, en faisant
abstraction de la résistance du fluide, ce qui est fort inexact. Nous
allons en déduire le cas que l’on sait résoudre généralement ; celui
où le dérangement du corps est fort petit, et pour lequel la résistance du fluide est une quantité assez petite pour être négligée ;
ce qui rend les équations du mouvement linéaires, en négligeant
les puissances de et supérieures aux premières. Nous appliquerons ensuite directement à ce cas une méthode qui nous a paru assez simple.
Dans le cas où la base du cylindre est un cercle, on a
étant le rayon du cercle. En ne retenant, dans leur second
membre, développé au moyen du Théorème de Maclaurin, que
les premières puissances de et et observant qu’à cause de
on a
les équations (7) et (8) s’intègrent facilement. On obtient ainsi,
tout calcul fait, en posant, pour abréger
(9)
(10)
étant des constantes arbitraires.
Lorsqu’on se borne aux premières puissances de et on peut
parvenir aux équations linéaires, au moyen de la méthode suivante,
qui nous a paru assez simple. D’abord, il est clair que la partie
de que nous avons à considérer peut être assimilée, en général,
à un cylindre ayant pour base la section du plan de flottaison et,
dans notre exemple, à un parallélipipède ayant pour base
et ayant pour hauteur la petite quantité car il est aisé de
s’assurer que l’enfoncement du corps dû à la petite quantité est
du second ordre ; on a donc ainsi, après avoir substitué ce rectangle dans l’équation (5) et intégré,
expression qui, en faisant et est parfaitement conforme à celle que nous avons obtenue précédemment d’une autre manière.
Si l’on désigne par le volume du fluide déplacé dans la position d’équilibre du corps, par la distance du centre de gravité du même volume au centre de gravité du corps ; si, de plus,
on désigne par les mêmes caractères, mis entre parenthèses, les
mêmes quantités relatives au fluide déplacé par le corps, après
qu’il a été écarté de sa position d’équilibre, on aura rigoureusement
de manière qu’en négligeant les puissances de et supérieures
aux premières, on a tout de suite
attendu que les quantités et ne diffèrent respectivement
de et que par des termes qui dépendent de et lesquels
deviennent nuls, lorsque et sont zéro.
Si des points et on abaisse sur les perpendiculaires
et on aura la proportion
En exprimant par le volume du corps correspondant au secteur
on tire de cette proportion
étant de la forme si l’on fait on aura
d’où
substituant cette expression dans l’équation (6) et intégrant, on a
Dans le cas où le corps plongé dans le fluide est un cylindre,
on as
et
d’où
le point placé au-dessus de indiquant qu’il faut y faire
De plus, en conservant les mêmes dénominations que ci-dessus, il est aisé de voir
que l’on a
l’intégrale devant être prise depuis jusqu’à On tire
de là, à cause de
Appliquons cette formule au cylindre dont la base est une ellipse
ou un cercle. Si l’on fait
[4], on intégrera facilement, et on trouvera
Lorsque la base du cylindre est un cercle ; on a
on trouve ainsi, tout calcul fait,
Cette expression coïncide avec celle que nous avons obtenue précédemment d’une autre manière ; car, au moyen de la formule connue
de trigonométrie qui donne la tangente de la somme de deux arcs,
en fonction des tangentes de chacun d’eux, on trouve
En conservant les mêmes dénominations que ci-dessus, on
trouve, pour la sphère dont le rayon est soit par l’une soit
par l’autre des deux méthodes que nous venons de rapporter
étant les constantes arbitraires.
On peut parvenir très-facilement aux expressions précédentes
de relatives au cylindre et à la sphère, en considérant que,
quel que soit le dérangement du corps, le centre de gravité du fluide que ce corps déplace est toujours sur une droite (fig. 2)
verticale, passant par le centre du cercle ou de la sphère ; distance qui est généralement
ou bien
et qui
doit être multipliée, dans le premier cas, par le volume d’un
segment de cylindre, et dans le second, par le volume d’un segment de sphère ; calcul que l’on peut faire par la géométrie ordinaire, et auquel répondent les expressions précédentes, qui deviennent respectivement, dans le cas où le cylindre et la sphère
sont entièrement plongés dans le fluide
Quant aux valeurs de elles sont nulles, comme cela doit être.
L’inspection des valeurs de et relatives au cylindre à base
circulaire et à la sphère, suffit pour faire voir, d’une part, que le mouvement diminue à mesure que
et augmentent ensemble
ou séparément ; et de l’autre part, que le mouvement de translation étant le plus grand possible, lorsque l’enfoncement est fort petit, augmente jusqu’à et qu’enfin il diminue jusqu’à où il est nul. Mais, comme la densité se trouve
liée avec la hauteur il faudrait avoir en fonction de ou
réciproquement, afin de pouvoir évaluer l’enfoncement qui répond
au mouvement d’oscillation le plus lent. Quant au mouvement de
rotation, la quantité qui multiplie devant toujours être positive, on voit que le corps oscillera autour de la position d’équilibre, ou qu’il restera dans la position où il aura été placé,
ou enfin qu’il chavirera, suivant que la hauteur du centre de
gravité sera plus petite que le rayon de la base du cylindre ou de
la sphère, ou qu’elle lui sera égale, ou enfin qu’elle sera plus grande.
Passons maintenant au cas général. Soient, pour cela, (fig. 3) trois axes rectangulaires, menés par le point centre
de gravité du corps. Soit un plan qui fasse, avec l’axe des
un angle de manière à ce que soit l’angle variable
dû au mouvement du corps autour de l’axe que nous supposons vertical, et un angle constant, pris à volonté. Soient
encore la commune section de ce dernier plan avec celui des
en sorte que l’on ait la section, du corps faite par le plan la section du même corps faite par
le plan de flottaison. Si l’on suppose en outre que la ligne située dans le plan ne soit autre chose que l’axe qui,
après le dérangement du corps de sa position d’équilibre, a pris
cette situation et que et soient respectivement les projections de l’angle sur les plana des et des il
est clair que les équations du mouvement de rotation, autour des
axes et étant analogues à l’équation (6) des problèmes
précédens, on aura, en y comprenant l’équation du mouvement
de translation,
et désignant les momens d’inertie relatifs aux axes des
et des quant aux autres quantités, elles ont la même signification que dans les problèmes précédens. Tout se réduit ainsi à
avoir les intégrales
étendues à toute la partie
du corps plongée dans le fluide.
Les moyens qui se présentent ici pour avoir les intégrales sont
analogues à ceux que nous avons employés pour les corps terminés
par des surfaces de révolution, et pour ceux qu’un plan invariable
de situation, dans le mouvement, partage en deux parties symétriques. Nous nous bornerons, dans le présent mémoire, à indiquer
le dernier de ces moyens, qui nous a paru plus simple ; parce que
nous emploîrons une autre méthode pour arriver aux équations du
problème.
En effet, si l’on rapporte l’équation de la surface courbe qui
termine le corps à trois axes respectivement parallèles aux axes
ayant le point pour origine, et que l’on considère comme une constante dans cette équation, à laquelle nous donnerons la forme
on aura l’équation d’une section du
corps parallèle au plan de flottaison ; l’aire de cette section sera
une fonction de qui, multipliée par sera, l’élément
et seront aussi des fonctions de donc, en intégrant, depuis jusqu’à égal à la distance comprise entre le plan de flottaison
et un plan qui, lui étant parallèle, soit tangent à la surface courbe qui termine le corps, on aura les intégrales
étendues
à toute la partie de ce corps plongées dans le fluide.
Les conditions
étant celles d’un plan parallèle au plan de flottaison ; et tangent à
la surface courbe qui termine le corps ; elles feront connaître les
coordonnées du point de tangence, lesquelles étant substituées dans
l’équation
donneront, la valeur de la coordonnée verticale limite des intégrales en question.
Soient maintenant
trois axes fixes dans le corps,
auxquels on rapporte d’abord l’équation de la surface du corps.
Pour rapporter cette même surface aux axes respectivement parallèles à
ayant le point pour origine, il faut,
suivant la méthode d’Euler[5], avoir l’équation du plan des qui s’obtiendra au moyen de l’équation de la droite savoir :
afin d’en déduire l’angle que fait l’axe des avec l’intersection
des plans des et des et l’angle que fait cette intersection
avec l’axe des
Le calcul du premier de ces angles présente deux cas, savoir : 1.o lorsque l’axe des est dans le plan cas qui se rapporte
à un triangle sphérique rectangle dont on connaît les deux côtés
qui comprennent l’angle droit, en fonction des angles
2.o lorsque l’axe des fait un angle avec l’intersection des plans
des et des cas qui se rapporte au calcul de deux triangles
sphériques, l’un rectangle et l’autre obliquangle, dans chacun desquels on connaît deux côtés et l’angle compris.
On aura ainsi les intégrales
en fonction des
angles
et de l’enfoncement Éliminant ensuite les
angles
au moyen des relations que l’on obtiendra, par
les formules de trigonométrie sphérique, on aura ainsi les équations (11), en fonction seulement des angles et et de l’enfoncement Au reste, les relations que l’on aura entre tous les angles
pourront servir à transformer les équations (11)
de manière à n’y faire entrer que deux de ces derniers angles, ce
qui pourra simplifier l’intégration dans certains cas. Lorsque l’angle est nul, on a les relations
lesquelles suffisent, comme on voit, pour éliminer les angles et des
équations (11).
Telles seraient les équations générales du problème, en faisant
abstraction de la résistance du fluide, ce qui est fort inexact. Nous
pourrions néanmoins en déduire le cas que l’on sait généralement
résoudre : celui où le dérangement du corps de sa position d’équilibre est fort petit, et pour lequel la résistance du fluide est une
quantité assez peu sensible pour être négligée ; mais nous nous
contenterons, dans le présent mémoire, de traiter ce dernier cas,
en y appliquant directement une méthode analogue à celle que
nous avons employée précédemment.
Pour cela, nous mènerons, par le point un plan perpendiculaire à l’axe Soit la section qui en résulte. Puisque le
corps a été incliné suivant le plan on conçoit que la section
touche la section au point Soit le centre de gravité
de la partie lequel se trouve nécessairement sur l’axe
soient le centre de gravité du secteur et le centre
commun de gravité de ces deux parties réunies, c’est-à-dire, le
centre de gravité de la partje du corps plongée dans le fluide. Soient
enfin les projections de l’angle sur les plans des et des respectivement ; on aura, par le principe des momens,
et en vertu de la notation adoptée précédemment,
désignant la partie du volume du corps plongé dans le fluide,
dans l’état d’équilibre, et la distance du centre de gravité du
même volume au point On trouve, par les formules de trigonométrie, et en se bornant aux premières puissances des angles et
par conséquent on a, dans la même hypothèse,
étant le volume du segment divisé par et étant les coordonnées horizontales du centre de gravité du même segment,
rapportées aux axes
De plus, il est aisé de démontrer (en se bornant toujours aux
premières puissances de
) que
représentant la surface de la section du corps faite par le plan
de flottaison, dans sa position d’équilibre. Donc, substituant ces
dernières expressions dans les équations (11) et intégrant, on aura
étant les constantes arbitraires.
Appliquons ces formules à l’ellipsoïde. Nous aurons d’abord
étant les trois axes de l’ellipsoïde, de manière à ce que
l’axe soit vertical, dans la position d’équilibre.
Pour avoir et supposons que la figure 4 représente le
segment de la figure 3. Soient une tangente au point
les coordonnées de ce point, rapportées aux axes
qui sont ceux de la figure 3, transportés parallèlement à
eux-mêmes ; l’angle que fait la tangente avec l’axe des l’angle Cela posé, si l’on conçoit la pyramide élémentaire
déterminée par les deux plans consécutifs faisant entre eux l’angle fort petit, et par deux autres plans consécutifs
perpendiculaires au plan et faisant entre
eux un angle infiniment petit l’angle étant compté à partir
de l’axe des on trouvera
les intégrales devant être prises depuis jusqu’à formules dans lesquelles on a d’ailleurs
Les différentielles à intégrer sont, comme l’on voit,
Il est aisé de voir, 1.o que l’intégrale de la première de ces différentielles est algébrique ; 2.o que la seconde et la troisième sont
du genre de celles que l’on appelle binômes, et sont par conséquent faciles à intégrer ; 3.o enfin que la quatrième et la cinquième sont du genre de celles que l’on appelle irrationnelles, et qu’elles pourront s’intégrer en faisant
Pour la quatrième
Et pour la cinquième
car on trouve ainsi
Dans le cas d’un ellipsoïde de révolution autour de l’axe on
a
on trouve pour ce cas
quantités indépendantes de l’angle comme cela doit être, puisque l’on a
c’est-à-dire que l’angle est
alors enveloppé dans les valeurs des constantes et Il résulte
de là que
Ce résultat convient également à en changeant seulement les
constantes et On voit, par cette valeur de que le corps
oscillera autour de sa position d’équilibre ; qu’il restera dans la position où on l’aura placé, ou enfin qu’il chavirera, suivant que
sera plus petit que
égale à cette quantité ou plus grande qu’elle. De plus, cette valeur de qui coïncide avec celle de relative à la sphère, lorsque
donne le même résultat lorsque c’est-à-dire, lorsque
l’ellipsoïde est entièrement plongé dans le fluide, ce qui fait voir
que le mouvement est nul dans ce cas (comme on le sait d’ailleurs)
lorsque le centre de gravité du corps est à son centre de figure.