Démonstration des deux théorèmes de géométrie énoncés à la page 116 de ce volume ;
Par MM. Vecten, licencié ès sciences,
Durrande, professeur de mathématiques au collége royal de Cahors,
Frégier, professeur de mathématiques au collège de Troyes, ancien élève de l’école polytechnique,
Fabry, aussi ancien élève de l’école polytechnique,
Et Gergonne.
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Les démonstrations données par M. Durrande, Vecten et Frégier
de ces deux théorèmes étant exactement les mêmes, nous allons
les confondre dans une seule rédaction.
THÉORÈME I. Un point étant pris arbitrairement dans l’intérieur d’un triangle quelconque et étant respectivement les points où les côtés de ce triangle sont rencontrés par les prolongemens des droites menées des sommets opposés au point on aura
Démonstration. Des sommets soient abaissées des perpendiculaires
sur les directions des côtés respectivement opposés ; et du point soient abaissées, sur les mêmes
directions, les perpendiculaires
À cause des parallèles, on a les trois équations
mais, d’un autre côté, les triangles se trouvant avoir une base commune avec le triangle le rapport
de leurs aires à la sienne doit être le même que celui des hauteurs ; c’est-à-dire, qu’on doit avoir
au moyen de quoi les équations ci-dessus deviennent
ajoutant donc ces trois dernières équations membre à membre, en observant que
on aura
c’est-à-dire le théorème énoncé.
On a évidemment
retranchant donc de cette équation celle du théorème, il viendra
équation qui peut aussi avoir son utilité. Cette remarque est due
à M. Vecten.
THÉORÈME II. Un point, étant pris arbitrairement dans l’intérieur d’un tétraèdre quelconque et étant respectivement les points où les faces de ce tétraèdre sont rencontrées par les prolongemens des droites menées des sommets opposés au point on aura
Démonstration. Des sommets soient abaissées,
sur les plans des faces opposées, les perpendiculaires et du point soient abaissées, sur les mêmes plans,
les perpendiculaires
À cause des parallèles, on a les quatre équations
mais, d’un autre côté, chacun des tétraèdres se trouvant avoir une base commune avec le tétraèdre
le rapport de leurs volumes doit être le même que celui de leurs
hauteurs ; c’est-à-dire qu’on doit avoir
au moyen de quoi les équations ci-dessus deviennent
ajoutant donc ces dernières membre à membre, en observant que
on aura
c’est-à-dire le théorème énoncé.
On a évidemment,
retranchant donc de cette équation celle du théorème, il viendra
équation qui peut aussi avoir son utilité. Cette remarque est due
à M. Vecten.
Les démonstrations de M. Fabry ne diffèrent de celles-ci qu’en
ce que, par le point il mène une droite ou un plan parallèle
à l’un des côtés du triangle ou à l’une des faces du tétraèdre, ce
qui établit des proportions faciles a reconnaître, et dont la combinaison conduit au résultat cherché ; ses démonstrations ont ainsi
l’avantage de ne dépendre aucunement des théorèmes sur la mesure
des aires et des volumes.
Nous sommes tombés très-simplement sur ces deux théorèmes,
en cherchant à décomposer une masse, supposée réduite à un point,
en trois ou quatre autres situées aux sommets d’un triangle ou d’un tétraèdre, dans l’intérieur duquel la masse dont il s’agit se trouve
située. Cette manière d’envisager les deux théorèmes en fournira une
nouvelle démonstration fort simple, ainsi qu’on va le voir.
I. Soit une masse située en dans l’intérieur d’un triangle
et qu’il s’agit de décomposer en trois autres masses
situées à ses sommets. Le problème est évidemment déterminé ; et
conséquemment, de quelque manière d’ailleurs qu’on le résolve, on
doit constamment parvenir au même résultat.
Or, la manière la plus simple et la plus naturelle de résoudre ce
problème est la suivante : soit menée prolongée jusqu’à la
rencontre de en et soit décomposée la masse en deux
autres, l’une située en et l’autre
située en il ne
s’agira plus alors que de décomposer cette dernière en deux autres
situées en
Or, par le principe des forces parallèles ou des centres de gravité, on aura
d’où l’on voit qu’en menant dont les prolongemens
contrent respectivement en on aura
ajoutant donc, et remarquant que il viendra
II. Soit une masse située en dans l’intérieur d’un tétraèdre
et qu’il s’agisse de décomposer en quatre autres masses
situées à ses sommets, Le problème est évidemment déterminé, et conséquemment, de quelque manière d’ailleurs qu’on
le résolve, on doit constamment parvenir au même résultat.
Or, la manière la plus simple et la plus naturelle de résoudre
ce problème est la suivante : soit menée dont le prolongement
rencontre en le plan de la face et soit décomposée la
masse en deux autres et situées respectivement en et
il ne s’agira plus ensuite que de décomposer cette dernière en trois
autres situées respectivement en
Or, par le principe des forces parallèles ou des centres de gravité, on aura
d’où l’on voit qu’en menant dont les prolongement
rencontrent respectivement en on aura
ajoutant donc, et remarquant que il viendra.
III. Cette manière d’envisager les deux théorèmes, nous permet
de trouver facilement l’analogue du premier pour le triangle sphérique. Soit, en effet, une puissance agissant sur le centre d’une sphère, et dont la direction passe par un point de la surface de cette sphère, situé dans l’intérieur d’un triangle sphérique
et proposons nous de décomposer cette puissance en trois
autres ayant respectivement les directions
Soit mené par et un arc de grand cercle coupant en le
côté et soit d’abord décomposée la puissance en deux autres respectivement dirigées suivant il ne s’agira plus
ensuite que de décomposer cette dernière en deux autres dirigées suivant
Or, par le principe du parallélogramme des forces, on aura
d’où l’on voit qu’en menant les arcs de grands cercles
rencontrant respectivement en les côtés on aura
Mais, par le principe du parallelipipède des forces, on a (Voyez,
la pag. 55 du présent volume.)
substituant donc, et divisant par on aura,
équation d’où il serait facile ensuite de déduire celle qui est relative au triangle rectiligne, en supposant le rayon de la sphère
infini.
IV. Dans tout ce qui précède, nous avons formellement supposé
que le point était intérieur au triangle ou au tétraèdre. S’il lui
était extérieur, il en résulterait de simples changemens de signes dans nos formules ; et l’on trouverait, soit par les raisonnemens de
MM. Vecten et Durrande, soit par les nôtres que ces changemens
de signes sont assujettis à cette seule règle, savoir qu’un terme
du premier membre de l’équation relative, soit au triangle rectiligne, soit au tétraèdre, doit être positif ou négatif, suivant que
le point regarde l’intérieur ou l’extérieur du côté du triangle ou
de la face du tétraèdre auquel ce terme se rapporte.
V. D’après cela, si dans le cas du triangle, et du point
toujours supposé intérieur, on considère successivement et respectivement les points comme points extérieurs aux triangles
outre l’équation
devra encore avoir
équations auxquelles on peut joindre d’ailleurs toutes celles que
donne la théorie des transversales.
On pourrait parvenir, pour le tétraèdre à des relations analogues.