ANALISE INDÉTERMINÉE.
Sur une nouvelle classe de problèmes indéterminés
avec application à la décomposition des fractions ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Les seuls problèmes indéterminés qu’on se soit proposés et qu’on ait cherché à résoudre jusqu’ici, sont ceux où, étant données des équations numériques, en moindre nombre que les inconnues
qu’elles renferment, il s’agit de satisfaire à ces
équations, par des valeurs des inconnues qui soient entières, si les équations ne passent pas le premier degré, ou tout au moins rationnelles ; si elles sont de degrés plus élevés.
Mais l’analise indéterminée peut être envisagée d’une manière
beaucoup plus générale. Au lieu de supposer, en effet, que les
données qui entrent dans les équations qu’il s’agit de résoudre sont
de simples quantités numériques, on peut supposer que ce sont des
fonctions d’une ou de plusieurs variables
et au lieu
de demander de satisfaire à ces équations par des valeurs numériques
entières ou rationnelles de
on peut se proposer
de les résoudre par des valeurs de ces inconnues fonctions entières
ou tout au moins rationnelles des mêmes variables
Qu’on ait, par exemple, entre les trois inconnues
les deux équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(1+2t+2t^{2}\right)x+&\left(2+t-2t^{2}\right)y+&\left(2-2t+\ \ t^{2}\right)z=&13+2t+4t^{2}+\quad t^{3}+19t^{4},\\\\\left(3-\ \ t+2t^{2}\right)x+&\left(2+3t-t^{2}\right)y+&\left(1+3t-2t^{2}\right)z=&22-3t+9t^{2}-26t^{3}+24t^{4},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fecac691454c500a74911a47ae5a5ed002914c)
si l’on demande quelles sont les valeurs les plus générales de
fonctions entières de
qui y satisfassent, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=5-3t+7t^{2}-\left(2-\ \ 5t-\ \ 3t^{2}+13t^{3}-5t^{4}\right)T,\\&y=3+2t-4t^{2}+\left(5-13t+\ \ 3t^{2}-\ \ 7t^{3}+6t^{4}\right)T,\\&z=1-5t-3t^{2}-\left(4-\ \ 6t-12t^{2}+\ \ 0t^{3}-2t^{4}\right)T\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d2ad4015a99dea7f699e1742c8f986166614d7)
où
désigne une fonction entière de
tout-à-fait arbitraire. On doit remarquer, au surplus, qu’ici les coefficiens numériques peuvent être fractionnaires, sans que les fonctions cessent pour cela d’être réputées entières. Une fonction entière des variables
est simplement, en effet, une fonction où ces variables n’entrent point au dénominateur.
Soit encore, entre les deux inconnues
l’équation
![{\displaystyle \left(1-3t+5t^{2}\right)x^{2}+\left(5+2t-8t^{2}\right)y^{2}=29+69t+218t^{2}-182t^{3}-180t^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c81e656043ff7b869ffb6510579b505c4801e0)
et supposons qu’on demande d’y satisfaire de la manière la plus générale par des valeurs de
fonctions rationnelles de
on trouvera pour ces valeurs
![{\displaystyle x={\frac {-\left(3-11t+21t^{2}-10t^{3}\right)-2\left(10+29t-6t^{2}-40t^{3}\right)T+\left(15-4t-28t^{2}+16t^{3}\right)T^{2}}{\left(1-3t+5t^{2}\right)\left(5+2t-8t^{2}\right)T^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa65c31004cb75f190b5fce482b0ea214f76bb5)
![{\displaystyle y={\frac {+\left(2-t-5t^{2}+25t^{3}\right)-2\left(3-11t+21t^{2}-10t^{3}\right)T-\left(10+29t-6t^{2}-40t^{3}\right)T^{2}}{\left(1-3t+5t^{2}\right)\left(5+2t-8t^{2}\right)T^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1786efe81dadf21d75e574df073966f65343201d)
où
représente encore une fonction rationnelle de
tout-à-fait
arbitraire. Ici les coefficiens numériques pourraient être radicaux,
sans que pour cela les fonctions cessassent d’être réputées rationnelles ; une fonction rationnelle des variables
étant
simplement une fonction qui ne renferme pas ces variables sous
des radicaux.
Nous ne nous occuperons uniquement, dans ce qui va suivre,
que de la résolution des équations du premier degré à deux inconnues, et même dans le seul cas où les données et les inconnues sont et doivent être simplement fonctions d’une seule variable
Nous ferons voir ensuite que le problème de la décomposition des
fractions n’est qu’un cas particulier de celui qui nous aura occupés.
Soit proposée l’équation
![{\displaystyle ax+by=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad0ef4835d1ee3714c5a58e37e00a51e502850)
dans laquelle
sont supposés des nombres entiers, et à
laquelle on se propose de satisfaire par des valeurs entières de
il est connu, 1.o que le problème n’est possible qu’autant que
le plus grand commun diviseur de
et
se trouve être diviseur
de
2.o que le problème se résout immédiatement lorsque le plus petit des coefficiens
est l’unité ; 3.o enfin, que par des
transformations plus ou moins nombreuses, on ramène facilement
à ce cas celui où ce plus petit coefficient est différent de l’unité.
Ainsi, si l’équation proposée est
![{\displaystyle 7x+y=23,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460af9f68cbf1e0e7e21d8ba1d93d78db4f9566e)
on aura, de suite,
![{\displaystyle y=23-7x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421284411952bb30544539331ccabb8841fc7df1)
et en prenant pour
un nombre entier quelconque, on aura aussi
un nombre entier pour la valeur correspondante de y.
Si, au contraire, l’équation à résoudre est
![{\displaystyle 211x+91y=695\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627d0dcf32ebf15e65bd0085cdb8d9f4056bf55e)
on l’écrira d’abord ainsi
![{\displaystyle 91(2x+y-7)+29x=58.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922ed0c9e97bd2b88943cbe02731bedeb545a198)
posant
![{\displaystyle 2x+y-7=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18bba92417b7d83fc7fcb121870f98230c2265f)
elle deviendra
![{\displaystyle 91p+29x=58\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82442b6e5967d357f5a454d588fdb5d0155eaff6)
qu’on pourra écrire ainsi
![{\displaystyle 29(3p+x-2)+4p=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec4485e3e48e323489ad816199c424c3f9727d1)
posant encore
![{\displaystyle 3p+x-2=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653c97d470687c349bd94a37256a55368e4300af)
elle deviendra
![{\displaystyle 29q+4p=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7185ca3f2a1e8b1f488a7b7ce162f69b6398d4)
ou
![{\displaystyle 4(7q+p)+q=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f76165975fc4141c2a2a23e00555ba8bd59f6c)
posant enfin
![{\displaystyle 7q+p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0c7c30a7ad8435a9c402c7b206441231442b65)
nous aurons
![{\displaystyle 4n+q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8efc9349041ed82d63e17439d442cd93fa33b7)
d’où, en remontant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&=-4n,\\p&=+29n,\\x&=2-91n,\\y&=3+211n.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcf17f2f61c85cad33bdad8603f82b4c57c1994)
Voilà donc des valeurs entières de
fonctions d’un nombre
entier
tout-à-fait arbitraire.
Les équations indéterminées dans lesquelles les données et les
inconnues sont et doivent être des fonctions entières d’une variable
se traitent à peu près de la même manière. Soit en effet, en
général, entre
et
une équation de la forme
![{\displaystyle \left(a+a't+a''t^{2}+\ldots \right)x+\left(b+b't+b''t^{2}+\ldots \right)y=\left(c+c't+c''t^{2}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e082a91086cbaefae7a93cb8616af3c1e61c4e6)
dans laquelle
sont supposés
des nombres donnés quelconques, et à laquelle il faille satisfaire
par des valeurs de
et
fonctions entières de
il est facile de
voir, 1.o que le problème ne sera possible qu’autant que le plus grand
commun diviseur des coefficiens de
et
sera en même temps
diviseur de la fonction de
qui forme le second membre ; 2.o que
l’équation sera immédiatement résoluble, si l’un des coefficiens est
une quantité purement numérique ; 3.o enfin que, par des transformations plus ou moins nombreuses, on pourra toujours ramener
à ce cas celui où les deux coefficiens seront l’un et l’autre des
fonctions de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Soit, en premier lieu, l’équation
![{\displaystyle \left(2-5t+4t^{2}\right)x+7y=13-5t-13t^{2}-t^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38750271e97e86c1ef3cc1ff73415f13275f192)
elle donnera immédiatement
![{\displaystyle y={\frac {13-5t-13t^{2}-t^{3}-\left(2-5t+4t^{2}\right)x,}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579c65bb364267b8a0d63ec77a36aa75725cdafb)
formule où, en prenant pour
une fonction entière tout-à-fait
arbitraire de
on aura aussi pour
une fonction entière de ![{\displaystyle /.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1417e99d23321af18c3ccb7877c5433418000bd6)
Soit, en second lieu, l’équation
![{\displaystyle \left(1-2t-3t^{2}+5t^{3}\right)x+\left(2-7t+3t^{2}\right)y=5-5t-43t^{2}+57t^{3}-19t^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd869de05e6c34e6b5e837785f7ad468213175e)
en la multipliant par
quarré du coefficient
de la plus haute
puissance des
dans le coefficient le moins élevé ; on pourra la
mettre sous cette forme
![{\displaystyle \left(2-7t+3t^{2}\right)\left\{(26+15t)x+9y-\left(38t-57t^{2}\right)\right\}-(43-134t)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51567d2890a0d975bcc8c1974b7acdd6169b4cb9)
![{\displaystyle =45-121t-7t^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df969f4d620ab89db87b3ce2e3b417f75c1c58a9)
en posant
![{\displaystyle (26+15t)x+9y-19\left(2t-3t^{2}\right)=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c4b20cc131ab39171f559a5a6ac35cdda6e9f8)
elle deviendra
![{\displaystyle \left(2-7t+3t^{2}\right)p-(43-134t)x=45-121t-7t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfbec348dd5ee57a771a4973961d08f2c733af3)
Multipliant celle-ci par
quarré du coefficient
de la plus
haute puissance de
dans le coefficient le moins élevé, on pourra
ensuite la mettre sous cette forme
![{\displaystyle (43-134t)\left\{(809-402t)p-17656x-(16515+938t)\right\}+1125p=97875\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e2754bc18656bf0d5d373639fcefd7873cd7d1)
posant ensuite
![{\displaystyle (809-402t)p-17656x-(16515+938t)=T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca8560527e41debeb630959eb4cc62b46a3b36b)
elle deviendra
![{\displaystyle (43-134t)T+1125p=97875\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd21832e835dfc704162a1fed12b077cf5ffbe2)
et de là, en remontant,
![{\displaystyle p={\frac {97875-(43-134t)T}{1125}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c5d13e823b877aa14fdbd6cce0312a885fa135)
![{\displaystyle x={\frac {1125(3-2t)-\left(2-7t+3t^{2}\right)T}{1125}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad86c5f6e8ad461c5ec77be3e2d96f84c294c9d5)
![{\displaystyle y={\frac {1125\left(1+5t-3t^{2}\right)+\left(1-2t-3t^{2}+5t^{3}\right)T}{1125}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05c709d17c73e275aed9c7cd474b06218b49588)
voilà donc des valeurs de
qui, en prenant pour l’une fonction
entière quelconque de
seront aussi des fonctions entières de cette
variable ; en y changeant
en
ce qui est permis ; elles
deviennent
![{\displaystyle x=(3-2t)-\left(2-7t+3t^{2}\right)T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548a084cc9cbf97133effa8eca7f58d1ff4f92a7)
![{\displaystyle y=\left(1+5t-3t^{2}\right)+\left(1-2t-3t^{2}+5t^{3}\right)T\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0073a4ffe994f5823a14b1b2160f26c9b0ffc208)
où
est toujours une fonction entière quelconque de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Venons présentement aux applications que nous avons annoncées.
Soit d’abord la fraction numérique
qu’il faille décomposer en
deux autres dont les dénominateurs soient respectivement
et
En désignant les numérateurs par
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {89}{125}}={\frac {x}{125}}+{\frac {y}{25}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26af89761a3bcc9cd29ee7a8e623cb170ee5e04)
ou
![{\displaystyle x+5y=89,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd599ee275a26f0d98c840c4b3ac541da74c12a)
d’où
![{\displaystyle x=89-5y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5349894bbd598ed49e4af8865a53a721985d3c30)
où l’on peut donner à
une valeur entière quelconque.
Si l’on veut que
soit plus petit que
racine du dénominateur, il faudra prendre
et l’on aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {89}{125}}={\frac {4}{125}}+{\frac {17}{25}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096a324f8dc380bbf7b56a419be2376226279143)
Par une semblable méthode, on décomposerait ultérieurement
en deux autres fractions dont les numérateurs seraient l’un et
l’autre moindres que
On trouverait ainsi
![{\displaystyle {\frac {89}{125}}={\frac {4}{125}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {3}{5}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ad531c31047bfcb6eebd98a9f4399ff562581a)
Ainsi, en général, toute fraction numérique
peut être considérée comme la somme algébrique d’une suite d’autres
![{\displaystyle {\frac {b'}{a^{m}}}+{\frac {b''}{a^{m-1}}}+{\frac {b'''}{a^{m-2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625554f839d48b1dbec2b3ecf2864ff3822b7cb1)
dans lesquelles les numérateurs
sont tous moindres que a.
Soit, en second lieu, la fraction
à décomposer en deux autres
dont les dénominateurs soient les deux facteurs premiers entre eux
et
de son dénominateur ? En désignant par
les numérateurs respectifs de ces deux fractions, on aura
![{\displaystyle {\frac {379}{600}}={\frac {x}{24}}+{\frac {y}{25}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c276734df2001881294679cd044fbeaf8b86643d)
d’où
![{\displaystyle 25x+24y=379,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07872017fc639c9a7370f4f019c73bf8666db4f5)
cela donne
![{\displaystyle x=19-24n,\qquad y=25n-4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0cf2f2f18bab80a22021f9fc93d23c995895d0)
Si l’on veut que les numérateurs soient plus petits que les dénominateurs, on pourra prendre
cela donnera
![{\displaystyle {\frac {379}{600}}={\frac {19}{24}}-{\frac {4}{25}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc9571d28170519dc9d1030551cd956b3b5c0b2)
On pourrait, par le même procédé, décomposer ultérieurement
en deux fractions ayant
et
pour dénominateurs ; et des numérateurs
plus petits que ces nombres. On trouverait ainsi
![{\displaystyle {\frac {379}{600}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {4}{25}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f72c3573acb4ba6e33bd0230f6bdaa01bf5ae6a)
et nous venons de voir tout-à-l’heure comment se décomposaient
les fractions de la dernière sorte.
Si, en général, on a la fraction numérique
dans laquelle les nombres
soient premiers entre eux, on
pourra la décomposer en
![{\displaystyle {\frac {a'}{a^{\alpha }}}+{\frac {b'}{b^{\beta }}}+{\frac {c'}{c^{\gamma }}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b78174d081d0e3919fe73cb2fcf32453854b04)
dans laquelle les numérateurs seront moindres que les dénominateurs.
Cette application de l’analise indéterminée ordinaire a déjà été
indiquée par M. Legendre (Théorie des nombres, dernière édition,
pag. 26). La décomposition des fractions littérales, fonctions d’une
variable, est une application toute semblable de la nouvelle analise
indéterminée dont il vient d’être question ci-dessus.
Soit, en premier lieu, la fraction
![{\displaystyle {\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301c4db45b3f4d07298524bfd967776091c383b1)
qu’il faille décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient
et
en désignant les numérateurs par
on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}+{\frac {y}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{2}}}={\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d47a9324e11e3f4a726f6f937b253019d90cf16)
ou
![{\displaystyle x+\left(1+5t-2t^{2}\right)y=4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbb27f82df0400c17ab310f1ba0a0e830203f1f)
en résolvant cette équation comme ci-dessus, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=(3-2t)+\left(1+5t-2t^{2}\right)T,\\&y=\left(1-2t+t^{2}-7t^{3}\right)-T.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc485491599648419d189e1f6bbb2074db49705d)
Si l’on veut que
soit d’un degré inférieur au second, et
d’un degré inférieur au quatrième, il ne s’agira que de faire
ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}={\frac {3-2t}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}+{\frac {1-2t+7t^{2}-t^{3}}{\left(1+7t-2t^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2d3cb5d8b8d3506054b7bd5b06b7733aecc007)
On décomposerait, par un semblable procédé, la dernière fraction
en deux autres, ayant pour dénominateurs
et
et des numérateurs du premier degré au plus.
Soit, en second lieu, la fraction
![{\displaystyle {\frac {10-87t+25t^{2}-295t^{3}+87t^{4}+53t^{5}-52t^{6}}{(2-3t)^{3}\left(1-2t+5t^{2}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39eecc9dfc58eccc0241929fe0ce2d94107edd5)
qu’il faille décomposer en deux autres, ayant pour dénominateurs
et
en appelant
et
leurs numérateurs, nous aurons
![{\displaystyle {\frac {x}{(2-3t)^{3}}}+{\frac {y}{(1-2t+5t^{2})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8b6f6ab2f8bc3fb8658aedd9e908420f203377)
![{\displaystyle ={\frac {10-87t+25t^{2}-295t^{3}+87t^{4}+53t^{5}-52t^{6}}{(2-3t)^{3}\left(1-2t+5t^{2}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad17554ddd5744afae7b07612a42dd2768ab79b9)
ou bien
![{\displaystyle \left(1-2t+5t^{2}\right)^{2}x+(2-3t)^{3}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595e773deae2c1b3e5ce1a44f6360e4da8535a50)
![{\displaystyle =10-87t+25t^{2}-295t^{3}+87t^{4}+53t^{5}-52t^{6}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c7a5e1bbb216652d372ba5d2c301aaa0b53fee)
cela donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=\left(2-3t-t^{2}\right)+(2-3t)^{3}T,\\\\&y=\left(1-5t-2t^{2}+t^{3}\right)-\left(1-2t+5t^{2}\right)^{2}T.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f5c97499111869785fd68815572d1e480224ac)
Si l’on veut que les numérateurs soient d’un moindre degré que
les dénominateurs, il suffira de poser
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {2-3t-t^{2}}{(2-3t)^{3}}}+{\frac {1-5t-2t^{2}+t^{3}}{\left(1-2t+5t^{2}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a395c0fd63110823b0ccece0bac5bda41125e70d)
![{\displaystyle ={\frac {10-87t+25t^{2}-295t^{3}+87t^{4}+53t^{5}-52t^{6}}{(2-3t)^{3}\left(1-2t+5t^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4726659b9b616a3b5bc952d7bf2695fc6d66258)
Nous sommes loin de prétendre, au surplus, que cette méthode
soit préférable aux autres méthodes connues, et notamment à celle
qui se trouve indiquée dans le précédent mémoire ; et nous avons
eu simplement l’intention de faire voir comment le problème de
la décomposition des fractions littérales se rattache à la nouvelle
branche d’analise indéterminée que nous avons signalée.