ANALISE TRANSCENDANTE.
Recherche de diverses séries ;
Par
M. Frédéric Sarrus, professeur de mathématiques
au collége de Pezenas ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. En multipliant membre à membre les formules connues
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .2z=\operatorname {Cos} .^{2}z-\operatorname {Sin} .^{2}z,\qquad 1=\operatorname {Cos} .^{2}z+\operatorname {Sin} .^{2}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdf292495747b36c4df3caf78f43347eebcca63)
on trouve
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .2z=\operatorname {Cos} .^{4}z-\operatorname {Sin} .^{4}z=\operatorname {Cos} .^{4}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}z\right)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5558988c96c1cfd0897300ec00991b0de0d39c43)
(1)
de laquelle on déduira
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .2z=\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .^{4}z+\operatorname {Log} .\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e56bc6d28e1cfdb306254eb5b79b3920a769ad)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .2z=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323c48b4de352571ac4659976721e715af8f8969)
![{\displaystyle 4\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .z-M\left(\operatorname {Tang} .^{4}z+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tang} .^{8}z+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{12}z+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd36a7c50e921fcd524c5719a702ed89aabe1bc8)
ou bien encore, en considérant
sous la forme ![{\displaystyle {\frac {1-\operatorname {Tang} .^{4}z}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d28f36f4fa9cfcb2134404e4120b9a3430a27d2)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .2z=4\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .z-2M\left\{{\frac {\operatorname {Tang} .^{4}z}{2-\operatorname {Tang} .^{4}z}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a0f4ee1753d598ee8cca26e6dde5fab67f9e8e)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {Tang} .^{4}z}{2-\operatorname {Tang} .^{4}z}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {\operatorname {Tang} .^{4}z}{2-\operatorname {Tang} .^{4}z}}\right)^{5}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f2706f6654772d088ea4a4dc0126bf80b75166)
formules dans lesquelles
est le module des tables ; et qui sont très-convergentes, principalement la dernière, toutes les fois que l’angle
est moindre qu’un demi-droit.
II. Si, dans la formule (1), on change successivement
en
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right),\\&\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right),\\&\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7288445829e119544601eb644358683093f7b3)
En multipliant ces diverses équations membre a membre, on obtiendra, par la suppression des facteurs communs,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{8}}z\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92a36db3c9f78d46a94f182f8c7f62dfdf6abd5)
![{\displaystyle \left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc7782467fecbeefe722aded9bddd19a23b000b)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}z\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c39866d452a9693bfb376b2ff27dd56111830ef)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .^{\tfrac {1}{3}}z}{\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2cfb79981c8e1c0788662f6216a02ea929af09)
substituant cette valeur dans la formule connue
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}z\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c219671609a2c81aa3d87cfca74e61ff296b3a7)
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z={\frac {z\operatorname {Cos} .^{\tfrac {1}{3}}z}{\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2436b26ed953b60e6d3920e11f6b28fa914cdb3d)
série tout aussi régulière et beaucoup plus convergente.
III. Prenons encore les formules connues
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .z={\frac {e^{z{\sqrt {-1}}}+e^{z{\sqrt {-1}}}}{2}},\\&\operatorname {Sin} .z={\frac {e^{z{\sqrt {-1}}}-e^{z{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad7a54cc50df4a8ec508430a724e38ac21102fc)
dans lesquelles on a, comme l’on sait
![{\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935a67b71271a72a038952d4d65861b0ac8587ca)
L’on en déduira
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z}{\operatorname {Cos} .z-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd563add9b0e38a911e5ef1d84218a4e501cd989)
(2)
auquel on peut substituer
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z}{\operatorname {Cos} .^{2}z-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed75798e29f6620566bb8ae47b79e272e9ecabea)
ou encore
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-\operatorname {Sin} .^{2}z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z}{1-\operatorname {Sin} .^{2}z-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7950f88f9f6e0114ccc99fee64f32323e4c92ff)
ou enfin
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-\operatorname {Sin} .z\left(\operatorname {Sin} .z-{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .z\right)}{1-\operatorname {Sin} .z\left(\operatorname {Sin} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .z\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9132f27398fe5a47ea6cbffa83f2b5ae1bcf6a6)
et par conséquent
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Sin} .z\left(\operatorname {Sin} .z-{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .z\right)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2929316ab89f297e5f2ddca62c42c795317b4bd9)
![{\displaystyle \left.-\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Sin} .z\left(\operatorname {Sin} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .z\right)\right]\right\}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a997f6a0affc00a27fb5a5f3bddb8ff9f8640fb)
(3)
Faisons présentement
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .z=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0f45bf3c9eaf4aff1be9f2407d24a13be7baca)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .z={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b842c7a1c74f597a3a802b8fd56fb2607ba1c00)
mettant ces valeurs dans l’équation (3), elle deviendra
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {x}{1+x^{2}}}\left(x-{\sqrt {-1}}\right)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb693a3f89276803ecfe81b071fe1a70a6642a11)
![{\displaystyle \left.-\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {x}{1+x^{2}}}\left(x+{\sqrt {-1}}\right)\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599aeb6471e427aca5751f8c5967ce1756e100c9)
En développant le second membre de cette équation en deux séries et réunissant les termes correspondans, on tombe précisément sur la formule donnée par M. Kramp, à la page 29 de ce volume, et qui se trouve ainsi établie sans induction.
Désignons l’angle droit par
et faisons, dans l’équation (3)
nous trouverons
![{\displaystyle q-u={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Cos} .u\left(\operatorname {Cos} .u-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57ab6b4257dd5cdbb6a6444a0961a912876d291)
![{\displaystyle \left.-\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Cos} .u\left(\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)\right]\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0f89f9da462fb9d181b39d8837fcde930e525d)
développant le second membre, et observant que
![{\displaystyle {\frac {\left(\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)^{n}-\left(\operatorname {Cos} .u-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)^{n}}{2{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {Sin} .nu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3cbdc9181de8b43893803516213723b08ef226)
nous aurons, en changeant
en
,
![{\displaystyle q-z={\frac {\operatorname {Cos} .z}{1}}\operatorname {Sin} .z+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}z}{2}}\operatorname {Sin} .2z+{\frac {\operatorname {Cos} .^{3}z}{3}}\operatorname {Sin} .3z+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064835d73257da505fc56f5c032e1aa829e7068e)
série très-régulière.
IV. En intégrant par parties, on trouve
![{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\operatorname {d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}}={\frac {x^{m+1}}{m\left(1+x^{2}\right)^{n}}}+{\frac {2n}{m}}\int {\frac {x^{m+2}\operatorname {d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cafcb903e9bcd697ec71363678b6fdc604c982)
(4)
et comme, lorsque
désigne la tangente de l’angle
, on a
![{\displaystyle \operatorname {d} z={\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160696e96ead3e1aa205f047191026a0262eb9e2)
on conclut de cette formule
![{\displaystyle z={\frac {1}{x}}\left\{\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {2}{3}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}+{\frac {2.4}{3.5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+{\frac {2.4.6}{3.5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{4}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311cb1ea93eba265f26a8fc3ac99a240cf91e3ff)
dont les termes sont tous positifs.
On a encore
![{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65623881a4ae5593e1f02c659823dba6184ff8b1)
d’où l’on tire
![{\displaystyle z=x-\int {\frac {x^{2}\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd7dc22ebfa0b399879ef139c55e5c9d143bc97)
ce qui donne, en vertu de la formule (4),
![{\displaystyle z=x-{\frac {x}{3}}\left\{\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {2}{5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}+{\frac {2.4}{5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{4}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de87825cc9a097595375b4da3dd4a91b7635446)
La valeur de
, déduite de la formule précédente, était constamment trop petite ; celle qu’on déduira de celle-ci sera constamment trop grande ; de sorte que, par leur emploi simultané, on obtiendra une limite de l’erreur résultant de l’usage de chacune d’elles ; condition que l’on doit toujours s’imposer dans tout procédé approximatif. Ces formules sont précisément celles qu’on a proposé de démontrer à la page 188 de ce volume.
On tire de notre dernière série
![{\displaystyle {\frac {z}{x}}=1-{\frac {1}{3}}\left\{\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {2}{5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}+{\frac {2.4}{5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4becb4dd168d27060df7ed20b1419028d5586bd)
en supposant
on aura
et
substituant donc, il viendra, en transposant,
![{\displaystyle 1={\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}+{\frac {2.4}{5.7}}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}+{\frac {2.4.6.8}{5.7.9.11}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa671d1295951e855bfb5b6f06e1d555dd03ed4)
multipliant celle ci par 3, transposant et réduisant, nous aurons
![{\displaystyle 2={\frac {2}{5}}+{\frac {2.4}{5.7}}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}+{\frac {2.4.6.8}{5.7.9.11}}+{\frac {2.4.6.8.10}{5.7.9.11.13}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93bd7e06bace5ef10a0e2a1a2bb876ccc46fcbb3)
multipliant cette dernière par
transposant et réduisant, on aura
![{\displaystyle 4={\frac {4}{7}}+{\frac {4.6}{7.9}}+{\frac {4.6.8}{7.9.11}}+{\frac {4.6.8.10}{7.9.11.13}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d055c8fd1a156586a831f444514adca16582954)
Un procédé semblable pouvant êlre répété indéfiniment, on aura, en général,
![{\displaystyle 2n={\frac {2n}{2n+3}}+{\frac {2n}{2n+3}}.{\frac {2n+2}{2n+5}}+{\frac {2n}{2n+3}}.{\frac {2n+2}{2n+5}}.{\frac {2n+4}{2n+7}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0d53fa46b064c6f32bfc8efdba115438db7fac)
résultat remarquable, qu’il serait peut-être difficile d’obtenir à priori et qui peut faciliter les réductions dans certains calculs[1].
V. Soit représenté, en général, par
une fonction telle que
![{\displaystyle {\frac {i}{1}}.{\frac {i-1}{2}}.{\frac {i-2}{3}}\ldots {\frac {i-n}{1+n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac102fc7520893b5ecf179ef1caca8c1d9de398d)
on aura
![{\displaystyle (i,k+1)=(i,k),{\frac {i-[k+1]}{k+2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581fd09a771e0cf68b6fe9c1a0674148c08b8fdb)
d’où on tire, par intégration,
![{\displaystyle \int (i,k+1)\operatorname {d} i=-{\frac {k+1}{k+2}}\int (i,k)\operatorname {d} i+{\frac {1}{k+2}}\int (i,k)i\operatorname {d} i\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e29c8222d7bf86f50e304696f7dce5e7c7cb97e)
en posant donc, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\int (i,k)i\operatorname {d} i}{\int (i,k)\operatorname {d} x}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b920deb1be04d1c05b5dd67dd4b0b7cf3d2d9580)
cette équation deviendra
![{\displaystyle \int (i,k+1)\operatorname {d} i=-\int (i,k)\operatorname {d} i\times {\frac {k+1-u}{k+2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea517a45ffb7fb18024d3d5955d5607d3e92246)
Si l’on prend les intégrales depuis
jusqu’à
la fonction
sera positive et moindre que l’unité ; d’où l’on voit qu’entre ces
limites
est moindre que
et de signe contraire.
Il est même facile de s’assurer que, si l’on représente par
l’intégrale
prise entre ces limites, tous les nombres
seront positifs.
VI. Cela posé, si
représente une fonction déterminée de
et qu’on désigne par
la valeur que prend
lorsqu’on change
en
l’on aura, comme l’on sait, en posant
![{\displaystyle y_{i}=y+(i,0)\Delta y+(i,1)\Delta ^{2}y+(i,2)\Delta ^{3}y+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e402eefdbb712a84904ad23ca279eb2f3d106953)
multiplant par
et intégrant entre les limites
et
on trouvera, en vertu de ce qui précède,
![{\displaystyle \Delta \int y\operatorname {d} x=y+A_{0}\Delta y-A_{1}\Delta ^{2}y+A_{2}\Delta ^{3}y-A_{3}\Delta ^{4}y+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47c4c736e357900979ce4468627d3fb93838ee6)
(6)
en observant qu’entre ces limites
Intégrant la formule (6) par rapport à
on aura
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=\Sigma y+A_{0}y-A_{1}\Delta y+A_{2}\Delta ^{2}y-\ldots +Const.\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f365b8b68e7d8adc8ce73f966998da6ed26b78)
(7)
d’où, en transposant et changeant de constante
![{\displaystyle \Sigma y=\int y\operatorname {d} x-A_{0}y+A_{1}\Delta y-A_{2}\Delta ^{2}y+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aaacb31a1b9ba974445763a9b47679003ea76ae)
(8)
Cette dernière formule nous paraît de beaucoup préférable à la formule ordinaire ; attendu que les nombres de Bernoulli qu’on y introduit, deviennent bientôt excessivement divergens ; tandis qu’au contraire nos
![{\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3a4fe9ecb21e3aed70b09e3e08418177a382d1)
convergent constamment, comme nous l’avons fait remarquer plus haut.
Pour donner une application de nos formules, soit
![{\displaystyle y={\frac {1}{x}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8abe696a5c41a5e2789d938c2d950bb2da69a79)
d’où
![{\displaystyle \quad \int y\operatorname {d} x=\operatorname {l} .x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82954eb778a093fa21792334e5c4d873fe21344)
![{\displaystyle \Delta y=-{\frac {1}{x(x+1)}},\qquad \Delta ^{2}y=+{\frac {1.2}{x(x+1)(x+2)}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd828391bc2af83a493ff44eabcf823c9a7afa8f)
![{\displaystyle \Delta ^{k}y=[-1]^{k}.{\frac {1.2.3\ldots k}{x(x+1)(x+2)\ldots (x+k)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305a76973d79b0c92bf270114e939b82645d4ec3)
alors la formule (6) donnera
![{\displaystyle \Delta \operatorname {l} x={\frac {1}{x}}-{\frac {1.A_{0}}{x(x+1)}}-{\frac {1.2.A_{1}}{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {1.2.3.A_{2}}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950699339dfc1b159edd558ed0dd5b9d5fc4cc8f)
d’où on conclura
![{\displaystyle \Delta ^{2}\operatorname {l} x=-{\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1.2.A_{0}}{x(x+1)(x+2)}}+{\frac {1.2.3.A_{1}}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d826995e232b9a814a821a9ccfafe048ccfdb0b0)
et, en général,
![{\displaystyle \Delta ^{k}\operatorname {l} x=(-1)^{k+1}.{\frac {x!}{x}}\left\{{\frac {k!}{(x+k)!}}-{\frac {(k+1)!}{(x+k+1)!}}A_{0}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706399bb5d5a096ad8e3c9590a49268a6ba1f59a)
![{\displaystyle \left.+{\frac {(k+2)!}{(x+k+2)!}}A_{1}-{\frac {(k+3)!}{(x+k+3)!}}A_{2}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ad31524277ac8483ece173338a760496d3e3ec)
Formule plus régulière, plus convergente et plus commode que toutes celles qui ont été proposées jusqu’ici, pour le calcul des différences logarithmiques.
On pourrait faire une infinité d’applications des séries (6, 7, 8) ;
mais, comme elles ne sauraient offrir de difficulté, nous ne nous
y arrêterons pas. Nous nous contenterons d’observer que la formule (6) est comprise, comme cas particulier, dans la suivante
![{\displaystyle \Delta ^{k}\int y\operatorname {d} x=\Delta ^{k-1}y+A_{0}\Delta ^{k}y-A_{1}\Delta ^{k+1}y+A_{2}\Delta ^{k+2}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a94bbe96a2997057ae2fd0f697e4a616ad1c2d)
qui s’en déduit avec la plus grande facilité.
VIII. On peut employer aussi ; dans un grand nombre de cas, la formule suivante
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\Delta y-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{3}y-{\frac {1}{4}}\Delta ^{4}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859a9045fb9b8f2b14818b6be12597708366995f)
d’où on conclut
![{\displaystyle \Sigma {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=y-{\frac {1}{2}}\Delta y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{2}y-{\frac {1}{4}}\Delta ^{3}y+\ldots +Const.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49432f89a3e3ef656193d20f82f650f251472b5c)
nous nous contenterons d’en faire les deux applications suivante.
Soit
d’où
on aura
![{\displaystyle \Sigma {\frac {1}{x^{2}}}=\mathrm {Const} .-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{x(x+1)}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1.2}{x(x+1)(x+2)}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb64345ad142f96edac4c1f02e4cbd99b0d80859)
série tout à la fois régulière et convergente.
Soit encore
l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} i}}=(i,n),\Sigma {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1454c62efca9f0eb3c6552f27cf35c2b1d3af2e7)
![{\displaystyle =(i,n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e15f84542949e79f9f1a8cab391c12165a5658b)
et
partant, en observant que
![{\displaystyle \Delta ^{k}(i,n)=(i,n-k),\qquad \Delta ^{n+1}(i,n)=1,\qquad \Delta ^{n+1+\alpha }(i,n)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b180e1e37b1019404f020b0c2d56871dad581847)
nous aurons
![{\displaystyle (i,n+1)=\int (i,n)\operatorname {d} i-{\frac {1}{2}}\int (i,n-1)\operatorname {d} i+{\frac {1}{3}}\int (i,n-2)\operatorname {d} i-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f9e6b477bc505393b4bf5829741df886fd882d)
![{\displaystyle \ldots +{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\int (i,0)\operatorname {d} i+{\frac {(-1)^{n+1}}{n+2}}i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2468adc2952027b1e57f1ad18dfdcbae11020306)
Si, dans cette dernière formule, on prend les intégrales depuis
jusqu’à
en mettant pour
prises entre ces limites, les nombres qui les représentent et que nous avons appelés
on trouvera
![{\displaystyle 0=A_{n}+{\frac {1}{2}}A_{n-1}+{\frac {1}{3}}A_{n-2}+\ldots +{\frac {1}{n+1}}A_{0}-{\frac {1}{n+2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c11572b22a1c580f2ceb15ab45d3642da71a08f)
On tire de là
![{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n+2}}-\left({\frac {A_{n-1}}{2}}+{\frac {A_{n-2}}{3}}+{\frac {A_{n-3}}{4}}+{\frac {A_{n-4}}{5}}+\ldots {\frac {A_{0}}{n+1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c4b0451f607ee8b8bb0d5449f6e971e933eb82)
ou encore, en observant que ![{\displaystyle A_{0}={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a032b60197da8bf4fe161122d07fe57b4a34ae6d)
![{\displaystyle A_{n}={\frac {n}{2(n+1)(n+2)}}-\left({\frac {A_{n-1}}{2}}+{\frac {A_{n-2}}{3}}+{\frac {A_{n-3}}{4}}+{\frac {A_{n-4}}{5}}+\ldots {\frac {A_{1}}{n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffda93e0c520adab778b3f440c27b77e5433775)
formule qui servira à déduire les uns des autres les nombres
que nous avons substitués, dans nos formules, aux nombres de Bernoulli. En observant que
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}A_{0}&={\frac {1}{2}}&=0{,}50000000,\\A_{1}&={\frac {1}{12}}&=0{,}08333333,\\A_{2}&={\frac {1}{24}}&=0{,}04166666,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b825bdd87bec5f3c78bb4145a48cdd534ff67f7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A_{3}&=&{\frac {19}{720}}&=&0{,}2638888,&\\A_{4}&=&{\frac {3}{160}}&=&0{,}01873000,&\\A_{5}&=&{\frac {863}{60480}}&=&0{,}01426918,&\\\ldots &&\ldots \ldots &&\ldots \ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e438759522fc9279570a8e4232cf568856a418b)
Or, ces nombres étant tous positifs, ainsi que nous l’avons déjà observé, et étant en outre perpétuellement convergens, il s’ensuit que
![{\displaystyle A_{n}<{\frac {n}{2(n+1)(n+2)}}-A_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd407a0ce63151901ed91b1d7d0394cd33c43fda)
d’où on tire
![{\displaystyle A_{n}<{\frac {n}{2(n+1)(n+2)}}.{\frac {1}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1804ba14186ab11db832744d54cbd6b9b04a9722)
ce qui montre, mieux que nous ne l’avions fait ci-dessus, la convergence toujours croissante de ces nombres.