Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Géométrie élémentaire, article 2

Démonstration d’un théorème de géométrie ; par M. Vecten.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 10, 1820 (p. 202-204).

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration d’un théorème de géométrie ;

Par M. Vecten, licencié es sciences, ancien professeur
de mathématiques spéciales.

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Théorème. Soit $\mathrm {ABC}$ (fig. 2) un triangle quelconque dans lequel soient menées les droites divisant les angles en deux parties égales, que l’on sait se couper en un même point $\mathrm {O} ,$ et que nous supposons se terminer aux côtés respectivement opposés en $\mathrm {D,E,F.}$ Par les sommets soient menées des perpendiculaires à ces droites, rencontrant les prolongemens des côtés respectivement opposés en $\mathrm {G,H,K.}$ Sur $\mathrm {DG,EH,FK}$ comme diamètres soient décrits des cercles, dont les centres soient respectivement $\mathrm {L,M,N.}$

1.^o Les trois points $\mathrm {G,H,K,}$ seront en ligne droite ; 2.^o les trois cercles passeront par les deux mêmes points $\mathrm {P,Q} \,;$ d’où il suit 3.^o que leurs trois centres $\mathrm {L,M,N}$ seront également en ligne droite.

Démonstration. Si l’on conçoit trois droites $\mathrm {EF,FD,DE,}$ que nous ne menons pas, pour ne point compliquer la figure, il est connu^[1] qu’elles concourront avec les prolongemens des côtés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ en trois points $\mathrm {G,H,K,}$ qui appartiendront à une même ligne droite, et l’on aura

${\begin{aligned}&{\rm {BD:CD::BG:CG,}}\\&{\rm {CE:AE::CH:AH,}}\\&{\rm {AF:BF::AK:BK.}}\end{aligned}}$

Mais si, sur ${\rm {DG}}$ comme diamètre, on décrit une circonférence, on sait que cette ligne est le lieu des sommets de tous les triangles qui ont pour base ${\rm {BC}}$ et qui sont tels que, si l’on tire du sommet de l’angle opposé à ${\rm {BC}}$ une droite au point ${\rm {D}}$ situé sur ce côté, cette ligne divisera l’angle d’où elle part en deux parties égales ; donc la circonférence décrite sur ${\rm {DG}}$ passera par le point ${\rm {A\,;}}$ d’où il suit qu’en menant ${\rm {AG,}}$ cette ligne sera perpendiculaire sur ${\rm {AD}}$. On démontrerait de même que les circonférences décrites sur ${\rm {EH,FK}}$ passent respectivement par les sommets ${\rm {B,C,}}$ et que les droites ${\rm {BH,CK}}$ sont respectivement perpendiculaires sur ${\rm {BE,CF}}$. Or, nous avons rappelé plus haut que les trois points ${\rm {G,H,K}}$ sont en ligne droite ; la première partie du théorème se trouve donc ainsi démontrée.

Pour démontrer la seconde, nous allons d’abord supposer qu’on a décrit les deux circonférences ${\rm {DAG,EBH}}$ se coupant en ${\rm {P,Q,}}$ et faire voir que la troisième ${\rm {FCK}}$ passe par ces deux mêmes points.

En effet, si l’on conçoit des droites ${\rm {PA,PB,PC,}}$ que nous sous-entendons, pour ne point trop compliquer la figure ; à cause que le point ${\rm {P}}$ est à la fois sur les deux circonférences ${\rm {DAG,EBH,}}$ on aura

${\rm {BD:DC::BP:PC,\qquad AE:EC::AP:PC,}}$

d’où

${\rm {AE\times DC:EC\times BD:AP::BP\,;}}$

mais on a

$\mathrm {AE\times DC\times BF=CE\times BD\times AF,}$

ce qui revient à

$\mathrm {AE\times DC:CE\times BD::AF:BF\,;}$

donc, à cause du rapport commun,

$\mathrm {AF:BF::AP:BP} \,;$

ce qui démontre que le point $\mathrm {P}$ est sur la troisième circonférence ; et on en dirait autant du point $\mathrm {Q.}$ La seconde partie du théorème se trouve donc également démontrée.

La droite qui joindrait les points $\mathrm {P,Q}$ serait donc une corde commune aux trois cercles ; la perpendiculaire sur son milieu contiendrait donc leurs centres ; ces centres sont donc en ligne droite, comme l’annonce la troisième partie du théorème.

1. Voyez la page 296 de ce volume.