Solution analitique ;
Soient
les trois côtés du triangle donné, et
les angles respectivement opposés, dont les sommets sont supposés
Soit pris l’angle trièdre tri-rectangle donné pour celui des
coordonnées positives ; supposons, pour plus de généralité, que la point donné soit quelconque dans cet angle trièdre, et que ses trois coordonnées soient
Supposons encore qu’on exige que, dans le triangle cherché,
les sommets homologues à
soient respectivement sur
les axes des
que nous prendrons pour symboles des
coordonnées courantes.
Tout se réduit évidemment à déterminer les segmens qui devront
être interceptés sur les axes des
à partir de l’origine
par le plan cherché. Représentons respectivement ces segmens par
L’équation du plan cherché sera conséquemment
![{\displaystyle {\frac {X}{x}}+{\frac {Y}{y}}+{\frac {Z}{z}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79adeb14a002390adc0d063f7fc5c1390cb589b)
et, puisque ce plan doit contenir le point donné, on aura
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{y}}+{\frac {\gamma }{z}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62974291777c9427d2c00c8c221f85be34bd4458)
ou bien
![{\displaystyle \alpha yz+\beta zx+\gamma xy=xyz.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21f93028d5c16673be53efd70725d4ab206ebc0)
(1)
Mais, puisque le triangle cherché doit être semblable au triangle donné, on devra avoir aussi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}y^{2}+z^{2}=&\lambda ^{2}a^{2},\\z^{2}+x^{2}=&\lambda ^{2}b^{2},\\x^{2}+y^{2}=&\lambda ^{2}c^{2}\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d670ae4ed65d7b581833720dd6c15ad78baac045)
(2)
étant un nombre inconnu, indiquant le rapport des côtés homologues de ces deux triangles. Nous avons donc ainsi quatre équations entre les quatre inconnues
En retranchant tour-à-tour chacune des équations (2) de la somme des deux autres ; il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{2}=\lambda ^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=2\lambda ^{2}bc\operatorname {Cos} .A,\\&2y^{2}=\lambda ^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})=2\lambda ^{2}ca\operatorname {Cos} .B,\\&2z^{2}=\lambda ^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=2\lambda ^{2}ab\operatorname {Cos} .C\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6b26fdeac01c9d30faf33202b6657550fdbe42)
d’où, en divisant par 2 et extrayant la racine quarrée des deux membres
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x=\lambda {\sqrt {bc\operatorname {Cos} .A}},\\&y=\lambda {\sqrt {ca\operatorname {Cos} .B}},\\&z=\lambda {\sqrt {ab\operatorname {Cos} .C}},\\\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3e3e9a157b318acbcef0ece3126ec9db4ddfe5)
(3)
on aura donc
![{\displaystyle \alpha yz+\beta zx+\gamma xy=\lambda \left\{{\begin{aligned}&\alpha a{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\\+&\beta b{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .A}}\\+&\gamma c{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}}\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d613c446ed04a95dcd64285f3eeee34bd893cb06)
et
![{\displaystyle xyz=\lambda ^{3}abc{\sqrt {\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad664bd10843b78df67d6468e2224d8efe7bfd)
substituant donc dans l’équation (1) et divisant par
il viendra
![{\displaystyle \alpha a{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}++\beta b{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .A}}++\gamma c{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ed1e734fbaeea9f61a9896cbe11f767e637073)
![{\displaystyle =\lambda abc{\sqrt {\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8da2028793f946015e878ad37f7549f7fe62a4)
d’où
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\alpha }{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .A}}}+{\frac {\beta }{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .B}}}+{\frac {\gamma }{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .C}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca8bf76968778dd0b8dd0f35bb2a1944d81c4f4)
Tel est donc le rapport des côtés du triangle cherché à ceux du triangle donné.
En substituant enfin cette valeur de
dans les cquations (3),
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=\alpha +\beta {\sqrt {\frac {b\operatorname {Cos} .A}{a\operatorname {Cos} .C}}}+\gamma {\sqrt {\frac {c\operatorname {Cos} .A}{a\operatorname {Cos} .C}}},\\\\&y=\beta +\gamma {\sqrt {\frac {c\operatorname {Cos} .B}{b\operatorname {Cos} .C}}}+\alpha {\sqrt {\frac {a\operatorname {Cos} .B}{b\operatorname {Cos} .A}}},\\\\&z=\gamma +\alpha {\sqrt {\frac {a\operatorname {Cos} .C}{c\operatorname {Cos} .A}}}+\beta {\sqrt {\frac {b\operatorname {Cos} .C}{c\operatorname {Cos} .B}}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c4351440113a07e6091fdcf0afeb1c515d6a55)
Telles sont donc les valeurs des inconnues du problème.
Mais si des sommets
du triangle donné, on abaisse
respectivement des perpendiculaires
sur les directions des côtés opposés
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\rm {BA'=}}&c\operatorname {Cos} .B,\qquad &{\rm {AB'=}}&c\operatorname {Cos} .A,\\{\rm {CB'=}}&a\operatorname {Cos} .C,&{\rm {BC'=}}&a\operatorname {Cos} .B,\\{\rm {AC'=}}&b\operatorname {Cos} .A,&{\rm {CA'=}}&b\operatorname {Cos} .C,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0218d5fc869a89060d3eb6151ac99553b6fbc2ec)
donc, en substituant, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=\mathrm {\alpha +\beta {\sqrt {\frac {AC'}{BC'}}}+\gamma {\sqrt {\frac {AB'}{CB'}}},} \\\\&y=\mathrm {\beta +\gamma {\sqrt {\frac {BA'}{CA'}}}+\alpha {\sqrt {\frac {BC'}{AC'}}},} \\\\&z=\mathrm {\gamma +\alpha {\sqrt {\frac {CB'}{AB'}}}+\beta {\sqrt {\frac {CA'}{BA'}}}.} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe47865b328532906e15538dd3149f84afa707d4)
Si, présentement, sur les trois côtés du triangle donné, pris successivement comme diamètres, on décrit trois demi-cercles, et
qu’on prolonge respectivement les perpendiculaires
jusqu’à la rencontre de leurs circonférences en
en menant ![{\displaystyle \mathrm {BA'',CA'',CB'',AB'',AC''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f755bb4e951cb23da5e23bcfd8a491eb2bb9bde)
par la
propriété des cordes inscrites aux demi-cercles, on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {AC'}{BC'}}=\left({\frac {AC''}{BC''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {BA'}{CA'}}=\left({\frac {BA''}{CA''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {CB'}{AB'}}=\left({\frac {CB''}{AB''}}\right)^{2}} \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad {\rm {{d'o{\grave {u}}}\quad \left\{{\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {BC'}{AC'}}=\left({\frac {BC''}{AC''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {CA'}{BA'}}=\left({\frac {CA''}{BA''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {AB'}{CB'}}=\left({\frac {AB''}{CB''}}\right)^{2}} \,;\\\end{aligned}}\right.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4238445e94c804f6c301c4f25580192fedbc306f)
substituant donc, il viendra finalement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=\mathrm {\alpha +\beta {\frac {AC''}{BC''}}+\gamma {\frac {AB''}{CB''}},} \\\\&y=\mathrm {\beta +\gamma {\frac {BA''}{CA''}}+\alpha {\frac {BC''}{AC''}},} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df8eaf046362b9de7884ac535ffffef4e7ade40)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&z=\mathrm {\gamma +\alpha {\frac {CB''}{AB''}}+\beta {\frac {CA''}{BA''}},} \\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01bbc0d9ec1ff43ea94c4f9bb9d60a68c3f610a)
valeurs extrêmement faciles à construire.