Solution analitique ;
Soient les trois côtés du triangle donné, et les angles respectivement opposés, dont les sommets sont supposés
Soit pris l’angle trièdre tri-rectangle donné pour celui des
coordonnées positives ; supposons, pour plus de généralité, que la point donné soit quelconque dans cet angle trièdre, et que ses trois coordonnées soient
Supposons encore qu’on exige que, dans le triangle cherché,
les sommets homologues à soient respectivement sur
les axes des que nous prendrons pour symboles des
coordonnées courantes.
Tout se réduit évidemment à déterminer les segmens qui devront
être interceptés sur les axes des à partir de l’origine
par le plan cherché. Représentons respectivement ces segmens par
L’équation du plan cherché sera conséquemment
et, puisque ce plan doit contenir le point donné, on aura
ou bien
(1)
Mais, puisque le triangle cherché doit être semblable au triangle donné, on devra avoir aussi
(2)
étant un nombre inconnu, indiquant le rapport des côtés homologues de ces deux triangles. Nous avons donc ainsi quatre équations entre les quatre inconnues
En retranchant tour-à-tour chacune des équations (2) de la somme des deux autres ; il viendra
d’où, en divisant par 2 et extrayant la racine quarrée des deux membres
(3)
on aura donc
et
substituant donc dans l’équation (1) et divisant par il viendra
d’où
Tel est donc le rapport des côtés du triangle cherché à ceux du triangle donné.
En substituant enfin cette valeur de dans les cquations (3),
on aura
Telles sont donc les valeurs des inconnues du problème.
Mais si des sommets du triangle donné, on abaisse
respectivement des perpendiculaires sur les directions des côtés opposés
on aura
donc, en substituant, on aura
Si, présentement, sur les trois côtés du triangle donné, pris successivement comme diamètres, on décrit trois demi-cercles, et
qu’on prolonge respectivement les perpendiculaires jusqu’à la rencontre de leurs circonférences en en menant par la
propriété des cordes inscrites aux demi-cercles, on aura
substituant donc, il viendra finalement
valeurs extrêmement faciles à construire.