ANALISE TRANSCENDANTE.
Essai sur le développement, en fractions continues,
des racines des équations du troisième degré, et sur
l’approximation graphique du problème de la trisection
de l’angle.
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I. Nous allons prouver, en premier lieu, que la résolution d’une
équation quelconque du troisième degré peut toujours être ramenée
à celle d’une autre équation de la forme
où est un nombre positif.
En effet, la proposée ne saurait être, après l’évanouissement du
second terme, que de l’une ou de l’autre de ces deux formes
où il est permis de supposer que et sont des nombres entiers ; et où est un nombre essentiellement positif.
Si c’est la première forme qui a lieu, il suffira de poser
le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu suivant que est négatif ou positif. En substituant et divisant ensuite par il viendra, en effet, en transposant,
qui, en faisant devient, en effet,
Si l’équation est de la seconde forme ; on posera d’abord
ce qui donnera, en substituant et divisant toujours par
posant ensuite, dans celle-ci
ce qui revient, au surplus, à faire immédiatement
elle deviendra
ou, en quarrant
ou, en développant
ou enfin, en transposant et extrayant la racine quarrée des deux membres.
équation qui, en posant, revient encore à
Il n’y aurait donc d’exception que pour le seul cas où la proposée aurait ses trois racines égales. Alors, en effet, qui entre
comme dénominateur dans nos formules, se trouve nul, ce qui y
introduit des grandeurs infinies.
Soit, par exemple, l’équation
qui se rapporte à la première forme, en posant
elle deviendra
où
Soit encore l’équation
qui se rapporte à la seconde forme ; en posant
elle deviendra
où
II. Nous allons prouver présentement que l’on peut faire dépendre
la résolution de l’équation de celle d’une équation de
la même forme, dans laquelle le second membre sera si voisin de
l’unité qu’on voudra. Posons, en effet,
en substituant dans
elle deviendra
de sorte qu’en posant, pour abréger,
et extrayant la racine quarrée, l’équation à résoudre sera
équation exactement de même forme que la proposée. Or, de l’équation
on tire, en quarrant, chassant le dénominateur et transposant
ou
d’où
et par conséquent
ou
la différence de , avec l’unité sera donc moindre que la moitié de la différence de avec l’unité.
Donc, si l’on pose successivement
on aura, quel que soit d’ailleurs l’indice ,
et la série sera telle que la différence de chacun de ses termes avec l’unité sera moindre que la moitié de la différence avec cette même unité du terme qui le précédera immédiatement.
Il n’est pas même difficile de voir que, passé le premier terme
dans la série des différences
chaque terme sera réellement moindre que le tiers de celui qui le
précédera immédiatement. En effet, il résulte des relations ci-dessus
qu’aucun des termes ne saurait être inférieur
à et qu’ils seront même toujours plus grands que cette fraction ;
on a donc
d’où
et
donc
mais on a, en général, par ce qui précède,
donc, à fortiori,
ou
comme nous l’avions annoncé.
Cette circonstance facilite singulièrement le calcul des quantités
On sait, en effet que, lorsque est une
très-petite fraction, on a sensiblement
d’où l’on
voit que, lorsqu’on sera parvenu à des termes très-peu différent de l’unité, on pourra poursuivre en remplaçant l’extraction de la
racine de la quantité sous le radical par la réduction à moitié de
sa différence avec l’unité.
Il résulte de là que dans la série
chaque terme, que nous venons déjà de démontrer être moindre
que le tiers de celui qui le précède immédiatement, tend sans cesse
à n’en être plus que le quart. Soit, en effet, étant
une très-petite fraction, nous aurons
ce qui donnera sensiblement on aura donc, aussi sensiblement,
ainsi, parvenue à ce point, la série sera facile à continuer, et on en conclura ensuite les termes correspondans à la série
On peut remarquer présentement que, si l’on avait rigoureusement
on en conclurait, en transposant et décomposant,
d’où l’on voit que, tandis que l’une des racines des diverses transformées converge sans cesse vers l’unité les deux autres convergent en même temps vers la fraction On pourra donc, passé un certain terme, tirer un parti avantageux de la méthode d’approximation de Newton, pour résoudre la dernière transformée, et remonter ensuite à la valeur de , au moyen des relations établies ci-dessus entre
III. À l’aide de ces relations, la valeur de peut être développée en fraction continue d’une forme fort élégante. L’équation donne, en transposant,
mais l’équation donne aussi, en transposant,
divisant donc la première par la seconde, il viendra
ou, en chassant le dénominateur, réduisant et transposant
d’où on tire
on aura donc cette suite d’équations
d’où on conclura facilement
fraction continue qui tendra continuellement à se résoudre dans la fraction périodique
que l’on trouve être égale à de sorte qu’en poussant le développement assez loin, on peut, sans erreur sensible, écrire
IV. Le problème de la trisection de l’angle se réduisant, comme
l’on sait, à la résolution d’une équation du troisième degré, dans
le cas irréductible ; les formules que nous venons d’obtenir sembleraient pouvoir en offrir une solution approchée ; mais elle ne
saurait être d’aucune utilité dans l’application aux arts. Heureusement on peut obtenir de ce problème une solution graphique à la
fois très-simple et très-convergente.
On a, en effet, par les théorèmes connus,
ou bien, en transposant,
d’où
(1)
Cela posé, considérons la formule
(2)
on en tirera, en prenant les différentielles logarithmiques
ou en mettant pour valeur donnée par l’équation (1), et tirant la valeur de
mais, en comparant les équations (1, 2), on voit que, lorsque on a ; donc, dans ce même cas, la valeur de devient
Donc si, dans la formule (1), on fait et étant un très-petit arc, on aura sensiblement
Cette expression devenant également nulle, soit que 3 soit nul, soit qu’il soit égal à l’angle droit ; elle doit être susceptible d’un maximum entre ces deux limites. Si, dans la vue de le déterminer, on égale à zéro la différentielle de il viendra, en supprimant le dénominateur et divisant par
ou bien
ou simplement
puisque répondrait au minimum. On aura donc, dans le cas du maximum,
d’où
de là
d’où
on aura d’ailleurs, dans ce cas,
donc finalement on aura, dans le cas du maximum,
c’est à-dire
d’où il suit que, dans la formule (2), en mettant pour une valeur qui diffère peu de la valeur qui en résultera pour ne différera de que d’une quantité au moins fois plus petite ; de sorte qu’en remettant cette nouvelle valeur pour dans la même formule, et poursuivant toujours ainsi, on obtiendra une suite de valeurs convergente vers telles que, dans le cas même le plus défavorable, la différence de chacune avec sera plus de fois moindre que la différence avec le même arc de celle qui la précédera immédiatement.
Il n’est donc plus question que de trouver une construction qui
réponde à ces indications, et représente la formule (2) ; or, c’est
là une chose extrêmement facile. Soit, en effet, (fig. 1) un
angle donné égal à qu’il soit question de diviser en trois parties égales. De son sommet comme centre, et avec un rayon
arbitraire, soit décrit, entre ses côtés, un arc Par le même
sommet, soit élevée à l’un quelconque de ses côtés, et dans
le sens de l’autre, la perpendiculaire sur laquelle soit prise,
à partir du point une partie à peu près égale à la corde
des deux tiers de l’arc aux deux tiers de sa corde, par
exemple. Du point comme centre, et avec un rayon double
de soit décrit un arc coupant en le prolongement
de et soit menée coupant en alors sera
une valeur plus approchée de la corde des deux tiers de l’arc
substituant donc le point au point on obtiendra, par un
semblable procédé, un nouveau point tel que sera une valeur beaucoup plus approchée encore ; en poursuivant donc toujours ainsi, un parviendra très-rapidement à une valeur extrêmement approchée de la corde des deux tiers de
Cette construction est extrêmement facile à justifier ; soit, en
effet, mené le sinus et soit pris pour unité de longueur le
rayon d’où en nommant et les arcs qui
répondent aux cordes dont les longueurs sont et on aura
mais on a
donc, en substituant et réduisant,
qui est précisément notre formule (2).
Dans cette trisection, qui est plus simple, en quelque sorte,
qu’une bissection, on peut, sans inconvénient, placer, dès l’abord,
le point d’une manière tout-à-fait arbitraire, et conséquemment
le placer en ce qui est plus simple ; et dès la seconde opération ; l’erreur sera déjà peu sensible. On voit par là que, si l’on
s’était trompé dans quelque opération, l’opération qui suivrait corrigerait aussitôt ce que celle-là aurait donné de défectueux ; ainsi
qu’il arrive dans la méthode d’approximation de Newton pour les
racines incommensurables des équations numériques.