Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Arithmétique, article 1

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ARITHMÉTIQUE.

Sur la formation des puissances et l’extraction
des racines des nombres ;

Par M. Querret, chef d’institution.
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Soient posés successivement les équations



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




En prenant la somme de leurs produits respectifs par il vient, en réduisant,

c’est-à-dire,

Si, par exemple, on avait en posant successivement

on aurait

Voilà donc un moyen assez commode de former une puissance d’un nombre composé de dizaines et d’unités. Soit, par exemple, le nombre dont il soit question de former la cinquième puissance ; en le considérant comme prenant pour et pour on écrira d’abord les cinq premières puissances de en cette manière

et au-dessous les coefficiens de la cinquième puissance d’un binôme, à partir du second terme, en cette manière,

En prenant les produits des termes correspondans des deux suites, on en formera une troisième qui sera

On formera enfin une quatrième suite dont le premier terme soit le premier terme de la troisième, augmenté de et dont chacun des autres termes soit le produit du précédent par augmenté du terme qui correspond à ce précédent dans la troisième, en cette manière

et le dernier terme de cette suite sera la puissance cherchée.

Si l’on voulait former une puissance d’un nombre de trois chiffres, tel, par exemple, que on prendrait pour et pour on formerait donc, comme ci-dessus, la première suite des puissances successives de ce qui se réduirait, sauf les zéros à écrire à droite, à faire les puissances successives de à la formation desquelles on pourrait procéder comme nous l’avons fait, dans l’exemple précédent, pour la cinquième. Cette première suite ainsi formée, on en déduirait les autres comme ci-dessus, en employant le chiffre comme nous avions employé le chiffre On se conduirait d’une manière analogue pour la formation d’une puissance d’un nombre de plus de trois chiffres.

Supposons présentement qu’on ait à extraire une racine d’un nombre, la racine cinquième de par exemple. Après avoir déterminé la racine cinquième de sa dernière tranche à gauche et en avoir retranché sa cinquième puissance on aura pour reste à côté duquel abaissant la tranche suivante et séparant par une virgule les quatre derniers chiffres à droite, ce qui donnera il faudra, pour avoir le second chiffre de la racine, diviser la partie à gauche de la virgule par cinq fois la quatrième puissance de c’est-à-dire, par Cela donnerait immédiatement pour quotient ; et, pour le vérifier, il faudrait former la cinquième puissance de et essayer de la retrancher du nombre proposé ; or, nous en avons déjà retranché la cinquième puissance de ce qui nous a donné pour reste d’un autre côté, notre équation qui revient à donne il nous suffira donc de faire pour les quatre suites que nous avons formées tout-à-l’heure pour en les bornant aux quatre premiers termes seulement ; alors, pour que le puisse être admis, il faudra que fois le quatrième terme de la dernière puisse être retranché de et, comme il ne pourra l’être, on passera au qui ne pourra l’être davantage, et enfin au qu’on trouvera être le véritable.

En particulier, ce procédé, appliqué à l’extraction de la racine cubique, simplifie singulièrement l’opération.

Saint Malo, le 19 mars 1822.

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