Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie élémentaire, article 2

Démonstration d’un théorème sur le tétraèdre ; par M. Vallès.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 12, 1822 (p. 178-179).

Démonstration du théorème de la page 279
du IX.^e volume de ce recueil ;

M. Vallès, élève au collége royal de Montpellier.

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Après avoir démontré, en l’endroit cité, que si par les sommets ${\rm {A,B,C}}$ d’un triangle quelconque, et par un même point ${\rm {P,}}$ pris arbitrairement dans son intérieur, on mène trois droites rencontrant les directions des côtés opposés en ${\rm {A',B',C',}}$ on doit avoir

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}=1\,;}}$

on a démontré, d’une manière analogue, que si, par les sommets ${\rm {A,B,C,D}}$ d’un tétraèdre quelconque, et par un même point ${\rm {P,}}$ pris arbitrairement dans son intérieur, on mène quatre droites, terminées aux faces opposées en ${\rm {A',B',C',D',}}$ on aura

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}=1.}}$

M. Vallès a trouvé moyen de déduire très-simplement le second théorème du premier. Pour cela, il conçoit, par le point ${\rm {P,}}$ deux plans passant, l’un par l’arête ${\rm {AB}}$ et l’autre par son opposée ${\rm {CD.}}$ Désignant alors par ${\rm {M}}$ le point où le premier de ces deux plans coupe l’arête ${\rm {CD,}}$ et par ${\rm {N}}$ celui où le second coupe l’arête ${\rm {AB,}}$ les deux triangles ${\rm {AMB,CND}}$ donneront, par le premier théorème,

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PN}{MN}}=1,}}$

${\rm {{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}+{\frac {PM}{MN}}=1\,;}}$

d’où, en ajoutant, faisant attention que ${\rm {PM+PN=MN}}$ et réduisant

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}=1.}}$