Solution du premier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 232 de ce volume ;
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PROBLÈME. Les directions de deux systèmes de diamètres conjugués d’une même ellipse étant données ; assigner les directions et le rapport de grandeur de ses deux diamètres principaux ?
Solution. Par le centre de l’ellipse, soit menée une droite arbitraire, et soit désigné par
l’angle inconnu qu’elle fait avec l’un des diamètres principaux. Représentons par
la longueur de ce diamètre, et par
la longueur de l’autre. Soient enfin
les angles connus que forment avec la droite indéfinie les deux diamètres du premier système, et
les angles que forment avec elle les deux diamètres du second ; ces mêmes diamètres formeront, avec le diamètre principal dont nous avons représenté la longueur par
des angles qui seront respectivement
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}z+\alpha ,&z+\alpha ',\\z+\beta ,&z+\beta '\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b12319ea7d3b99f6fae074f602da2a79ff5478)
et, par une propriété connue de l’ellipse, on devra avoir les deux équations
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&y^{2}+x^{2}\operatorname {Tang} .(z+\alpha \ )\operatorname {Tang} .(z+\beta \ )=0,\\&y^{2}+x^{2}\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')\operatorname {Tang} .(z+\beta ')=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e111567f66dda8653aa2b4a3069ad27c2d9a0a7)
(1)
desquelles il s’agit présentement de tirer la valeur de
et le rapport de
à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
En faisant, pour abréger,
et posant en outre
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\operatorname {Tang} .\alpha =m,&\operatorname {Tang} .\alpha '=m',\\\operatorname {Tang} .\beta =n,&\operatorname {Tang} .\beta '=n',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a2e1559f1476215fa604b2c83d47e65a909209)
il vient
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\operatorname {Tang} .(z+\alpha )&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\alpha }{1-\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +m}{1-m\nu }},\\\\\operatorname {Tang} .(z+\beta )&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\beta }{1-\operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +n}{1-n\nu }},\\\\\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\alpha '}{1-\operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +m'}{1-m'\nu }},\\\\\operatorname {Tang} .(z+\beta ')&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\beta '}{1-\operatorname {Tang} .\beta '\operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +n'}{1-n'\nu }},\,;\\\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2d94607a220bcf0aad2a5a9cfcf6feba6be5c1)
substituant ces valeurs dans les équations du problème, et les dénominateurs, elles deviendront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(1-m\ \nu )(1-n\ \nu )y^{2}+(\nu +m\ )(\nu +n\ )x^{2}=0,\\&(1-m'\nu )(1-n'\nu )y^{2}+(\nu +m')(\nu +n')x^{2}=0.\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255d3d7c078e30cb92ec5ef3b32a9f14a1d9f860)
(2)
En éliminant l’une des deux inconnues
et
entre ces deux équations, l’autre disparaîtra aussi, et il viendra
![{\displaystyle (\nu +m)(\nu +n)(m'\nu -1)(n'\nu -1)-(\nu +m')(\nu +n')(m\nu -1)(n\nu -1)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5de0b03f60d365f7b461429f0a1b49c5d6bec3a)
ou, en développant et ordonnant,
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|r}(mn-m'n')\nu ^{4}+(m'+n')(1+mn)&\nu ^{3}+(m'+n')(1+mn)&\nu -(mn-m'n')=0\\-(m+n)(1+m'n')&-(m+n)(1+m'n')&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6f8c14f170a5a0de13299619bb9c66e8f98a2a)
ou encore
![{\displaystyle (mn-m'n')\left(\nu ^{4}-1\right)+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu \left(\nu ^{2}+1\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021c1faf7e2a69a9b9152f15831b78ce13f73a3d)
supprimant donc le facteur
qui ne saurait être nul, on parviendra à cette équation du second degré
![{\displaystyle (mn-m'n')\nu ^{2}+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu -\left(mn-m'n'\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baffbbb7eaa412c2d8e360bb9cd4eedcf654047a)
qu’on peut encore mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd82b975ab0d201384a73d0d8a40860ed67a20a1)
mais
![{\displaystyle {\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2\operatorname {Tang} .z}{1-\operatorname {Tang} .^{2}z}}=\operatorname {Tang} .2z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ad34ba66416e84531cad90f0f19d32ca185030)
donc finalement
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2z={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3899a86ab2541ba791855390c1a353ac1f592d55)
Or, on a
![{\displaystyle mn-m'n'=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .\beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5126edcbfe9c8c6dff1697d4c7d8125436bb0478)
![{\displaystyle ={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885c391f9159f4b9c8c524821b80000dd2fdbec0)
![{\displaystyle {\begin{array}{cll}m+n&=\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta &={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta }},\\m'+n'&=\operatorname {Tang} .\alpha '+\operatorname {Tang} .\beta '&={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')}{\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}},\\1+mn&=1+\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta &={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta }},\\1+m'n'&=1+\operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .\beta '&={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}{\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}}\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d05f751cc7439f44d8d58999aec85ccaa2cae6)
il viendra donc, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2z={\frac {2\left(\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\beta '\right)}{\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')-\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b0ddbc4cef9f61f91d313ff8d6e2e968fbb973)
formule que l’on pourra encore écrire ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2z={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha '+\beta ')\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )-\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}{\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )-\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfbff80c3ce918f12385a9a5bec7376aee58d3c)
L’angle
, que fait l’un des diamètres principaux avec notre droite indéfinie, étant connu par cette formule, le rapport de grandeur
des deux diamètres principaux sera donné par l’une ou l’autre des équations (1), d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\sqrt {-\operatorname {Tang} .(z+\alpha )\operatorname {Tang} .(z+\beta )}}={\sqrt {-\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')\operatorname {Tang} .(z+\beta ')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb454a8091f928a46296a48060fad7e77aa544f)
Tout ce qui précède s’applique au surplus littéralement à l’hyperbole, pourvu que, dans les dernières formules, on change le signe
en
sous les radicaux.