Solution du premier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 232 de ce volume ;
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PROBLÈME. Les directions de deux systèmes de diamètres conjugués d’une même ellipse étant données ; assigner les directions et le rapport de grandeur de ses deux diamètres principaux ?
Solution. Par le centre de l’ellipse, soit menée une droite arbitraire, et soit désigné par l’angle inconnu qu’elle fait avec l’un des diamètres principaux. Représentons par la longueur de ce diamètre, et par la longueur de l’autre. Soient enfin les angles connus que forment avec la droite indéfinie les deux diamètres du premier système, et les angles que forment avec elle les deux diamètres du second ; ces mêmes diamètres formeront, avec le diamètre principal dont nous avons représenté la longueur par des angles qui seront respectivement
et, par une propriété connue de l’ellipse, on devra avoir les deux équations
(1)
desquelles il s’agit présentement de tirer la valeur de et le rapport de à
En faisant, pour abréger, et posant en outre
il vient
substituant ces valeurs dans les équations du problème, et les dénominateurs, elles deviendront
(2)
En éliminant l’une des deux inconnues et entre ces deux équations, l’autre disparaîtra aussi, et il viendra
ou, en développant et ordonnant,
ou encore
supprimant donc le facteur qui ne saurait être nul, on parviendra à cette équation du second degré
qu’on peut encore mettre sous cette forme
mais
donc finalement
Or, on a
il viendra donc, en substituant,
formule que l’on pourra encore écrire ainsi
L’angle , que fait l’un des diamètres principaux avec notre droite indéfinie, étant connu par cette formule, le rapport de grandeur des deux diamètres principaux sera donné par l’une ou l’autre des équations (1), d’où l’on tire
Tout ce qui précède s’applique au surplus littéralement à l’hyperbole, pourvu que, dans les dernières formules, on change le signe en sous les radicaux.