Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie transcendante, article 5
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Addition à la solution insérée à la page 285 de ce volume ;
de l’académie royale des sciences.
Le problème qu’il s’agissait de résoudre en cet endroit était le suivant : Quelle est l’équation la plus générale des courbes qui jouissent de cette propriété que si, par chacun de leurs points, on leur mène une normale, terminée à l’axe des abscisses, cette normale a même longueur que l’ordonnée qui a son pied au même point de cet axe ?
Nous avons prouvé, en l’endroit cité, que l’équation générale de ces courbes avait pour équation
pourvu que la fonction fût de nature à satisfaire à l’équation
où désigne, comme à l’ordinaire, la fonction dérivée de
En différentiant cette dernière, il vient
ou, en transposant et décomposant,
équation qui se décompose en ces deux-ci :
L’équation (3) donne, en intégrant,
ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,
équation d’un cercle d’un rayon quelconque, ayant son centre en l’un quelconque des points de l’axe des
Quant à l’équation (4), elle donne évidemment d’où
ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,
équation de deux parallèles à l’axe des également distantes de part et d’autre de cet axe.
Nous avions déjà prouvé, à posteriori, que ce cercle et ces parallèles, qui d’ailleurs résolvent évidemment le problème, satisfaisaient aux équations (1, 2) ; mais nous n’avions pas su alors en déduire directement les équations de ces deux lignes.
La question serait présentement de savoir si une équation de la forme
peut admettre d’autres solutions que la solution et, au cas qu’elle en admît d’autres, quelles pourraient être ces solutions ? mais c’est une question que nous livrons à la sagacité du lecteur.