OPTIQUE.
Essai d’une théorie générale des mouvemens apparens ;
Par
M. Lenthéric, docteur ès sciences, professeur
au collége royal de Montpellier.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Le double mouvement de rotation de la terre sur son axe et de translation de cette planète autour du soleil est, pour ceux de ses habitans qui la supposent absolument fixe, une source perpétuelle d’illusions, et complique singulièrement à leurs yeux les mouvemens de tous les autres corps célestes. Les astronomes eux-mêmes, bien qu’ils ne soient pas dupes de ces illusions, n’en sont pas moins obligés sans cesse de corriger les résultats de leurs observations de la complication qu’y introduit la mobilité du point d’où ils les font.
La considération des mouvemens apparent ou relatifs, et de leur liaison avec les mouvemens absolus, revient donc à chaque pas dans l’astronomie. Cependant la théorie de ces sortes de mouvemens n’a encore été traitée nulle part avec toute l’étendue et la généralité qu’elle comporte ; et on s’est borné à en considérer des cas particuliers qu’on a traité d’une manière tout-à-fait indépendante les uns des autres, sans les rattacher à un principe commun. Je me propose ici d’essayer de remplir cette sorte de lacune que présente la science. Je chercherai les formules les plus générales ; j’en ferai les applications aux cas les plus ordinaires ; et j’abandonnerai de plus amples développemens à la sagacité du lecteur.
Le problème général qu’il s’agit de résoudre est celui-ci : deux points
se meuvent dans l’espace d’un mouvement connu quelconque ; le point
se croyant fixe, quel mouvement attribuera-t-il au point
[1] ?
De quelque nature que soit le mouvement absolu du point
on sait qu’il doit toujours se réduire à un mouvement de translation uniforme ou varié sur une certaine ligne droite ou courbe, plane ou à double courbure et à un mouvement de rotation uniforme ou varié, autour d’un axe de direction constante ou variable. Quant au point
on peut faire abstraction de son mouvement de rotation, s’il en a un, attendu que ce mouvement ne serait pas aperçu de
et ne considérer uniquement que son mouvement de translation dans l’espace.
Rapportons nos deux points à trois axes rectangulaires absolument fixes, mais d’ailleurs tout-à-fait arbitraires, la position absolue de ces deux points dans l’espace, à une époque quelconque
sera donnée par deux systèmes d’équations telles que celles-ci :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=&\operatorname {F} _{x}(t),\\y=&\operatorname {F} _{y}(t),\\z=&\operatorname {F} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right\}(1)\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=&\operatorname {f} _{x}(t),\\y=&\operatorname {f} _{y}(t),\\z=&\operatorname {f} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right\}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef0b5cb2ab5f63d1c1b50410927f0ea1c538e2e)
c’est-à-dire que ce seront là, comme l’on s’exprime en mécanique, les équations de leur mouvement de translation, entre lesquelles conséquemment l’élimination de
ferait connaître les trajectoires qu’ils décrivent.
Il s’agira présentement d’exprimer la nature du mouvement de rotation de
Pour cela, concevons que, par ce point, on ait conduit trois axes rectangulaires tout-à-fait fixes par rapport à lui, mais mobiles avec lui dans l’espace ; désignons-les par
leur situation à l’époque
par rapport aux axes fixes dépendra de cette époque, et on pourra supposer alors leurs équations telles qu’il suit :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\mathrm {Pour\ } x',&{\frac {x-\operatorname {f} _{x}(t)}{\phi _{x}(t)}}={\frac {y-\operatorname {f} _{y}(t)}{\phi _{y}(t)}}={\frac {z-\operatorname {f} _{z}(t)}{\phi _{z}(t)}},\\\\\mathrm {Pour\ } y',&{\frac {x-\operatorname {f} _{x}(t)}{\psi _{x}(t)}}={\frac {y-\operatorname {f} _{y}(t)}{\psi _{y}(t)}}={\frac {z-\operatorname {f} _{z}(t)}{\psi _{z}(t)}},\\\\\mathrm {Pour\ } z',&{\frac {x-\operatorname {f} _{x}(t)}{\chi _{x}(t)}}={\frac {y-\operatorname {f} _{y}(t)}{\chi _{y}(t)}}={\frac {z-\operatorname {f} _{z}(t)}{\chi _{z}(t)}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0fdb9e42a95ff7a6f2daeabce3fb42fc96f21b)
(3)
et dans lesquelles il est permis de supposer
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\left\{\phi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{z}(t)\right\}^{2}=1,\\\left\{\psi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{z}(t)\right\}^{2}=1,\\\left\{\chi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\chi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\chi _{z}(t)\right\}^{2}=1.\end{aligned}}\right\}\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c934fb5de8159265c01cd5d6b6e00e1e9d99aa)
En outre, parce que ces axes sont rectangulaires, on aura aussi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\left\{\psi _{x}(t)\right\}\left\{\chi _{x}(t)\right\}+\left\{\psi _{y}(t)\right\}\left\{\chi _{y}(t)\right\}+\left\{\psi _{z}(t)\right\}\left\{\chi _{z}(t)\right\}=0,\\&\left\{\chi _{x}(t)\right\}\left\{\phi _{x}(t)\right\}+\left\{\chi _{y}(t)\right\}\left\{\phi _{y}(t)\right\}+\left\{\chi _{z}(t)\right\}\left\{\phi _{z}(t)\right\}=0,\\&\left\{\phi _{x}(t)\right\}\left\{\psi _{x}(t)\right\}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}\left\{\psi _{y}(t)\right\}+\left\{\phi _{z}(t)\right\}\left\{\psi _{z}(t)\right\}=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2110a47e3e1b169d812b4ad0ba920ec82b98ee7b)
relations desquelles on en pourrait déduire beaucoup d’autres et qui montrent que de nos neuf fonctions de
relatives au mouvement de rotation trois seulement sont arbitraires.
Il est clair présentement que le point
se croyant immobile, rapporte tous les points de l’espace aux axes des
et conséquemment c’est aussi à ces axes qu’il faut les rapporter, pour avoir leur mouvement apparent ; or, les formules nécessaires pour cela sont, comme l’on sait,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x=&\operatorname {f} _{x}(t)+x'\phi _{x}(t)+y'\psi _{x}(t)+z'\chi _{x}(t),\\y=&\operatorname {f} _{y}(t)+x'\phi _{y}(t)+y'\psi _{y}(t)+z'\chi _{y}(t),\\z=&\operatorname {f} _{z}(t)+x'\phi _{z}(t)+y'\psi _{z}(t)+z'\chi _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a89d47f4e1de52198dafe067a4e1daac37ee49)
(6)
desquelles on tire, en ayant égard aux relations (4, 5),
(7)
mettant donc dans les seconds membres pour
les valeurs données par les équations (1), et supprimant ensuite, dans les premiers, les accens devenus inutiles, nous aurons pour les équations du mouvement apparent de
par rapport à ![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
(8)
et les équations de la trajectoire apparente seront le résultat de l’élimination de
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
entre ces trois-là.
Si l’on suppose que, dans le mouvement de
son axe de rotation est toujours parallèle à lui-même ; en prenant cet axe pour celui des
on devra avoir
![{\displaystyle \chi _{x}(t)=g,\quad \chi _{y}(t)=h,\quad \chi _{z}(t)=k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094feb4a80d0b4ee03d2283f1552b92b5e812034)
étant des constantes ; les équations de condition (4, 5) deviendront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\left\{\phi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{z}(t)\right\}^{2}=1,&\\\left\{\psi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{z}(t)\right\}^{2}=1,&\\g^{2}+h^{2}+k^{2}=1,&\end{aligned}}\right\}\quad (9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3003ab9feee524d8bc2495de7e484c68de4725)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}g\left\{\psi _{x}(t)\right\}+h\left\{\psi _{y}(t)\right\}+k\left\{\psi _{z}(t)\right\}=&0,\\g\left\{\phi _{x}(t)\right\}+h\left\{\phi _{y}(t)\right\}+k\left\{\phi _{z}(t)\right\}=&0,\\\left\{\phi _{x}(t)\right\}\left\{\psi _{x}(t)\right\}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}\left\{\psi _{y}(t)\right\}+\left\{\phi _{z}(t)\right\}\left\{\psi _{z}(t)\right\}=&0\,;\end{aligned}}\right\}\quad (10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e84ae950dea6ddd9ee2e1339bb0dfdd338ed67c)
et les équations du mouvement apparent de
seront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x=&\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}\phi _{x}(t)+\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}\phi _{y}(t)+\left\{\operatorname {F} _{z}(t)-\operatorname {f} _{z}(t)\right\}\phi _{z}(t),\\y=&\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}\psi _{x}(t)+\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}\psi _{y}(t)+\left\{\operatorname {F} _{z}(t)-\operatorname {f} _{z}(t)\right\}\psi _{z}(t),\\z=&g\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}+h\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}+k\left\{\operatorname {F} _{z}(t)-\operatorname {f} _{z}(t)\right\}\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366440e53dee6cb5eddc1763e8149b16fa6cca81)
(11)
Si l’on suppose, en outre, que cet axe de rotation est parallèle à l’axe des
et conséquemment perpendiculaire au plan des
primitifs, on aura
![{\displaystyle g=0,\quad h=0,\quad k=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7519851a2beec83712bf817bf6da829f45f51a1e)
d’où (9, 10)
![{\displaystyle \psi _{z}(t)=0,\qquad \phi _{z}(t)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69eb7302af00a0b3cc5d6d7d7debd20a8569159)
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\left\{\phi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}^{2}=1,\qquad \left\{\psi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{y}(t)\right\}^{2}=1,&\qquad (12)\\\left\{\phi _{x}(t)\right\}\left\{\psi _{x}(t)\right\}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}\left\{\psi _{y}(t)\right\}=0\,;&\qquad (13)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333390bb86f6032f2774447da39a23167399dcfb)
et les équations du mouvement apparent de
seront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x=\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}\phi _{x}(t)+\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}\phi _{y}(t),\\&y=\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}\psi _{x}(t)+\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}\psi _{y}(t),\\&z=\operatorname {F} _{z}(t)-\operatorname {f} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2af9c6933a203a17ae71e6fc54680e7458dd6a8)
(14)
S’il n’y avait pas de mouvement de rotation, on pourrait admettre
d’où
et les équations du mouvement apparent de
seraient ainsi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x=\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t),\\&y=\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t),\\&z=\operatorname {F} _{z}(t)-\operatorname {f} _{z}(t).\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c47bc2947668942e284d36b1b8a89cce24e1686)
(15)
Si l’on suppose enfin que les mouvemens réels de
et
ont lieu dans le plan des
primitives, on devra avoir
![{\displaystyle \operatorname {F} _{z}(t)=0\qquad \operatorname {f} _{z}(t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eb32c12f62f84394a922be03ea7d5665b4be54)
et conséquemment
le mouvement apparent de
aura donc lieu aussi dans le plan des
le problème deviendra ainsi un problème de géométrie plane ; et les équations du mouvement apparent de
seront simplement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x=\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}\phi _{x}(t)+\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}\phi _{y}(t),\\&y=\left\{\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t)\right\}\psi _{x}(t)+\left\{\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t)\right\}\psi _{y}(t)\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989ba7876bf4c69e498ad8efecf64d0d12c42439)
(16)
dans lesquelles on aura toujours
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}\left\{\phi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}^{2}=1,\qquad \left\{\psi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{y}(t)\right\}^{2}=1,\\\left\{\phi _{x}(t)\right\}\left\{\psi _{x}(t)\right\}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}\left\{\psi _{y}(t)\right\}=0\,;\end{array}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8a301a54aa24ecc5c7060f5cf8c51458040c49)
(17)
et l’équation de la trajectoire apparente sera le résultat de l’élimination de
entre les équations (15).
Si le mouvement de rotation n’a pas lieu, comme la situation des axes liés invariablement avec
est arbitraire, il sera permis de supposer
![{\displaystyle \phi _{x}(t)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eecff110189539a80cc95ebf3beaa791f0b765)
d’où résultera (16)
![{\displaystyle \phi _{x}(t)=0,\quad \psi _{x}(t)=0,\quad \psi _{y}(t)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a70bafba42d5ad9a2660419688f4d4ac20dbd3)
au moyen de quoi les équations (15) du mouvement apparent deviendront simplement
![{\displaystyle x=\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t),\quad y=\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bac594007fa6e107622686530a20fe13ee8db4d)
(18)
Si le mouvement absolu des deux points a lieu suivant l’axe des
on devra avoir
![{\displaystyle \operatorname {F} _{y}(t)=0,\qquad \operatorname {f} _{y}(t)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf418ec19cde80e6f3a192001407a5308cc6b38)
on aura donc aussi
c’est-à-dire que le mouvement apparent de
aura lieu aussi suivant cet axe ; le problème deviendra donc ainsi un simple problème de géométrie à une dimension ; et l’équation du mouvement apparent de
sera
![{\displaystyle x=\operatorname {F} (t)-\operatorname {f} (t).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4eaf0286ad5d315f468f7ad25aa8c9265fc180)
(19)
Nous allons présentement faire quelques applications de ces diverses formules ; en les prenant dans un ordre inverse de celui suivant lequel nous y sommes successivement parvenus.
§. I.
Mouvement de deux points sur une même droite.
Nous venons de voir (19) que, les mouvemens absolus de deux points
sur une même droite, ayant respectivement pour leurs équations
![{\displaystyle x=\operatorname {F} (t),\qquad x+\operatorname {f} (t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9678c538d839eef6e2a4255e5092a258e1c35b7)
l’équation du mouvement apparent de
par rapport à
se croyant fixe, est
![{\displaystyle x=\operatorname {F} (t)-\operatorname {f} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1270b0067436008ea6ce4f481095e33026d44a92)
Si d’abord le point
est fixe ; en prenant ce point pour origine des
, on aura
de sorte que l’équation du mouvement apparent de ce point sera
![{\displaystyle x=-\operatorname {f} (t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad910071dc7821cea2060423c7fbeed3420a99ac)
ce mouvement apparent sera donc égal et contraire au mouvement réel de
. C’est le cas des navigateurs approchant de la côte et à qui le rivage semble avancer vers eux de la même quantité dont ils s’avancent réellement vers lui.
Supposons, en second lieu, que les deux points
sont mus d’un mouvement uniforme ; nous pourrons prendre, pour les équations de leurs mouvemens réels,
![{\displaystyle x=A+A't,\qquad x=a+a't\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3add3dce15b48c767ed8a44650071a10b7a445)
l’équation du mouvement apparent de
sera
![{\displaystyle x=(A-a)+(A'-a')t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed87107019b24ff32634c768f7e6718ddb7d181)
c’est-à-dire que ce mouvement apparent sera aussi uniforme. On voit de plus que la vitesse apparente
sera la différence des vitesses réelles
prises avec leurs signes, c’est-à-dire, la différence effective de ces vitesses ou leur somme, suivant que les deux mobiles seront mus dans le même sens ou en sens contraire. C’est communément le cas de deux voitures sur une même route ou de deux bateaux sur un même canal-rectiligne. On voit, en particulier, que si les vitesses sont égales et de même signe, le point, semblera immobile au point ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Supposons présentement les deux mouvemens uniformément variés ; nous pourrons prendre pour les équations de ces mouvemens
![{\displaystyle x=A+A't+A''t^{2},\qquad x=a+a't+a''t^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5431270e3db29f07401f6ab1d50c61ecf59bd7d4)
et le mouvement apparent de
aura pour équation
![{\displaystyle x=(A-a)+(A'-a')t+(A''-a'')t^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752d8540f499fd6c7c66b7cd058bf9ae7b80cb4f)
c’est-à-dire que ce mouvement sera lui-même uniformément varié. C’est, par exemple, le cas d’un aéronaute qui tombe d’un ballon, tandis qu’on lance une pierre verticalement vers lui.
On voit, au surplus, que, pour que le mouvement apparent soit uniformément varié, il n’est pas nécessaire que les deux mouvemens réels le soient ; et qu’il serait encore tel, lors même que l’un de ces mouvemens serait uniforme ; avec cette seule différence que, si le mouvement uniforme était celui de
le mouvement apparent de
serait accéléré ou retardé, suivant que son mouvement réel le serait lui-même ; tandis qu’au contraire si le mouvement uniforme appartenait à ce point
son mouvement apparent serait accéléré ou retardé, suivant que le mouvement réel de
serait retardé ou accéléré.
Si les forces accélératrices étaient égales et de mêmes signes, on aurait
et conséquemment l’équation du mouvement apparent serait
![{\displaystyle x=(A-a)+(A'-a')t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed87107019b24ff32634c768f7e6718ddb7d181)
c’est-à-dire que ce dernier mouvement serait uniforme ; c’est le cas d’un homme et d’une pierre tombant de différens points d’une même verticale à des époques différentes.
Si, de plus, la vitesse réelle était la même à chaque instant, on aurait
et par suite
en sorte que le mouvement apparent de
serait nul. C’est le cas d’un homme et d’une pierre qui tombent au même instant de différens points d’une même verticale.
§. II.
Mouvement de deux points sur un même plan.
Faisons d’abord abstraction du mouvement de rotation de
Soient les équations du mouvement réel de
et
ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=\operatorname {F} _{x}(t),\\y=\operatorname {F} _{y}(t)\,;\end{aligned}}\right.\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=\operatorname {f} _{x}(t),\\y=\operatorname {f} _{y}(t)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b0d8fbea364f13eceb6cef7abc5387bb5d0fd6)
les équations du mouvement apparent de
seront (18)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t),\\y=\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5584d1b9c5c4d03e4bd4072c0e924d2b11765d)
Supposons, en premier lieu, que le point
soit fixe ; en prenant ce point pour origine des coordonnées primitives, nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {F} _{x}(t)=0,\qquad \operatorname {F} _{y}(t)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528e0c8d51b7a1bb0736aeda6a1a2ffceddd2f40)
d’après quoi les équations du meuvement apparent de ce point seront
![{\displaystyle x=-\operatorname {f} _{x}(t),\qquad y=-\operatorname {f} _{y}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6588916c9163ce9653a2d78bb17681c4fdb376)
c’est-à-dire que ce mouvement sera égal et contraire à celui de
Ainsi, si
décrit une droite d’un mouvement uniforme ou varié,
lui semblera décrire d’un mouvement inverse une parallèle à cette droite. Si le point
décrit un cercle, le point
lui semblera décrire, en sens inverse, un cercle de même rayon ; de sorte que si
décrit un cercle autour de
semblera décrire un cercle autour de ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
C’est par l’effet de cette illusion que celui qui parcourt une route dans une voiture ou un canal dans un bateau voit les divers objets répandus dans la campagne s’enfuir derrière lui, avec une vitesse égale à celle qu’il a lui-même[2] ; et c’est encore par suite d’une semblable illusion que ceux qui ignorent le mouvement annuel de la terre autour du soleil, d’orient en occident, attribuent au soleil un mouvement annuel autour de la terre d’occident en orient.
Supposons présentement les deux points
mus d’un mouvement rectiligne et uniforme ; nous pourrons prendre respectivement pour les équations de leur mouvement réel
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=A+A't,\\y=B+B't\,;\end{aligned}}\right.\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=a+a't,\\y=b+b't\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4e9da42af6d60e6b73bc79738b54978d48c3dd)
en conséquence de quoi les équations de leurs trajectoires effectives seront respectivement
![{\displaystyle {\frac {x-A}{A'}}={\frac {y-B}{B'}},\qquad {\frac {x-a}{a'}}={\frac {y-b}{b'}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888bf2199e2f7c5111afef4ca0be75e025253c0a)
Les équations du mouvement apparent de
seront ainsi
![{\displaystyle x=(A-a)+(A'-a')t,\qquad y=(B-b)+(B'-b')t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db37f8d8e190f04a694bc57f31a9ac07e2fabfd)
et par suite celle de sa trajectoire apparente
![{\displaystyle {\frac {x-(A-a)}{A'-a'}}={\frac {y-(B-b)}{B'-b'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cbae01c06bae0d24b0bbc46c018f8c4535e87cd)
c’est-à-dire que le mouvement apparent de
sera aussi uniforme et rectiligne. On voit de plus que ses vitesses apparentes parallèlement aux axes ne seront autre chose que les différences des vitesses réelles parallèles à ces mêmes axes, prises avec leurs signes.
Les vitesses absolues de
et
étant respectivement
si l’on voulait exprimer que ces vitesses sont égales, il faudrait écrire
![{\displaystyle A'^{2}+B'^{2}=a'^{2}+b'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1580112f12d8a3d1dd728ba83ca5070609118d)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle (A'-a')(A'+a')=-(B'-b')(B'+b')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0a6a8bbabd66615645e091500a9875f87bfea6)
multipliant par cette dernière équation celle de la trajectoire apparente, elle deviendrait
![{\displaystyle (A'+a')\left\{x-(A-a)\right\}+(B'+b')\left\{y-(B-b)\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fb6c2718b2875568023f09e15caa535fe6fa9a)
Si l’on supposait que les trajectoires effectives des deux points
sont des droites parallèles ; il faudrait écrire
![{\displaystyle {\frac {B'}{A'}}={\frac {b'}{a'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0e7f79695a773e8c5029bfb500e777eba6e57a)
de sorte qu’en représentant par
la valeur commune de ces deux fractions, on aurait
![{\displaystyle B'=\lambda A',\qquad b'=\lambda a',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c738ae0c16b13c1a06bb4ab7708220211206095)
d’où
![{\displaystyle B'-b'=\lambda (A'-a'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c47c6a21db34a1ac9d696e6d1742769e4b62014)
les équations du mouvement apparent de
seraient donc
![{\displaystyle x=(A-a)+(A'-a')t,\qquad y=(B-b)+\lambda (A'-a')t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e514953dc5c00436d462e8d3c20faf64b9cbde0a)
ce qui donnerait pour celle de sa trajectoire apparente
![{\displaystyle \lambda \left\{x-(A-a)\right\}=y-(B-b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf106a8b4334ee34fcdc137f29faf57e595c8706)
Dans le même cas, les vitesses effectives
deviennent respectivement
![{\displaystyle A'{\sqrt {1+\lambda ^{2}}},\qquad a'{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3a449e9dcb6c229fb9768f866f12309c063424)
si donc l’on veut supposer qu’elles sont égales, il suffira d’écrire
ou
ce qui donnera, pour les équations du mouvement apparent de ![{\displaystyle \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780cae1add02ad4aa1c3719fb704cc88e591f64f)
![{\displaystyle x=A-a,\qquad y=B-b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2bfe4ef6f1fe7f73cd88eb4f566a09c1f4f467)
c’est-à-dire, en d’autres termes, que le point
le croira immobile.
Et, comme ce que nous venons de dire du point
peut être appliqué à tant d’autres points
qu’on voudra, il s’ensuit généralement que, si tant de points qu’on voudra décrivent dans l’espace des droites parallèles, avec une vitesse commune et que l’un d’eux se croie fixe, tous les autres lui sembleront immobiles.
Il en serait encore de même si la vitesse commune à tous ces points venait à changer, soit brusquement, soit d’une manière insensible, pourvu qu’elle demeurât toujours la même pour tous. Les mêmes choses auraient encore lieu si la direction commune des mouvemens venait à changer, soit brusquement, soit par degrés insensibles, pourvu que leur parallélisme se conservât constamment et que les distances entre les points du système demeurassent invariables.
En supposant toujours le mouvement de nos deux points rectilignes, si nous voulons le supposer uniformément varié, il faudra admettre que ce mouvement est donné ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=A+A'(1+Ct)t,\\y=B+B'(1+Ct)t\,;\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=a+a'(1+ct)t,\\y=b+b'(1+ct)t\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7c49a42b1f0723d56754d9f3c7ac7669e9f6ff)
ce qui donnera pour les équations des trajectoires effectives
![{\displaystyle {\frac {x-A}{A'}}={\frac {y-B}{B'}},\qquad {\frac {x-a}{a'}}={\frac {y-b}{b'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0b037b23864851f0a9e3fad2e64952c17a61ed)
et, pour les équations du mouvement apparent de ![{\displaystyle \mathrm {P,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5a4e3dd2a3403b87c578583e5b67eb67a1c007)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=(A-a)+(A'-a')t+(A'C-a'c)t^{2},\\y=(B-b)+(B'-b')t+(B'C-b'c)t^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a026c47c2cc55988bad5a4a177856c3b4d3bbb70)
on trouvera, en conséquence, pour l’équation de la trajectoire apparente de ![{\displaystyle \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780cae1add02ad4aa1c3719fb704cc88e591f64f)
![{\displaystyle \left\{(B'C-b'c)\left[x-(A-a)\right]-(A'C-a'c)\left[y-(B-b)\right]\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6993591c88e20f14ff6a67f9acee2bbf9cf0d42)
![{\displaystyle =(C-c)(A'b'-B'a')\left\{(B'-b')\left[x-(A-a)\right]-(A'-a')\left[y-(B-b)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb6f0b74f826e97832081b74d6e466a0ba4a057)
équation qui appartient évidemment à une parabole ; elle appartiendrait encore à cette courbe quand bien même
ou
serait nul, c’est-à-dire, quand bien même l’un des deux mouvemens effectifs serait uniforme. Ainsi, lorsqu’un corps pesant tombe verticalement du haut des airs sur une route ou, dans un canal rectiligne, il doit sembler décrire une parabole à celui qui, se croyant immobile, parcourt cette route ou ce canal d’un mouvement uniforme.
Pour ne nous arrêter qu’aux cas les plus simples des mouvemens curvilignes, supposons de suite que nos deux points
parcourent deux circonférences concentriques, d’un mouvement uniforme. En représentant par
le rayon des deux cercles, et prenant leur centre commun pour origine des coordonnées primitives, les équations de leur mouvement seront telles qu’il suit :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=R\operatorname {Cos} .(C+C't),\\y=R\operatorname {Sin} .(C+C't)\,;\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=r\operatorname {Cos} .(c+c't),\\y=r\operatorname {Sin} .(c+c't)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3a772e83cbb7ebc87939e9aa0d719590316dd)
ce qui donnera pour les équations de leurs trajectoires effectives
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb043f77c5cf931450c8a21e2733c1376bd1e3da)
les équations du mouvement apparent de
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=R\operatorname {Cos} .(C+C't)-r\operatorname {Cos} .(c+c't),\\&y=R\operatorname {Sin} .(C+C't)\ -r\operatorname {Sin} .(c+c't)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671f572f2075655220c58067e29069ab1435a178)
et l’équation de sa trajectoire apparente sera le résultat de l’élimination de
entre ces deux-là.
Si nous désignons par
la longueur du rayon visuel conduit de
vers
et par
l’angle que fait ce rayon avec l’axe des
nous aurons
![{\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-2Rr\operatorname {Cos} .\left\{(C-c)+(C'-c')t\right\}+r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc88c6ac0274c0d0aa54dd24953a1a01b0fb116)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\theta ={\frac {x}{y}}={\frac {R\operatorname {Sin} .(C+C't)-r\operatorname {Sin} .(c+c't)}{R\operatorname {Cos} .(C+C't)-r\operatorname {Cos} .(c+c't)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cbe7854c85fe36635db4435bf90371138d8840)
Lorsqu’on n’aspire pas à une grande précision, on peut considérer les planètes comme animées d’un mouvement circulaire et uniforme dans un même plan autour du soleil. En supposant donc que
soit la terre et
une autre planète quelconque, ces formules feront connaître, pour chaque instant, la distance
de l’observateur à cette planète et l’angle
que forme le rayon visuel dirigé vers elle avec une droite fixe quelconque.
La distance
est un maximum ou un minimum, suivant qu’on a
![{\displaystyle (C-c)+(C'-c')t=(2n+1)\varpi \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e44e70007d1725e3f2dfcda1d2d7113cd7d2b97)
ou
![{\displaystyle \quad (C-c)+(C'-c')t=2n\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aef5529ad76ce19eaf9b5629a49781b41303087)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle t={\frac {(2n+1)\varpi -(C-c)}{C'-c'}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f56e68ac5c85ab1fd840c953ba4c4be8739902)
ou
![{\displaystyle \quad t={\frac {2n\varpi -(C-c)}{C'-c'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86af6f0aebba00b8024ce85d9856c0810e69cc5)
formules au moyen desquelles on pourra calculer les époques des oppositions et conjonctions.
Si l’on veut compter les temps à partir d’une conjonction, ce qui est permis, on devra avoir
![{\displaystyle C-c=2n\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12f4ec935046a3ea0fa89a8df6bc43617c64e85)
au moyen de quoi la valeur générale de
deviendra simplement
![{\displaystyle \rho ^{2}=R^{2}-2Rr\operatorname {Cos} .(C'-c')t+r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d163ff3f96f27f6d8a1e0359e2bfdf9156dfd3)
Si de plus on suppose que cette conjonction a lieu sur l’axe des
ce qui est encore permis, puisque la direction de cet axe est arbitraire ; il faudra qu’à
répondent aussi
![{\displaystyle C+C't=0,\qquad c+c't=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3b4043957dcffd2910db1e9483025a7d71cfba)
c’est-à-dire qu’on devra avoir à la fois
![{\displaystyle C=0,\qquad c=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342e95022e865d888891c4e88c6ae88c1e116169)
les équations du mouvement absolu de
et
deviendront ainsi
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .C't,\\y=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .C't\,;\end{aligned}}\right.\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=r\operatorname {\operatorname {Cos} } .c't,\\y=r\operatorname {\operatorname {Sin} } .c't\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28bb4dfa79a115f23a52348c6c55b9b56ff6711)
les équations du mouvement apparent de
seront donc
![{\displaystyle x=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .C't-r\operatorname {\operatorname {Cos} } .c't,\qquad y=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .C't-r\operatorname {\operatorname {Sin} } .c't\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6deb581736f2c5092adcd45515e0e38383f0152)
étant l’angle du rayon visuel avec l’axe des
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\theta ={\frac {R\operatorname {\operatorname {Sin} } .C't-r\operatorname {\operatorname {Sin} } .c't,}{R\operatorname {\operatorname {Cos} } .C't-r\operatorname {\operatorname {Cos} } .c't}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8360f92446e20606367619ebfb693f61a702e8b8)
et on calculera les époques des oppositions et conjonctions par les formules
![{\displaystyle t={\frac {(2n+1)\varpi }{C'-c'}},\qquad t={\frac {2n\varpi }{C'-c'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3aa9b362aa775cd9b74149973ec35a839aaabfa)
d’où l’on voit que, si l’on représente par
l’intervalle de temps entre deux conjonctions ou oppositions consécutives, on aura
![{\displaystyle \tau ={\frac {2\varpi }{C'-c'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a18b7efc181c1ca5cf3a5c4b1059db47f13d32a)
En égalant à zéro la différentielle de
prise par rapport à
on aura
![{\displaystyle C'R^{2}-(C'+c')Rr\operatorname {\operatorname {Cos} } .(C'-c')t+c'r^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6870cbcf8c9b86d887e0169bf9a3578ec2cdf699)
d’où
![{\displaystyle t={\frac {1}{C'-c'}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Cos} .={\frac {C'R^{2}+c'r^{2}}{(C'+c')Rr}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772566e6dc99d25b63e08e51b549127949d5411d)
formule qui servira à calculer les époques des plus grandes élongations pour les planètes inférieures et celles des rétrogradations pour les planètes supérieures.
Soient
les durées respectives des révolutions sydérales, on devra avoir
![{\displaystyle C'(t+S)-C't=2\varpi ,\qquad c'(t+s)-c't=2\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3448a3bdea38a8f159d2df0865acbabdf328486f)
d’où
![{\displaystyle C'={\frac {2\varpi }{S}},\qquad c'={\frac {2\varpi }{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0628a637fef4db6065f3c7d23bc37acc89bcbf59)
alors les époques des oppositions et conjonctions pourront se calculer par les formules
![{\displaystyle t=-{\frac {(2n+1)Ss}{2(S-s)}},\qquad t=-{\frac {nSs}{S-s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d133c687fd0057e3dafd59273f227c1f3b5c92e9)
de sorte que l’intervalle de temps entre deux conjonctions ou oppositions consécutives sera
![{\displaystyle \tau ={\frac {Ss}{S-s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f2d88892e7e51f81430475ff4f2053afef2790)
enfin les époques des plus grandes élongations ou rétrogradations se calculeront par la formule
![{\displaystyle t=-{\frac {S-s}{2\varpi }}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Cos} .={\frac {sR^{2}+Sr^{2}}{(S+s)Rr}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb17d882eff4c821dd2d7786e2e80e958917a6b0)
mais, d’après la troisième loi de Kepler,
![{\displaystyle S^{2}r^{3}=s^{2}R^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ec1972713b01e777ef8e235f758477ff5b3081)
employant donc cette formule pour éliminer l’un des deux rayons
l’autre disparaîtra aussi, et il viendra
![{\displaystyle t=-{\frac {S-s}{2\varpi }}\operatorname {\operatorname {Arc} } .\left\{\operatorname {\operatorname {Cos} } .={\frac {\left({\sqrt[{3}]{S}}+{\sqrt[{3}]{s}}\right){\sqrt[{3}]{Ss}}}{S+s}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fead716a054e2025a632466b29df17807055d5)
c’est-à-dire que les époques des plus grandes élongations et rétrogradations ne dépendent uniquement que des durées des révolutions sydérales.
Si, en admettant toujours
on avait
les équations du mouvement apparent de
deviendraient
![{\displaystyle x=(R-r)\operatorname {Cos} .c't,\qquad y=(R-r)\operatorname {Sin} .c't\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa492e7258ccd39d48ecb16691734fdc4c421071)
d’où
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=(R-r)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef3e867d60690340ca41b710680393d386d45fa)
c’est-à-dire que ce mouvement serait circulaire et uniforme.
Donnons présentement au point
un mouvement de rotation sur un axe perpendiculaire au plan des trajectoires ; mais, pour ne point nous engager dans des calculs trop compliqués, supposons que ces trajectoires soient toujours des cercles concentriques, décrits d’un mouvement uniforme autour de l’origine des coordonnées primitives, et supposons en outre que le mouvement de rotation de
soit aussi uniforme. Les équations du mouvement effectif seront encore, comme ci-dessus :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .(C+C't),\\y=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .(C+C't)\,;\end{aligned}}\right.\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=r\operatorname {\operatorname {Cos} } .(c+c't),\\y=r\operatorname {\operatorname {Sin} } .(c+c't)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb778372e30bb5d3789dfeab69b1be530cd7881f)
il est aisé de voir (16, 17) qu’on pourra prendre pour les équations du mouvement apparent de ![{\displaystyle \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780cae1add02ad4aa1c3719fb704cc88e591f64f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=+\left\{R\operatorname {Cos} .(C+C't)-r\operatorname {Cos} .(c+c't)\right\}\operatorname {Cos} .(k+k't)&\\+\left\{R\ \operatorname {Sin} .(C+C't)-r\ \operatorname {Sin} .(c+c't)\right\}\,\operatorname {Sin} .(k+k't)&,\\y=-\left\{R\operatorname {Cos} .(C+C't)-r\operatorname {Cos} .(c+c't)\right\}\,\operatorname {Sin} .(k+k't)&\\+\left\{R\ \operatorname {Sin} .(C+C't)-r\,\operatorname {Sin} .(c+c't)\right\}\operatorname {Cos} .(k+k't)&\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081e3129bc82094c13f236d955de3d7e5fef8c29)
étant l’angle variable que fait l’axe des
mobile avec
avec l’axe des
primitifs. C’est en éliminant
entre ces deux équations qu’on obtiendrait celle de la trajectoire apparente de P. Bornons-nous à considérer quelques cas particuliers.
Supposons, en premier lieu, que les deux points
sont fixes l’un et l’autre, sauf le mouvement de rotation de
et que le point
est à l’origine des coordonnées primitives ; nous aurons ainsi
![{\displaystyle R=0,\qquad c'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef404dd1ea18a81c249a8a034c8cc65ca59652b5)
au moyen de quoi les équations du mouvement apparent de
se réduiront à
![{\displaystyle x=-r\operatorname {Cos} .(c-k-k't),\qquad y=-r\operatorname {Sin} .(c-k-k't)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c18e3fee21f121c38540913183674658a6a4a85)
d’où
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b64b1b96e4e49a9fbb787572e5a0e7e26e9d4f)
c’est-à-dire que le point fixe
semblera avoir un mouvement circulaire et uniforme autour de
en sens inverse du mouvement de rotation de celui-ci et avec une vitesse angulaire égale à la sienne. C’est précisément par suite d’une illusion semblable que ceux qui ignorent la rotation diurne de la terre d’occident en orient attribuent au soleil une révolution journalière autour d’elle d’orient en occident.
Supposons toujours le point
fixe, à l’origine des coordonnées primitives, mais rendons au point
son mouvement circulaire et uniforme autour de lui, en lui conservant d’ailleurs son mouvement de rotation ; nous aurons ainsi simplement,
au moyen de quoi les équations du mouvement apparent de
se réduiront à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=-r\operatorname {Cos} .\left[(c-k)+(c'-k')t\right],\\&y=-r\operatorname {Sin} .\left[(c-k)+(c'-k')t\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347e35a5fdcd2a764ab695601ac89a83c4a6c997)
d’où
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b64b1b96e4e49a9fbb787572e5a0e7e26e9d4f)
Ainsi généralement ce mouvement apparent sera un mouvement circulaire et uniforme autour de
en sens inverse de son mouvement de rotation, et avec une vitesse angulaire
égale à la différence entre ses vitesses angulaires
de révolution autour de
et de rotation sur lui-même, prises avec leurs signes.
Si donc ces deux vitesses sont égales, les équations du mouvement deviendront
![{\displaystyle x=-r\operatorname {Cos} .(c-k),\qquad y=-r\operatorname {Sin} .(c-k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40868e35cc1cd8db0ccdad1aa04672780a41a860)
c’est-à-dire, en d’autres termes, que le point
semblera tout-à-fait immobile. C’est précisément sous cet aspect que la terre doit s’offrir aux habitans de la lune.
Traitons encore un cas. Supposons que le point
placé à l’origine, n’ait qu’un simple mouvement de rotation pendant que le point
décrit une ligne droite passant aussi par cette origine ; en supposant les deux mouvemens uniformes, les équations du mouvement effectif de
seront
![{\displaystyle x=A(1+\lambda t),\qquad y=B(1+\lambda t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a6a2613b0dc865c4f97636a54fe89d96f2977)
ce qui donnera, pour l’équation de la droite parcourue,
![{\displaystyle {\frac {x}{A}}={\frac {y}{B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df341047c9f52e0b5140da3bae37ceae06f5443)
Quant aux équations de son mouvement apparent, elles seront de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&(1+\lambda t)\left\{A\operatorname {Cos} .(k+k't)+B\operatorname {Sin} .(k+k't)\right\}\,;\\y=&(1+\lambda t)\left\{B\operatorname {Cos} .(k+k't)-A\operatorname {Sin} .(k+k't)\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84816afc125a3bf8368e5be257412c6423f11ed1)
d’où
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left(A^{2}+B^{2}\right)(1+\lambda t)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb1ee7755c28f40c28ba1bc3ea5ce5acffe9f3b)
Désignons par
le rayon vecteur et par
l’angle qu’il fait avee l’axe des
nous aurons
![{\displaystyle r=(1+\lambda t){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1d58d8c56717cd3c747e9c3d946e6f2f563811)
et en outre
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&r\operatorname {Cos} .\theta =(1+\lambda t){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\operatorname {Cos} .\theta ,\\y=&r\ \operatorname {Sin} .\theta =(1+\lambda t){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\operatorname {Sin} .\theta \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ba293e22b6b989d2ff3e9065f00da6ab2420c2)
égalant ces valeurs de
à celles que nous avons trouvées ci-dessus, et posant, pour abréger,
![{\displaystyle A^{2}+B^{2}=C^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089158618b2a88c2f33799f1846531d9f7d72f27)
il viendra, en réduisant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}C\operatorname {Cos} .\theta =&A\operatorname {Cos} .(k+k't)+B\operatorname {Sin} .(k+k't),\\C\ \operatorname {Sin} .\theta =&B\operatorname {Cos} .(k+k't)-A\operatorname {Sin} .(k+k't)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfb8dfe3a7282e2bc1ef6f49c37aba031c8d62e)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}C\ \operatorname {Sin} .(k+k't)=&B\operatorname {Cos} .\theta -A\operatorname {Sin} .\theta ,\\C\operatorname {Cos} .(k+k't)=&A\operatorname {Cos} .\theta +B\operatorname {Sin} .\theta \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f5ad7a0e9ce07b278c4ae549f8b5a658a5a30c)
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(k+k't)={\frac {B\operatorname {Cos} .\theta -A\operatorname {Sin} .\theta }{A\operatorname {Cos} .\theta +B\operatorname {Sin} .\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5033dd2291f6a17f8bc36c965aa4cb6ba339e35)
En posant
![{\displaystyle A=C\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad B=C\operatorname {Sin} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6a0d80e0251e5a7f1379c95e7d303c3e5d60b6)
cette équation deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(k+k't)={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha -\theta )}{\operatorname {Cos} .(\alpha -\theta )}}=\operatorname {Tang} .(\alpha -\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbe03843ad8c69398a7af150cd510b5ea6cb886)
d’où
![{\displaystyle k+k't=\alpha -\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a7ae0dd2083b1a7c39cc32d24fe948c3b55c88)
mais la valeur de
donne
![{\displaystyle 1+\lambda t={\frac {r}{C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff93c9901084c55689fad1b2360796b927923d4)
éliminant donc
entre ces deux dernières équations, nous aurons, pour l’équation polaire de la trajectoire apparente,
![{\displaystyle r={\frac {C}{k'}}\left\{k'-\lambda (k-\alpha )-\lambda \theta \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc4d2cb87cf0a129d08bb9327ae1dcf4ba7217d)
équation de la spirale d’Archimède, comme on pouvait bien s’y attendre.
§. III.
Mouvement de deux points dans l’espace.
À raison de la complication des formules, nous ne nous étendrons pas beaucoup sur cette dernière partie de nos recherches.
Faisons d’abord abstraction du mouvement de rotation de
Soient les équations du mouvement effectif de
et
ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=&\operatorname {F} _{x}(t),\\y=&\operatorname {F} _{y}(t),\\z=&\operatorname {F} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right.\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=&\operatorname {f} _{x}(t),\\y=&\operatorname {f} _{y}(t),\\z=&\operatorname {f} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff00f08c962340fe40800eb6e0ed89d37d851a07)
nous savons que les équations du mouvement apparent de
seront (15)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\operatorname {F} _{x}(t)-\operatorname {f} _{x}(t),\\y=&\operatorname {F} _{y}(t)-\operatorname {f} _{y}(t),\\z=&\operatorname {F} _{z}(t)-\operatorname {f} _{z}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888bb316eb67538afef0d7d1ae0b09b0264718ee)
Si d’abord on suppose que le point
est fixe, en prenant ce point pour origine des coordonnées primitives, on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} _{x}(t)=0,\quad \operatorname {F} _{y}(t)=0,\quad \operatorname {F} _{z}(t)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6612f56a58e6a7aff01cb607ffdd23d0d067cfe)
de sorte que les équations du mouvement apparent de ce même point seront
![{\displaystyle x=-\operatorname {f} _{x}(t),\quad y=-\operatorname {f} _{y}(t),\quad z=-\operatorname {f} _{z}(t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5cfcfc7760d8ec58ab23a4bccef78ba9e9dd49)
c’est-à-dire que ce mouvement sera exactement égal et contraire au mouvement effectif de ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Supposons, en second lieu, que les mouvemens effectifs soient tous deux rectilignes et uniformes, et donnés ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=&A+A't,\\y=&B+B't,\\z=&C+C't\,;\end{aligned}}\right.\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=&a+a't,\\y=&b+b't,\\z=&c+c't\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080614fe2fc52b3e6b1caca9bed68958b0e5ae7f)
de sorte que les droites décrites aient respectivement pour équations
![{\displaystyle {\frac {x-A}{A'}}={\frac {y-B}{B'}}={\frac {z-C}{C'}},\qquad {\frac {x-a}{a'}}={\frac {y-b}{b'}}={\frac {z-c}{c'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570556a1b168eaf97eecb7d5386d0dd1575741e7)
les équations du mouvement apparent de
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=(A-a)+(A'-a')t,\\&y=(B-b)+(B'-b')t,\\&z=(C-c)+(C'-c')t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1aac3958b816a8b7a76bb991c05d9dfb3218da)
de sorte que les équations de sa trajectoire apparente seront
![{\displaystyle {\frac {x-(A-a)}{A'-a'}}={\frac {y-(B-b)}{B'-b'}}={\frac {z-(C-c)}{C'-c'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bb029ab3422533f3bbbcbcdb3dc6b9fcf84b32)
c’est-à-dire que le mouvement apparent de
sera aussi rectiligne et uniforme. On voit de plus que ses vitesses apparentes parallèlement aux axes seront respectivement les différences des vitesses effectives parallèles à ces mêmes axes prises avec leurs signes.
Supposons présentement que le point
fixé à l’origine, n’ait qu’un simple mouvement de rotation uniforme autour de l’axe des
tandis que le point
parcourt uniformément une parallèle à cet axe. Les équations du mouvement effectif de ce dernier point seront
![{\displaystyle x=A,\qquad y=B,\qquad z=C+C't,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dead17999d9a94395193fc9e3307ad10c6300bc7)
tandis qu’on pourra prendre (12, 13, 14) pour celles de son mouvement apparent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=+A\operatorname {Cos} .(k+k't)+B\operatorname {Sin} .(k+k't),\\&y=-A\operatorname {Sin} .(k+k't)+B\operatorname {Cos} .(k+k't),\\&z=C+C't.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5626ba36c37ab3908c9297e1891c828b67da0a)
En prenant la somme des quarrés des deux premières, et faisant pour abréger
![{\displaystyle A^{2}+B^{2}=R^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65af044557890e81deedc845865a3abe5c00ccc8)
il viendra
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e1f29844d7942c6b24be8927ddba6b5c1e24df)
ce qui nous apprend que la projection sur le plan des
de la trajectoire apparente de
est un cercle ayant son centre à l’origine.
En posant, en outre,
![{\displaystyle A=R\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad B=R\operatorname {Sin} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189504c9a392d0f91d3e9f7c08331c4cb44ed624)
nous aurons
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha -k-k't)}{\operatorname {Cos} .(\alpha -k-k't)}}=\operatorname {Tang} .(\alpha -k-k't)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b505601a2e032306b125d12caf17be7b716b67)
mais la dernière équation donne
![{\displaystyle t={\frac {z-C}{C'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537507b486fbb449a5d726c0955d294274fe11ee)
en substituant donc, il viendra
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}=\operatorname {Tang} .\left(\alpha -k-k'{\frac {z-C}{C'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3942d6c5024f01f3a901705579d0ea72524ecce)
ou encore
![{\displaystyle z=C+{\frac {1}{k'}}\left\{C'(\alpha -k)-\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0024f2ce683895b026e1e9d3e72c250ef592b3)
deuxième équation de la trajectoire apparente de
Il est aisé de se convaincre que l’ensemble de ces deux équations appartient à une hélice.
Pour dernière application, nous supposerons les deux points
invariablement fixés à une surface de révolution tournant uniformément sur son axe que nous prendrons pour l’axe des
en faisant passer le plan des
par le cercle que décrit le point
Soit
le rayon de ce cercle ; soit
le rayon du cercle décrit par le point
et soit
la distance de son centre à l’origine. Les équations du mouvement de translation de nos deux points seront de la forme
![{\displaystyle \mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}&x=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .(K+\lambda t),\\&y=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .(K+\lambda t),\\&z=D\,;\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}&x=r\operatorname {\operatorname {Cos} } .(k+\lambda t),\\&y=r\operatorname {\operatorname {Sin} } .(k+\lambda t),\\&z=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752a7f97cc95131e86ac251432da135e787fb1bd)
On doit remarquer présentement que
étant supposé invariablement lié à la surface de révolution, ce point doit avoir par là même un mouvement de rotation sur son axe dont la vitesse angulaire sera égale à celle de translation. En conséquence, on trouvera (12, 13, 14) pour les équations de mouvement apparent de P,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=+\left\{R\operatorname {\operatorname {Cos} } .(K+\lambda t)-r\operatorname {\operatorname {Cos} } .(k+\lambda t)\right\}\operatorname {\operatorname {Cos} } .(c+\lambda t)\\&\qquad +\left\{R\ \operatorname {\operatorname {Sin} } .(K+\lambda t)-r\ \operatorname {\operatorname {Sin} } .(k+\lambda t)\right\}\,\operatorname {\operatorname {Sin} } .(c+\lambda t),\\&y=-\left\{R\operatorname {\operatorname {Cos} } .(K+\lambda t)-r\operatorname {\operatorname {Cos} } .(k+\lambda t)\right\}\,\operatorname {\operatorname {Sin} } .(c+\lambda t)\\&\qquad +\left\{R\ \operatorname {\operatorname {Sin} } .(K+\lambda t)-r\,\operatorname {\operatorname {Sin} } .(k+\lambda t)\right\}\operatorname {\operatorname {Cos} } .(c+\lambda t)\,;\\&z=D.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe128054fe9abd5e2c61e9114ae1937be0ea371d)
Ces équations reviennent aux suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .\left\{(c+\lambda t)-(K+\lambda t)\right\}-r\operatorname {\operatorname {Cos} } .\left\{(c+\lambda t)-(k+\lambda t)\right\},\\&y=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left\{(c+\lambda t)-(K+\lambda t)\right\}-r\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left\{(c+\lambda t)-(k+\lambda t)\right\},\\&z=D.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da0c5ee47af5abc474a0238577636e1cf11cc44)
ou encore à celle-ci :
![{\displaystyle x=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .(c-K)-r\operatorname {\operatorname {Cos} } .(c-k),\quad y=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .(c-K)-r\operatorname {\operatorname {Sin} } .(c-k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03840300cacd12c382975342d644668c07eb6640)
![{\displaystyle z=D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6584eeb9dc969e13eb93de522d5c94d4947366a2)
qui nous montre que le point
semblera immobile au point
C’est le cas où nous nous trouvons sur la surface de la terre ; et il n’est pas surprenant que nous ne nous apercevions pas du mouvement qu’entraîne, dans les divers objets qui frappent nos regards, sa rotation sur son axe.
Quoique nous ayons supposé le mouvement de rotation uniforme, il est aisé de voir que les choses en iraient encore de même s’il ne l’était pas ; on pourrait, en effet, partager le temps en une suite d’intervalles assez courts pour que durant chacun le mouvement pût être considéré comme uniforme ; le point
à chaque instant, semblerait donc immobile ; d’où il suit qu’il paraîtrait constamment fixe, Nous avons supposé que l’axe de rotation était fixe ; mais, s’il était transporté d’une manière quelconque dans l’espace, il en irait encore de même, puisqu’à chaque instant les points
décriraient dans l’espace des droites parallèles avec des vitesses égales, et que, comme nous l’avons vu au commencement de cet essai, un tel mouvement ne saurait produire aucun mouvement apparent dans
par rapport à
Cela posé, soit un système de points
en nombre quelconque, invariablement liés entre eux ; et supposons que ce système soit emporté dans l’espace d’un mouvement quelconque. Nous pourrons, à chaque instant, supposer que ce système tourne sur une axe variable, soit par rapport au système, soit par rapport aux points fixes de l’espace ; d’où il suit qu’à chaque instant aussi l’un quelconque des points de ce système se trouvera, par rapport à tous les autres, dans les mêmes circonstances où se trouvait tout-à-l’heure le point
par rapport au point
c’est-à-dire que ce point jugera tous les autres immobiles. Ainsi, il est absolument impossible de s’apercevoir du mouvement des divers points d’un système de forme invariable dont on fait soi-même partie[3].