Théorème de M. Gergonne.
Si, par les extrémités
de la base
d’un triangle quelconque
(fig. 8), on mène vers son sommet des droites de longueur arbitraire
et
respectivement parallèles aux côtés
et
que par les points
et
on mène, parallèlement à
et
des droites concourant en
les trois droites
et
concourront en un même point.
Démonstration. Nous démontrerons ce théorème à l’aide de la géométrie analitique, parce que c’est ainsi qu’après en avoir pressenti la vérité, nous nous le sommes démontré à nous-même, et parce qu’à tout prendre, cette forme de démonstration en vaut bien une autre.
Soient faits
Soit pris l’angle
pour angle des coordonnées positives, de manière que l’axe des
soit dirigé suivant
et l’axe des
suivant
les équations des divers points que nous venons de considérer seront
Pour C
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade73ac8586686000ec24edc010611b22cfb2184)
Pour A
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4908be293d8880cd05ad3aafe98c83ef27b9f553)
Pour B
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f05aefa3c16c6aeb947d1f52f4c45ed4a08c3ee)
Pour P
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=-q\,;\end{aligned}}\right.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd084a5f9f7df35d7461ceb4b9b6d43a21e079c0)
Pour Q
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=-p,\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeee868713191d6ec0914498f5aade2235ec2388)
Pour D
Les équations des trois droites
seront conséquemment
Pour AQ,
![{\displaystyle \qquad (a+p)y+b(x-a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b72c3ed68b8324938e3f96420c215465f3bb1b)
Pour BP,
![{\displaystyle \ \qquad (b+q)x+a(y-b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ef7362a0ff314a4f5a39c8b5a6df8350c5adaf)
Pour CD,
![{\displaystyle \qquad \qquad py-qx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c75f8814e71f43a0be742906d469cc5eb7582d2)
Or, en prenant la différence des deux premières, on tombe sur la troisième ; donc chacune de ces équations est comportée par les deux autres ; et par conséquent elles expriment trois droites concourant au même point.
Et comme, en variant à volonté les signes de
et
il en irait encore de même, il en faut conclure que les droites
et
peuvent être indistinctement menées de côté ou d’autre de la base du triangle, sans que le théorème cesse pour cela d’avoir lieu.
Pour passer de là au théorème de M. Hamett, il suffira de supposer, 1.o que le triangle est rectangle en
2.o que l’on a pris les longueurs arbitraires
et