GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Note sur la détermination de l’aire d’un triangle rectiligne
en fonction de ses trois côtés ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soient
les trois sommets d’un triangle rectiligne, et
les côtés respectivement opposés. Posons
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b+c)=s\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4247ec543843904bbafa20c0b5bc8ad5d3aad6b9)
d’où
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+c-a)=s-a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e812bc4ab30627d76567c7f89157b50f095bffc8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}(c+a-b)=s-b\\&{\frac {1}{2}}(a+b-c)=s-c.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d400f77b28a9a97c345cc237b2e544bb456ec649)
Soit inscrit au triangle proposé un cercle dont
soit le centre ; et soient
respectivement les points de contact de ce cercle avec les côtés
il est connu, et il est d’ailleurs facile de démontrer qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {AB} '=s-a,\qquad \mathrm {BC} '=s-b,\qquad \mathrm {CA} '=s-c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f38e654eff49e6f0503961c0d066697a087d83)
En conséquence, en désignant par
le rayon du cercle, on aura
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {AOB} '={\frac {s-a}{r}},\ \operatorname {Tang} .\mathrm {BOC} '={\frac {s-b}{r}},\ \operatorname {Tang} .\mathrm {COA} '={\frac {s-c}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa021aa9e73bc252252cabd10ad13b66b968b01)
mais, parce que ces angles sont les moitiés respectives des angles
dont la somme est quatre angles droits, leur somme doit valoir deux angles droits, et conséquemment on doit avoir, par un théorème connu et d’ailleurs facile à démontrer,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {AOB} '+\operatorname {Tang} .\mathrm {BOC} '+\operatorname {Tang} .\mathrm {COA} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9bdf2c70b16e456393d85dfd5a0bea02be8529f)
![{\displaystyle =\operatorname {Tang} .\mathrm {AOB} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {BOC} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {COA} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c7787490608d7a0dbe188ed17047130700bb1b)
c’est-à-dire, en substituant,
![{\displaystyle {\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {s-a}{r}}.{\frac {s-b}{r}}.{\frac {s-c}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991f6578deef166640183cee8cbfa51139cbb60b)
d’où
![{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947ee75e1eb60f6c81982bd3afadfeafd7cb4a54)
mais, en désignant par
l’aire du triangle, on a
![{\displaystyle \mathrm {T} =rs\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c388cae8db0fa266ba93103e0343e8d018fb7fc0)
donc, en substituant,
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c8c03d5962b97d21b44e0d88cdff1643264af0)
Agréez, etc.
Du Château des Tuileries, le 18 janvier 1825.