ANALISE TRANSCENDANTE.
Exposition des principes du calcul des variations[1] ;
Par
M. Ampère, de l’Académie royale des sciences de Paris,
de celles d’Édimbourg, de Cambridge, de Genève, etc.,
professeur au Collége de France et à l’École polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
§. I. Notions Générales.
I. Dans le calcul différentiel proprement dit, on ne fait varier, dans les fonctions qu’on y considère, que les seules variables
c’est-à-dire, les coordonnées de certaines courbes ou surfaces déterminées, ce qui répond à des points déterminés de ces mêmes surfaces, pour lesquels on enseigne ce que signifient les différentielles de ces coordonnées ; et on y enseigne également à déterminer les différentielles de toutes sortes de fonctions.
Mais, dans une fonction telle, par exemple, que
![{\displaystyle y=\operatorname {f} (x,a,b,c,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83d865a3e4c9f5f94cd3cf70c5e1c72e33e9682)
rien n’empêche de faire varier les paramètres
et dès lors on sort de la courbe où l’on était d’abord, pour passer à une autre courbe voisine de celle-là. On peut obtenir ainsi une infinité de nouvelles courbes, suivant les valeurs diverses qu’on attribuera à
On rencontre déjà des exemples de pareils changemens dans la recherche des solutions particulières des équations différentielles, où l’on différentie les équations des courbes par rapport à leurs paramètres, afin que les nouveaux coefficiens différentiels ainsi obtenus donnent, en les égalant à zéro, les solutions particulières demandées.
Si on ne fait varier que les paramètres, dans une courbe
![{\displaystyle y=\operatorname {f} (x,a,b,c,\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffffa8e0242284d9b768cb0916c93fc1116d0e93)
cette courbe se trouvera transportée, suivant ses ordonnées, de
en
(fig. 1). On peut alors chercher l’augmentation de l’ordonnée ou de
qui est
On peut aussi demander l’augmentation de d
qui de
est devenue
l’augmentation du rayon de courbure, etc. On pourrait bien se contenter, pour les questions de géométrie, de faire varier les courbes de la sorte, en suivant les ordonnées ; mais ce point de vue n’est pas assez général pour les questions de mécanique. On suppose alors que tous les points d’une courbe se transportent sur une autre courbe, en décrivant eux-mêmes des courbes intermédiaires
(fig. 2). Alors, en même temps qu’on fait varier les paramètres, on fait aussi varier l’abcisse. Ce sont les accroissemens que l’on donne, soit aux paramètres soit aux variables dépendantes, que l’on appelle leurs variations, et que l’on désigne par la caractéristique
Par analogie avec les dénominations admises dans le calcul différentiel, nous appellerons variation de la fonction la quantité à laquelle se réduit son accroissement total, lorsqu’on en supprime les termes affectés des puissances supérieures de
D’après cette définition,
étant une fonction quelconque de
de même qu’on a
![{\displaystyle \operatorname {d} u={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}\operatorname {d} a+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b}}\operatorname {d} b+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069a69f5ed49df504a02ba3e9cd3cb833d4958a8)
on aura aussi
![{\displaystyle \delta u={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959e4926c02bf85cda48d80eafa4f1cdaae0c4a9)
Il est inutile de mettre
au lieu de
parce que ces derniers rapports, étant indépendans des accroissemens donnés à
restent les mêmes, quels que soient ces accroissemens.
La courbe
sur laquelle on transporte la courbe
n’a pas besoin d’être de même forme que celle-ci, pour qu’on puisse prendre sur elle les variations comme nous venons de le dire. En effet, on peut développer en séries les ordonnées de ces deux courbes, comme on le voit ici
pour la courbe
![{\displaystyle \mathrm {AB} ,\qquad y=b\,+{\frac {b'}{1}}(x-\alpha )\ +{\frac {b''}{1.2}}(x-\alpha )^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b1c3eb1da80f55bfd23c96e0a530ed6293da5f)
pour la courbe
![{\displaystyle \mathrm {A'B'} ,\quad y'=B+{\frac {B'}{1}}(x-\alpha )+{\frac {B''}{1.2}}(x-\alpha )^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c0c4dd4f0ce0b11e8a76abfb045d0515096210)
Elles sont ainsi présentées sous la même forme, ayant un nombre infini de paramètres
Or, ce que nous avons dit tout à l’heure, étant tout-à-fait indépendant du nombre des paramètres, rien n’empêche de supposer
et par conséquent de regarder la courbe
comme étant la variation de la première
[2].
§. II. Construction des formules.
Soient
on aura (fig. 2)
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta x=\mathrm {P} 'p'-\mathrm {P} p=(pp'+p\mathrm {P} ')-(\mathrm {PP} '+p\mathrm {P} ')=pp'-\mathrm {PP} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c170f7d3eab01bdc62e88d1f52036e8766ffa43)
![{\displaystyle \delta \operatorname {d} x=pp'-\mathrm {PP} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d574d271695fccc8173c36f2f530cfc1c58e9e5)
d’où l’on conclura
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta x=\delta \operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74257c9e88668e1ba1ed1a31f73f2d28254aebe9)
c’est-à-dire que la différentielle de la variation est égale à la variation de la différentielle.
Le même théorème a lieu pour les fonctions. En effet, soit
![{\displaystyle y=\operatorname {f} (x,a,b,c,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83d865a3e4c9f5f94cd3cf70c5e1c72e33e9682)
qui donne
![{\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18ac7aecc96887d4a2ed8bfad218bbe635010b)
Si nous appliquons à cette équation une variation, en nous rappelant que, d’après la définition de la variation, semblable à celle de la différentielle,
![{\displaystyle \delta .uv=v\delta u+u\delta v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476bfe0ff396fab9b1970f10175c67b13cb1d24f)
nous aurons
![{\displaystyle \delta \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\delta {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1eb0fbb68218e929c66f32e71d833cfdc27639)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \delta \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c470a79faace12fd136a6adeee37f80f3b33b09)
Mais, d’un autre côté
![{\displaystyle \delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db6c1be9d945adedbe957c7c91f412be0d13e70)
En différentiant cette dernière équation et observant que, puisque la différentielle se prend le long de la courbe, en ne faisant varier que
et
il s’ensuit que
doivent ici être considérées comme des constantes, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}}\delta b+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4998dbfe3a4ddf9b3c3827603e2e7066c3249ce1)
En comparant entre eux les développemens de
et de
en observant que, d’après ce qui a été prouvé ci-dessus,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63c85d78e41e8ca7ca5e5ec0e82bac6005e4937)
et que d’ailleurs, parce que l’ordre des différentiations est indifférent,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45417126fead978d8944505e6f507553f61f84f)
on verra que ces deux développemens sont égaux, et qu’ainsi
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta y=\delta \operatorname {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2afce2bd7a07f88efd362c94b8fd3d4a5108d6)
On peut tirer de ceci une conclusion semblable, par rapport au signe d’intégration. Soit, en effet
![{\displaystyle \int v\operatorname {d} x=u,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92623a56326e5a7286c41ab5c7244f39ea784e36)
d’où
![{\displaystyle \quad v\operatorname {d} x=\operatorname {d} u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65dbed8b6b3d7751c49d05ad824234c1f625c2e)
donc
![{\displaystyle \delta .v\operatorname {d} x=\delta \operatorname {d} u=\operatorname {d} \delta u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b56e135180c9c7fa4604f24339d65733b8937a)
d’où, en intégrant
![{\displaystyle \int \delta .v\operatorname {d} x=\delta u=\delta \int v\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc2f073909d8549646b6ee3e4f2c9ab226e3eb1)
Ainsi, on peut intervertir l’ordre des signes
et ![{\displaystyle \delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32ef13c6395c29916331212d0948171a62ac216)
La courbe
ayant été transportée sur
(fig. 3), de manière que les points
et
soient venus en
et
si nous menons les tangentes
et
aux courbes
et
il est clair, d’après la définition que nous avons donnée de
qui est, du reste,
![{\displaystyle \delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f16c0712e60eb4ce946652bdf1b10ad18e46ece)
il est clair, disons nous, que
puisque ce doit être la partie de
qui ne contient pas les termes infiniment petits par rapport aux premiers. Mais, si l’on suppose que la position
soit infiniment voisine de la position
on aura, à la limite,
![{\displaystyle \delta y=\mathrm {M'Q} ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ab1c5d07140d93b32d8040b599c0ce458cdcc2)
ou
![{\displaystyle \quad p\delta x=\mathrm {HQ} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a5ded4d629b5880617b107eed211ce7fcb517f)
donc
![{\displaystyle \delta y-p\delta x=\mathrm {M'Q-HQ} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d19c7b41e2339aa13e862a9fb9a013400f8acf)
De même
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x=p\delta x=\mathrm {TQ} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4961c30e3fc8dd2e1540ce367977b46e7bb853)
sera, à la limite, la distance des deux courbes. Or, on sait déjà que
![{\displaystyle \delta y-p\delta x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d808a6eabfa73a2299227e99ff1fef144f092e)
Nous représenterons désormais par
cette quantité, dépendant seulement de la variation des paramètres ; quantité qui, lorsque les variations deviennent infiniment petites, représente, ainsi que nous venons de le voir, la distance entre les deux courbes. Nous aurons donc ainsi
![{\displaystyle \delta y=p\delta x+\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd913efe634b7450ba0aefa9f969e594fc125c95)
c’est cet
qui reste seul, quand on suppose
et que les paramètres seuls varient.
Comme
est une fonction de
de même qu’on a établi
![{\displaystyle \delta y=p\delta x+\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9973136a7407f59137347eaee2f09f77050f7a)
on peut poser aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\delta p=q\delta x+\omega ',\\&\delta q=r\delta x+\omega '',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7dae1e824e46fb92c220ed3258fbbbceab3e1f)
Enfin si
est une fonction de
comme on peut toujours exprimer
en fonction de
seul, et par conséquent
aussi ; on aura de même
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\Omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dc1e51225e67829cce2f55493ab77cbc79f55a)
où
représente la différentielle de
par rapport aux
non seulement en évidence, mais même contenus dans ![{\displaystyle y,p,q,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fccbd237d1f24e2a6dce66f2512cfbd296ccbd6)
Il existe des relations remarquables entre ces
Soit, en effet, comme ci-dessus
![{\displaystyle y=\operatorname {f} (x,a,b,c,\ldots )\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b775861a92437eb3620299d8b7a5df6135457bf7)
et
![{\displaystyle \quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ddae07062a05463bcb1694cb7bcae6789e7e25)
d’où
![{\displaystyle \delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db6c1be9d945adedbe957c7c91f412be0d13e70)
et
![{\displaystyle \omega =\delta y-p\delta x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5a6a84f8ffdf6653d6ca795c482cf27067ab8b)
On entend par
la dérivée de cette fonction de
en n’y faisant varier que
parce que
![{\displaystyle \delta a=a'-a,\qquad \delta b=b'-b,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ff3ebcad2ad0eb717d9d7c41218844adce686e)
sont constantes, quand
le sont. Ainsi
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}}\delta b+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcda035c521a633a41b481c5f8629f92bacf173)
D’un autre côté,
étant une fonction de
on a
![{\displaystyle \delta p={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49238e2f5a021253138931f482abeb408ad86ab)
en se rappelant donc que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732c9fa97dce315404b43221be3b07ce6f1d7bd2)
et qu’en outre
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45417126fead978d8944505e6f507553f61f84f)
on trouve
![{\displaystyle \delta p=q\delta x+{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8727205fc5445293460b2621336bcec8521525f)
On trouvera de même
![{\displaystyle \delta q=r\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d316483f7ca1154612c38a17b138debdd199f1)
. . . . . . . . .
d’où l’on voit que
[3]
Pour
où les paramètres
entrent implicitement, on a
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} a}}\right]\delta a+\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} b}}\right]\delta b+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cadfb289c03a052a4f5d7e2f6edbbe6342e0f0ae)
mais, en désignant par
les coefficiens différentiels de
par rapport aux
en évidence, on a
![{\displaystyle \operatorname {d} V=M\operatorname {d} x+N\operatorname {d} y+P\operatorname {d} p+Q\operatorname {d} q+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28f15e29308f71a34e9645d7a817fbbd9695a4a)
![{\displaystyle \left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]=M+Np+Pq+Qr+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96ccfb4a418a9f938fe0d005b2d138a50e1eda9)
et il en résulte
![{\displaystyle \delta V=M\delta x+N\delta y+P\delta p+Q\delta q+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dd334473348e0fdea65e9127b2180fe7da1859)
Si nous substituons pour
les valeurs précédemment obtenues, il en résultera
![{\displaystyle \delta V=(M+Np+Pq+Qr+\ldots )\delta x+N\omega +P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a677192af85cfed4e13b62db5c196f14c28c9c)
valeur qui, comparée à
![{\displaystyle \delta V=\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a}}\right]\delta a+\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}\right]\delta b+\ldots =\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51437a764bf1929c6ab9f90de9e316f9b10104f)
fait voir que
![{\displaystyle \Omega =N\omega +P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1e27e310150fa82cdcde7780ecbcc33f76f204)
La variation de
savoir :
![{\displaystyle \delta V=(M+Np+Pq+Qr+\ldots )\delta x+N\omega +P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849e376f097852bef63dd094dbae6d86cf66dcd0)
une fois trouvée, celle de l’intégrale
est facile à en déduire. On sait en effet que
![{\displaystyle \delta \int V\operatorname {d} x=\int \delta (V\operatorname {d} x)=\int (\delta V.\operatorname {d} x+V\delta \operatorname {d} x)=\int (V\operatorname {d} \delta x+\delta V.\operatorname {d} x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbfff41b8fe777d03bde0c66ca03a898b06d065)
substituant pour
la valeur que nous venons d’obtenir, on aura
![{\displaystyle \delta \int V\operatorname {d} x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6533e24d5f3d8b1700846a881395db7d57c5e3f)
![{\displaystyle \int \left\{V\operatorname {d} \delta x+\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]\operatorname {d} x\delta x+N\omega \operatorname {d} x+P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} ^{2}x}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69081abad0eb10435020a40a4f764d11b689f2ac)
Or, en premier lieu,
![{\displaystyle \int \left(V\operatorname {d} \delta x+\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]\operatorname {d} x\delta x\right)=V\delta x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2a9b4d3786be690ea3aa2ae4338fd28ce8534c)
on trouve ensuite, en intégrant par parties,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x&=P\omega -\int {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\omega \operatorname {d} x,\\\\\int Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x&=Q{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\omega +\int {\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\omega \operatorname {d} x,\\\\\int R{\frac {\operatorname {d} ^{3}\omega }{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x&=R{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}\omega -\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\omega \operatorname {d} x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b557ce437bc6e44ae58e40dc7b40e8bb4250e5)
réunissant alors tous ces termes, on aura finalement
![{\displaystyle \delta \int V\operatorname {d} x=V\delta x+\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\omega +\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right){\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e0287f1d37953a368510dcc7c66b5f83b4a17f)
![{\displaystyle +\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b68ab5763581301776895fca33c989e169793dc)
§. III. Application aux questions de maxima et minima.
La dernière formule que nous venons d’obtenir sert à résoudre une des questions les plus importantes du calcul des variations, celle des maxima et minima. Une partie de cette question ressort du calcul différentiel ; mais cette partie est peu étendue ; elle ne comprend que le cas où l’on demande le maximum ou le minimum d’une fonction dans laquelle on ne fait varier que les variables courantes
Ainsi, ce sera la détermination de l’ordonnée maximum ou minimum d’une certaine courbe ou d’une certaine surface. Mais si, dans une fonction, on fait varier les constantes ou paramètres, on peut se demander quelles sont les valeurs à leur attribuer, pour que la fonction jouisse d’une certaine propriété à un degré maximum ou minimum. Cette importante question a beaucoup occupé les géomètres du dernier siècle. Euler l’a résolue, en partie, dans un ouvrage ayant pour titre : Methodus inveniendi, etc.
Or, la série de Taylor donne, comme on sait, dans le cas de plusieurs variables, et conséquemment pour
![{\displaystyle u=\operatorname {f} (x,y,p,q,\ldots a,b,c,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a619de61d69084ba9e236c6ef2c0deb7988f7673)
![{\displaystyle \operatorname {f} \left(x+\delta x,\ y+\delta y,\ p+\delta p,\ q+\delta q,\ldots a+\delta a,\ b+\delta b,\ c+\delta c,\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5826c9bb5900d4e9b852072d7550fe13208f3d5b)
![{\displaystyle =u+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\delta x^{2}}{1.2}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f662a5b39746a28467135ba40885095d0b6e387)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\delta y+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}.{\frac {\delta x\delta y}{1.2}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095b9475713a279e7209e6ca3f1457435da4c099)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p}}\delta p+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} y^{2}}}.{\frac {\delta y^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\&+\ldots \ldots +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x\operatorname {d} p}}.{\frac {\delta p\delta x}{1.2}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}\delta a+\ldots \ldots \ldots +\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b}}\delta b+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}.{\frac {\delta x\delta a}{1.2}}+\ldots \\&+\ldots \ldots +\ldots \ldots \ldots +\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83247a6d45ea2fdd5b8177ea08d09c176ac58749)
ou bien
![{\displaystyle U=u+{\frac {\delta u}{1}}+{\frac {\delta ^{2}u}{1.2}}+{\frac {\delta ^{3}u}{1.2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d012f72a013454989c33afff6a8d59e6b0aba919)
en désignant par
la variation de
par
celle de
et ainsi de suite.
Or, si
est un maximum ou un minimum, on sait que
doit être nul, puisqu’il ne contient que les premières puissances des variations
et change conséquemment de signe avec elles. Au contraire
n’en devra pas changer, puisqu’il contient ces variations à la seconde puissance.
Quand on demande le maximum ou le minimum d’une fonction, on ne peut souvent exprimer cette fonction que par des intégrales définies, entre les limites où la fonction doit avoir lieu. Il faut alors considérer le développement de la série de Taylor relatif à
savoir :
![{\displaystyle \int V\operatorname {d} x+{\frac {\delta \int V\operatorname {d} x}{1}}+{\frac {\delta ^{2}\int V\operatorname {d} x}{1.2}}+{\frac {\delta ^{3}\int V\operatorname {d} x}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed9e5510f195f44c09b2ce07339033e91f5345a)
S’il y a maximum ou minimum, il faut que
Les valeurs de
qui satisfont à cette condition, devront rendre, en outre,
négatif dans le cas du maximum, et positif dans le cas du minimum.
Il est encore à remarquer que, si le maximum ou le minimum doit avoir lieu entre certaines limites, non seulement
mais aussi
![{\displaystyle \delta \int V\operatorname {d} x,\qquad \delta ^{2}\int V\operatorname {d} x,\qquad \delta ^{3}\int V\operatorname {d} x,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020e41763524cb7e6cf8d81a55d0df0fd03f62b1)
devront être pris entre ces limites. Or nous avons trouvé ci-dessus
![{\displaystyle \delta \int v\operatorname {d} x=V\delta x+\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\omega +\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right){\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32fd788377bb07172bfdc20c92a6bda2214f8a0)
![{\displaystyle +\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\omega \operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a0c30412d65a68b87267f12da456b4829f4574)
et si nous nous rappelons que
![{\displaystyle \omega =\delta y-p\delta x,\quad {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}=\delta p-q\delta x,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}=\delta q-r\delta x,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53761c1194224379ecded8d4c65c46ddf04e24ce)
il viendra, en substituant,
![{\displaystyle 0=\delta \int V\operatorname {d} x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edd1862279544a7d24641a523fbe645586dfa97)
![{\displaystyle \left\{V-P\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)-q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)-r(R-\ldots )-\ldots \right\}\delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d177c0bff4eb274fdfa5f4e6064a89741d0cd4ee)
![{\displaystyle +\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\delta y+\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)\delta p+(R-\ldots )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35a603d74f6e11df357b3be4c07c432cd855e60)
![{\displaystyle +\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdd9a54ee100a4c61940ab8c21512fff0d62d28)
qu’il faudra prendre entre les limites données.
Il se présente ici plusieurs cas à examiner.
1.o Supposons d’abord que l’on donne, pour les deux limites, les valeurs
de
Alors, ces valeurs extrêmes étant fixes, leurs variations seront nulles, de sorte que l’équation à laquelle nous venons de parvenir se réduira simplement à
![{\displaystyle \int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbd880e2d2785871fac188b97911fc6e84e1af2)
Or, on ne peut supposer
parce que, sous le signe
c’est le
courant, et qu’il ne peut être nul qu’aux limites ; il faut donc que
![{\displaystyle N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f84607a666fbf4d1bed28a4f62f93965c710ce)
(A)
de sorte que cette équation sera l’équation différentielle du maximum ou du minimum cherché. Mais si
![{\displaystyle V=\operatorname {f} (x,y,p,q,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52149f20bdaf405059e0d846a0fe3b3efa426a39)
contient un coefficient différentiel de l’ordre
il est clair que cette équation sera de l’ordre
de sorte qu’en l’intégrant elle donnera
constantes arbitraires ; or ; comme aux deux limites
il faut qu’elle reproduise
[4] en nombre
on aura
relations pour déterminer les
constantes arbitraires introduites par l’intégration ; et on le pourra aisément.
2.o Supposons qu’on ne donne que les deux limites
sans assigner, pour ces limites, les valeurs de
Il faudra toujours, dans le développement de
égaler séparément à zéro la partie contenue sous le signe
et la partie en avant de ce signe. En effet, supposons que nous ayons trouvé la courbe qui satisfait au maximum ou au minimum, entre les deux points donnés, et prenons, pour les points limites, les valeurs de
cherchons ensuite la courbe qui satisfait au maximum ou au minimum, pour ces valeurs fixes de
il est manifeste que nous devrons retomber de nouveau sur la courbe dont il s’agit ; or, en fixant
tout aussi bien que
il faut, comme nous l’avons vu ci-dessus, que l’on ait l’équation (A) ; donc, cette équation devra encore avoir lieu, lorsqu’on ne fixera pas
[5]. Comme ces quantités sont indépendantes entre elles, pour que la première partie de
soit nulle, il faudra égaler séparément à zéro les coefficiens
![{\displaystyle Q'-{\frac {\operatorname {d} R'}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86ff58400eac75b1159e54300bba98daca50fd4)
de
![{\displaystyle \delta p',\quad Q''-{\frac {\operatorname {d} R''}{\operatorname {d} x''}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S''}{\operatorname {d} x''^{2}}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b5cf9c68190d805b95f33aa67184833b82433a)
de
![{\displaystyle \delta p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700621aec228022ec22e24de2712f8761e047724)
![{\displaystyle R'-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+\ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c8030ef9ee5acb850700dd64f3d0062f5c0c0e)
de
![{\displaystyle \delta q',\quad R''-{\frac {\operatorname {d} S''}{\operatorname {d} x''}}+\ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa9db535cbe07bc7fa2cfe8e9331536d31c4da9)
de
![{\displaystyle \delta q'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6400268211db63e4609046c8373d396c2b5341)
![{\displaystyle S'-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3879d212e76025902df579e3f94130647f7e72b6)
de
![{\displaystyle \delta r',\quad S''-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d743102e2300b77d565242d635d298acec836fa)
de
![{\displaystyle \delta r'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fcd548bd8998aeb7b2dfca134fc7f498304aba)
Les équations résultantes ne seront qu’au nombre de
parce que le
du dernier coefficient différentiel manque dans la première partie de
comme le fait voir bien évidemment la forme des coefficiens de
Par exemple, s’il n’y a que cinq coefficiens différentiels
la première partie de
finira par
et ne contiendra point
Mais il faut qu’aux deux limites l’intégrale de l’équation donne pour
ou
ou
Cela fournira deux nouvelles relations qui, jointes aux
dont il vient d’être question, compléteront le nombre total de celles qui seront nécessaires pour la détermination des
constantes arbitraires introduites par l’intégration de (A).
Il est presque superflu d’observer que, si quelques-unes seulement des quantités
étaient données, il n’y aurait à égaler à zéro que les coefficiens des
non donnés. Les autres relations nécessaires pour déterminer les
constantes arbitraires de l’intégrale de (A), seraient fournies par celles des quantités
dont les valeurs seraient connues.
Nous remettons à traiter plus tard du cas où les limites ne seraient pas invariablement fixées, mais assujetties seulement à la condition de se trouver sur deux lieux géométriques donnés ; et nous nous occuperons, pour le présent, des cas où l’équation (A) est susceptible de quelques simplifications.
§. IV, Simplifications du procédé général.
Il est de cas où l’équation
![{\displaystyle N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots =0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c681973886bb835c8e50885471a4412cfb5c772)
(A)
peut être simplifiée.
1.o Quand
ne contient pas
on a
et par suite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261db0112b081df4dc314686cf33499fa9e8a068)
ce qui donne, en multipliant par
et intégrant,
![{\displaystyle P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots =C\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef1ed6c95072877972b5b8e6f7bf2379a69729d)
(C)
équation de l’ordre
Si en outre
manquait dans
l’équation pourrait, par un procédé analogue, être amenée à l’ordre
et ainsi de suite.
2.o Quand
ne contient pas
et que l’on a conséquemment
![{\displaystyle V=\operatorname {f} (y,p,q,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6c71cbae40fca50dc5a07d9eab61cd52c39ef8)
et par suite
![{\displaystyle \left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]=Np+Pq+Qr+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0be0ae79a6944f0763520327904fbb072680949)
Si nous substituons ici la valeur de
tirée de l’équation (A), qui est
![{\displaystyle N={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f486882ea5aa327082687e5e1f7e778b9d0135e8)
nous aurons
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=Pq+Qr+Rs+\ldots +p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cd38975514befea8e7e16be44c626390e52227)
multipliant par
et observant que
![{\displaystyle q\operatorname {d} x=\operatorname {d} p,\qquad r\operatorname {d} x=\operatorname {d} q,\qquad s\operatorname {d} x=\operatorname {d} r,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ecfb76c2a5fc2270f20d7acb884446dee447e1a)
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=P\operatorname {d} p+Q\operatorname {d} q+R\operatorname {d} r+\ldots +p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x-p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbc329a358ad75011efff434c6f6505e191795b)
et par conséquent
![{\displaystyle V=\int P\operatorname {d} p+\int Q\operatorname {d} q+\int R\operatorname {d} r+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd7619bda080e693c58597f10c3d848496cb5a6)
![{\displaystyle +\int p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x-\int p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+\int p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fed03d9cbcbf6d5eb78d4b67a7f00e905d57a2)
Or, en intégrant par parties, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int P\operatorname {d} p=Pp-\int p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x,\\\\&\int Q\operatorname {d} q=Qq-p{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\int p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x,\\\\&\int R\operatorname {d} r=Rr-q{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+p{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\int p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43dbc32c79f972b7af2a6a9c129827f2a34598da)
ce qui donne, en subtituant,
![{\displaystyle V=p\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)+q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0efaccf56cf29defc03c1562f1840e6fc2056f)
![{\displaystyle +r(R-\ldots )+\ldots +C\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390b24f5b5104458cf006489447a5c9a333367ca)
(D)
qui n’est plus que de l’ordre ![{\displaystyle 2n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f05639a38051132031ad62fb4923d9b63e1ccc)
3.o Quand
ne contient ni
ni
on peut abaisser l’équation (A), qu’on appelle quelquefois l’équation indéfinie, parce que son intégrale donne l’équation du maximum ou du minimum, avec des constantes arbitraires. On a alors, à la fois,
![{\displaystyle M=0,\qquad N=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c584f9f955b219343e49ce7761ddb27caeebc48)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}Pq+Qr+Rs+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a88d61534a9670cc622d261a8f6c65a876b7d5)
l’équation indéfinie se réduit donc à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e868a9614df5e44156cc6142e3705ecf7f81f2)
et donne, en intégrant
![{\displaystyle P={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots +C\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a204b8c47876e5073d96f7f775d32c4c6e53dc49)
puis, en substituant
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=Qr+Rs+\ldots +q{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}-q{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots +Cq\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9b89ddd95bd3cf9a982adbbf80fee581cf4d21)
et ensuite, en multipliant par
et intégrant,
![{\displaystyle V=\int Q\operatorname {d} q+\int R\operatorname {d} r+\ldots +\int q{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x-\int q{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+\ldots +Cp+C'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cdaaa2e1398ec749be6bb2af87ed7f49f500d9)
mais, nous avons trouvé ci-dessus, en intégrant par parties
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int Q\operatorname {d} q=Qq-p{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\int p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x,\\\\&\int R\operatorname {d} r=Rr-q{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+p{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\int p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3d89e76a3b21095b96808b2ad4f15819568b29)
il viendra donc, en substituant,
![{\displaystyle V=q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)+r\left(R-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22262923fa81d4da2de1f429476fdb40b8c3e2e4)
![{\displaystyle +s(S-\ldots )+\ldots +Cp+C'\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc31557467f146c402225f159640cb24fda3d6c5)
(E)
équation qui ne s’élève qu’à l’ordre
seulement, et qu’on pourrait abaisser encore si
était nul.
§. V. Applications diverses.
Soit proposé d’assigner la courbe, joignant deux points donnés, dont la révolution autour de l’axe des
engendre une surface minimum ?
La surface de révolution considérée comme indéfinie, étant exprimée par
il faudra qu’on ait
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a90e05ae2814dd0b76c18fdbb157944e1640a00)
on a donc ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=y{\sqrt {1+p^{2}}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}={\sqrt {1+p^{2}}},\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {py}{\sqrt {1+p^{2}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8411f53883cb8310e1d8986138285af6912855cc)
et les quantités
sont toutes nulles. Puis donc que
n’entre pas dans
on peut faire usage de l’équation (D), qui est simplement ici
![{\displaystyle V=pP+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52227915e198ff40dce410efcc4a997af4dc6c90)
et qui devient, par les substitutions,
![{\displaystyle y{\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {p^{2}y}{\sqrt {1+p^{2}}}}+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a84c614179b1143f2710f17d4298e8363520e5a)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {y}{\sqrt {1+p^{2}}}}=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef2f86b3cfb48204e90c27a4b51947662cf25d1)
d’où on tire
![{\displaystyle p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {c}{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cbc5fced914b0d764b0743ea0c3e1306853ac2)
et par suite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{c}}={\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe271a3e8bf2133314d2ec29d255974793f06a2)
ce qui donne, en intégrant
![{\displaystyle {\frac {x}{c}}=\operatorname {Log} .\left(y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}+c'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8847d152e118583e28766f0632c8f6da1e49ccb)
Il resterait à déterminer
et
par la condition que la courbe passe par les deux points donnés ; mais leur détermination ne peut avoir lieu, parce qu’elle entraînerait la résolution d’une équation exponentielle.
Toutefois, on peut reconnaître quelle est la nature de cette courbe. En effet, il est visible que
ne saurait être moindre que
de manière que
est l’ordonnée minimum. Si donc nous prenons cette ordonnée pour axe des
il faudra qu’en posant
on trouve
d’où
donc
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}{c}}={\frac {x}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac304ee8b3cda67cd67ea63da545a5eb37871a)
donc aussi
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {c}{y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdac9302b1e012ee3ddfc8ac02322eed89befb5)
ou
![{\displaystyle \quad \operatorname {Log} .{\frac {y-{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}{c}}=-{\frac {x}{c}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b6dddefe98f553aa51d6f48c2804d251177806)
cela donne
![{\displaystyle y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}=ce^{+{\frac {x}{c}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bde7087a16191d35f05ccfacca8a48bb80557b)
![{\displaystyle y-{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}=ce^{-{\frac {x}{c}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dacbab2bc7145aaeca853b95e09516a07950fa1)
d’où en ajoutant,
![{\displaystyle 2y=c\left(e^{+{\frac {x}{c}}}+e^{-{\frac {x}{c}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ee77148ee68f8bf03e847bdbf200436d652609)
équation que l’on reconnaît pour celle d’une chaînette dont l’axe principal est celui autour duquel la révolution s’exécute[6].
Soit proposé, en second lieu, de trouver la courbe pour laquelle l’aire comprise entre un arc, les deux normales extrêmes et l’arc correspondant de la développée soit un maximum ?
Soit
l’aire dont il s’agit, et
le rayon de courbure ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} u={\frac {1}{2}}r{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}}{2q}}={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{2}\operatorname {d} x}{2q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c11c17b473997cca012899e19bfac1782f372ef)
d’où
![{\displaystyle u=\int {\frac {\left(1+p^{2}\right)^{2}\operatorname {d} x}{2q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcfd7aabbc3aef75e1f30007e86b01041b4d6f5)
de sorte qu’il faudra poser
![{\displaystyle \delta \int {\frac {\left(1+p^{2}\right)^{2}\operatorname {d} x}{2q}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff12147afc4dc996dd7d2ca331905c4aa9c0330)
on aura donc ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {(1+p^{2})^{2}}{2q}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}=0,\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {2p(1+p^{2})}{q}},\\\\Q&=-{\frac {(1+p^{2})^{2}}{q}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e95909f041467a1f843e8b7883ba2488efda85)
seront nuls ; et comme ni
ni
n’entrent dans
nous pourrons faire usage de l’équation (E) qui se réduira à
![{\displaystyle V=qQ+Cp+C',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dadbc40216cc2d310550e553ad1f91f45b968ea1)
et deviendra, par les substitutions,
![{\displaystyle {\frac {(1+p^{2})^{2}}{q}}=Cp+C'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb735bfe05ba59adc1a8b131b3ab9973ec4f94b6)
Il faudra intégrer cette dernière équation, et déterminer les quatre constantes arbitraires, en exprimant que la courbe passe par les deux points limites, et qu’en ces deux points
et
sont nuls.
Mais si l’on veut seulement savoir quelle est la nature de la courbe, on remarquera que,
désignant toujours le rayon de courbure, son équation différentielle revient à
![{\displaystyle r{\sqrt {1+p^{2}}}=Cp+C',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e948d414b303fce1f4ce8a0c5061625579f831a2)
ce qui donne successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {Cp+C'}{\sqrt {1+p^{2}}}},\\\\\operatorname {d} r&={\frac {(C-C'p)\operatorname {d} p}{(1+p^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\\r\operatorname {d} v={\frac {(1+p^{2})^{2}}{q}}.{\frac {(C-C'p)\operatorname {d} p}{(1+p^{2})^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {(C-C'p)\operatorname {d} p}{q}}=(C-C'p)\operatorname {d} x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5275088b37cc66003e546205fbb8500a5fd2f3a)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle r\operatorname {d} r=C\operatorname {d} x-C'\operatorname {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39db88338be2557c86a25784352c44d417f2f20c)
d’où, en intégrant et transformant les constantes,
![{\displaystyle r^{2}=Cx+C'y+C''.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4090232c43a28f0855cd77d926c398011e5edb69)
(1)
On peut faire disparaître ces constantes, en choisissant les axes d’une manière convenable. On peut d’abord porter l’origine au point pour lequel le rayon de courbure est nul. En désignant alors par
les coordonnées de ce point, on aura
![{\displaystyle C\alpha +C'\beta +C''=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56622914b72d8e47f12bd876b0d654a490a97933)
(2)
Nous pourrons ensuite faire tourner le système des axes autour de la nouvelle origine
Les formules générales de cette transformation étant, comme l’on sait
![{\displaystyle x=\alpha +t\operatorname {Cos} .m-u\operatorname {Sin} .m,\qquad y=\beta +t\operatorname {Sin} .m+u\operatorname {Cos} .m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c34a0d30aedc71d6e0bd25d3921022c42bd190b)
on trouvera, en substituant dans (1) et ayant égard à la relation (2)
![{\displaystyle r^{2}=t(C\operatorname {Cos} .m+C'\operatorname {Sin} .m)+u(C'\operatorname {Cos} .m-C\operatorname {Sin} .m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6be8c68e2f0fd028a2dfab6a57ec40f754639e9)
L’angle
étant arbitraire, on pourra en disposer de manière que
![{\displaystyle C\operatorname {Cos} .m+C'\operatorname {Sin} .m=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbfde9bfebc260a3d38ce0d8da03a8538e31d98)
il en résultera
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .m={\frac {C'}{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}},\qquad \operatorname {Sin} .m=-{\frac {C}{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc09049dbaa3a0f7d7bb4a77009a35cb10df85b)
on aura conséquemment
![{\displaystyle r^{2}=u(C'\operatorname {Cos} .m-C\operatorname {Sin} .m)=u{\frac {C^{2}+C'^{2}}{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}}=u{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b250d019f92cd89533c38ad78a84aa3c8f29cda8)
ou, en transformant les constantes
![{\displaystyle r^{2}=au\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9caa9db7c7c8d38507457eb5cb810a050e81dbd1)
Soient faits
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=p_{1},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} p_{1}}{\operatorname {d} t}}=q_{1},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5d54465ace40ca0c35c7c0ae0cb2d59a157de7)
d’où
![{\displaystyle r={\frac {\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{q_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ce9541fe135e1de89bc359987bad0d73ecf605)
il en résultera
![{\displaystyle {\frac {\frac {\operatorname {d} p_{1}}{\operatorname {d} t}}{\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}={\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}.{\frac {1}{\sqrt {u}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2aa325573bf0b9c959a375b8c00052746ffe98)
et
![{\displaystyle \quad {\frac {2p_{1}\operatorname {d} p_{1}}{\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}.{\frac {p_{1}\operatorname {d} t}{\sqrt {u}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}.{\frac {\operatorname {d} u}{\sqrt {u}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6698585bc6ccf252dfc0fbbd19572179d43c6c2)
d’où, en intégrant,
![{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}={\sqrt {\frac {u}{a}}},\quad 1+p_{1}^{2}={\frac {a}{u}},\quad p_{1}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=\pm {\sqrt {{\frac {a}{u}}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5e41e5b1a4a4aab6a0ac8ed99715409f00263f)
équation qui appartient à une cycloïde engendrée par un cercle dont le diamètre est égal à ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Souvent la courbe qui doit donner le maximum ou le minimum est assujettie à certaines conditions de constance, comme d’être d’une longueur donnée, de produire une aire de révolution de grandeur donnée, etc. On exprime ces conditions en écrivant que les variations des expressions des fonctions qui doivent demeurer constantes sont nulles. Ainsi, soient les conditions
![{\displaystyle \int V'\operatorname {d} x=l',\quad \int V''\operatorname {d} x=l'',\quad \int V'''\operatorname {d} x=l''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732a9c7dabb009fa516371044c9cf9f38fa8b2d3)
en nombre quelconque, on écrira
![{\displaystyle \delta \int V'\operatorname {d} x=0,\quad \delta \int V''\operatorname {d} x=0,\quad \delta \int V'''\operatorname {d} x=0,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24506b427a66da80b1cb80e704ac4cd506bbefc1)
Soit, du reste,
![{\displaystyle \delta \int V\operatorname {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91e9fcd2202a2edb8ddaab1b14701cf3886379d)
la condition du maximum ou du minimum.
Il est clair que, si une fonction a un maximum ou un minimum, elle en aura encore un si on lui ajoute des quantités constantes ; puis donc que
sont constantes, il en sera de même de
représentant des constantes indéterminées ; donc on devra avoir
![{\displaystyle \delta \left(\int V\operatorname {d} x+c'\int V'\operatorname {d} x+c''\int V''\operatorname {d} x+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9a438db7e4e3d4d50f5b344dcb249e87e52b85)
![{\displaystyle =\delta \int \left(V+c'V'+c''V''+\ldots \right)\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796e089994b8f02982df2c679de7f212ca89b67d)
Nous pourrons traiter
comme nous avons traité
dans ce qui précède, et nous trouverons ainsi le maximum ou le minimum cherché, avec les conditions auxquelles il doit satisfaire. Mais, une fois parvenus à l’équation indéfinie, il faudra la déterminer de manière à satisfaire non seulement aux conditions que nous avons indiquées, en traitant du maximum et du minimum de
mais encore aux conditions
et c’est à quoi serviront les constantes
Il était nécessaire de les introduire, pour n’avoir pas moins de quantités à déterminer que de conditions à remplir. Du reste, nous aurons ici autant de conditions qu’il en faudra pour en assigner les valeurs.
Soit, par exemple, à trouver, parmi toutes les courbes isopérimètres, celle qui à la plus grande aire.
On a, en général, pour la courbe de plus grande aire.
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24169fdee74705523436f233910b45bd366bb92a)
Si
est la longueur donnée, on aura, en outre
![{\displaystyle \int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=l\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68089b3c3c86cffd622b7c33e2dbb3e2e32e272)
nous poserons donc
![{\displaystyle \delta \int \left(y+c{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\operatorname {d} x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91618afe7f170eef7d32d0e44c075cb8fc591f5a)
nous aurons ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=y+c{\sqrt {1+p^{2}}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}=1,\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {cp}{\sqrt {1+p^{2}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b73d3fefb046aa6c6bad6da80f43da104c8fc8d)
et tous les coefficiens ultérieurs seront nuls. L’équation (D) qui est celle qui convient au cas actuel, et qui se réduit à
![{\displaystyle V=pP+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7a2e8112c7fe906253b8966e4dae53ff2bf360)
deviendra, en substituant
![{\displaystyle y+c{\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {cp^{2}}{\sqrt {1+p^{2}}}}+C\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0ccd08779509b5482f4240a8d8bdb209ffc88f)
ou bien
![{\displaystyle y+{\frac {c}{\sqrt {1+p^{2}}}}=C,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1952b32b7bbd228cf4506489641c7e9561faab)
d’où
![{\displaystyle \quad p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}{y-C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03a4ade4e3fd563c9dfa2cd11a0da2bae4d6613)
et, par suite
![{\displaystyle {\frac {(y-C)\operatorname {d} y}{\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}}=\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ba1e445c0748be00c426808a224f3fe65e4138)
ce qui donne, en intégrant
![{\displaystyle {\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}=-x+C',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe1fce7d2b782cb25434cd1f79e9d3a4551dc91)
c’est-à-dire
![{\displaystyle (y-C)^{2}+(x-C')^{2}=c^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272190dd234d4381a6b0d6c8358dbe9979a70735)
équation du cercle. Il restera à déterminer les constantes
par les conditions que l’arc se termine à deux points donnés, et que sa longueur entre ces deux points soit égale à ![{\displaystyle l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d770377c901876265c4675eb010cd64bac0bb9aa)
Il est à remarquer qu’ayant dû poser ici
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x=0\,;\qquad \delta \int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f053e869e87d7607f5830d379149a467d34f54)
ce sont aussi les mêmes équations que nous aurions posées s’il avait été question d’assigner, parmi les arcs de courbes qui comprennent une aire donnée, celui de moindre longueur ; de sorte que le cercle doit résoudre, à la fois, les deux problèmes. Il est clair, en effet, que si, à longueur égale, le cercle embrasse la plus grande aire, il s’ensuit qu’il contient le plus de surface sous le moindre développement possible ; et, par suite, à aire égale, il aura la moindre longueur.
Proposons-nous encore d’assigner, parmi les courbes isopérimètres, celle qui engendre l’aire de révolution minimum ?
Nous aurons ici l’équation
![{\displaystyle \delta \int (y+c){\sqrt {1+p^{2}}}\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6c1c3d7cdd3c08cdd3656b5879be4ba3b18d8a)
En faisant
![{\displaystyle y+c=y',\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c56ed7a7f18c03596b0f9d1eeb5b9aa7902780)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f037debf4c4f3cfec1fb7db8b8c2638d9e654e)
ou
![{\displaystyle p=p',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2fc31a4ef11c0c615df7b20225bfce516e83b9)
notre équation deviendra
![{\displaystyle \delta \int y'{\sqrt {1+p'^{2}}}.\operatorname {d} x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795af8b0d49dfab7e0f77ff638aa12d417d77719)
équation que nous avons déjà traitée ci-dessus, et qui nous a conduit à l’équation de la chainette ; c’est donc encore cette courbe qui résout ce dernier problème. Il arrive seulement ici que son axe principal se trouve à la distance
de l’axe de révolution. Du reste, la constante
ainsi que les autres qu’introduira l’intégration de l’équation indéfinie, provenant de
se détermineront comme dans l’exemple qui précède celui-ci.
§. VI. Application aux fonctions de trois variables.
Si, dans l’équation
![{\displaystyle \delta \int V\operatorname {d} x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bbb9ba0558d2197cbeb15cda94ef019b41ae3a)
contenait, outre
et
une troisième variable,
liée aux deux premières par une équation de relation, on l’exprimerait au moyen de celles-ci, et on ramènerait
à ne plus contenir ainsi que ![{\displaystyle x,y,p,q,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7845f2bee4cd3b5fee9ae1018817f34204d346a)
Qu’il soit question, par exemple, de trouver la courbe la moins longue que l’on puisse tracer sur un cylindre, entre deux points de sa surface. En prenant l’axe du cylindre pour axe des
et désignant par
son rayon, l’équation de sa surface sera
![{\displaystyle z={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eaa494f5516c2cd3e602b50d7ae9bc2f5401af5)
d’où
![{\displaystyle \quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab788c6bd1d03554d573079982c81d2b618c6fff)
On aura ensuite, pour la longueur de l’arc
![{\displaystyle s=\int {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}+{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3060be444068a1e06bf570134b43e4619dc85739)
![{\displaystyle =\int \operatorname {d} x{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9b4be2af7dcd459bee399acd54b86037acf959)
de sorte que la condition du minimum sera
![{\displaystyle \delta \int \operatorname {d} x{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635d85837496303b190479bad500a625c847f0f0)
On aura donc ici
![{\displaystyle V={\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}},\qquad P={\frac {p}{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac50e9cf4740d8811331fff43c5ec2dda4b9c2e2)
Comme
manque dans
nous pourrons prendre pour équation indéfinie l’équation (C) qui, dans le cas actuel, est simplement
c’est-à-dire, en substituant,
![{\displaystyle {\frac {p}{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}}=C,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4790389e7c5ec46e09d865cf2d2c278b2004b87)
d’où
![{\displaystyle \quad p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}.{\frac {a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f1d122d654b505e0fd56f70e2791a55f5b3318)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle y={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}.a\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{a}}\right)+C'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bee4cddb96324712b49310e7f448e54426a89fe)
Si l’on prend l’une des extrémités de l’arc dans le plan des
à une distance
de l’axe des
on devra avoir, en même temps,
en mettant donc simplement
pour
on aura
![{\displaystyle y=C.\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{a}}\right)+b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d50aca51c118371ce895215e96b147f89719d14)
dans laquelle
se déterminera en fixant la situation de l’autre extrémité de l’arc demandé.
L’équation que nous venons d’obtenir est celle d’une hélice ; et c’est ce qu’il était facile de prévoir à l’avance. La plus courte ligne qu’on puisse tracer sur un cylindre, entre deux points de sa surface, doit être telle, en effet, qu’elle demeure encore la plus courte, en développant la surface de ce cylindre sur un plan ; il faut donc que, par l’effet du développement de cette surface, elle devienne une ligne droite, ce qui est la propriété caractéristique de l’hélice.
§. VII. Examen du cas des limites variables.
Nous avons vu, dans ce qui précède, comment, quand on fixe les deux limites entre lesquelles le maximum ou le minimum doit avoir lieu, on peut déterminer les
constantes qu’introduit, en général, l’intégration de l’équation indéfinie
![{\displaystyle 0=N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769a14c79d415971a75f1f9296ba3f61613d9656)
On pourrait ne pas donner proprement les deux limites, mais seulement les assujettir à la condition de se trouver sur deux courbes données. Il y aura alors
inconnues à déterminer, savoir, les
constantes
introduites par l’intégration de l’équation indéfinie, et les quatre coordonnées
des deux extrémités de la courbe cherchée. Or ici les
ne sont plus nulles ; mais, puisqu’elles ont lieu le long des courbes données, ce sont les différentielles des coordonnées de ces courbes. En prenant donc les différentielles de leurs équations, nous pourrons exprimer
et
respectivement, en fonction de
et
En faisant la substitution de leurs valeurs dans la première partie du développement de
il s’y trouvera
variations
dont nous pourrons séparément égaler les coefficiens à zéro. Ensuite,
devront satisfaire aux deux courbes données, ce qui fournira deux relations ; ils devront enfin satisfaire à la courbe trouvée, ce qui en fournira deux autres ; de sorte qu’on aura en tout
conditions pour déterminer les
inconnues.
Supposons, par exemple, que l’on demande une courbe, qui se terminant à deux hyperboles équilatères
![{\displaystyle y'={\frac {a^{2}}{x'}},\qquad y''=-{\frac {b^{2}}{x''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2347aa53de559ecf0d947d8ec6a1376e6a497f)
produise une aire de révolution maximum autour de l’axe des
On posera toujours
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x={\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70726f15eaa3230e06158ab946ec786182e7bcb2)
ce qui donnera, en opérant comme ci-dessus
![{\displaystyle y={\frac {1}{2c'}}\left(e^{+{\frac {x}{c}}}+c^{2}e^{-{\frac {x}{c}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8254fd9caf7a4fd6a95697142d055737b7f99a4c)
Pour déterminer les deux constantes
ainsi que les points extrêmes de la courbe, c’est-à-dire, pour déterminer les six inconnues
nous écrirons les premiers termes du développement de
qui sont ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {y'}{\sqrt {1+p'^{2}}}}\delta x'+{\frac {p'y'}{\sqrt {1+p'^{2}}}}\delta y'\\\\-&{\frac {y''}{\sqrt {1+p''^{2}}}}\delta x''-{\frac {p''y''}{\sqrt {1+p''^{2}}}}\delta y''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd499ad32476f8099b67d9c7780bda5b5ec2d7a9)
Or, la différentiation des équations des deux hyperboles donne
![{\displaystyle \delta y'=-{\frac {a^{2}}{x'^{2}}}\delta x',\qquad \delta y''=-{\frac {a^{2}}{x''^{2}}}\delta x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9bc1c153e28bbabb7ed9b5931523468edb8f8b)
en substituant donc, il viendra
![{\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {1+p'^{2}}}}\left(1-{\frac {a^{2}p'}{x'^{2}}}\right)\delta x'-{\frac {y''}{\sqrt {1+p''^{2}}}}\left(1+{\frac {b^{2}p''}{x''^{2}}}\right)\delta x''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1715133db18c157826d44982bac9d3f1af2531e4)
Il faudra donc poser
![{\displaystyle 1-{\frac {a^{2}p'}{x'^{2}}}=0,\qquad 1+{\frac {b^{2}p''}{x''^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541a3e371eb347d95609752de8820c8d5f344d5d)
et comme d’ailleurs
![{\displaystyle -{\frac {a^{2}}{x'^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}},\qquad {\frac {b^{2}}{x''^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b8155965e6206ca5888f543b8dc318c95419b3)
cela reviendra à
![{\displaystyle 1+p'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0,\qquad 1+p''{\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x''}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48423f2f64ebe1c0cafc34d1333c829ce10d9a28)
équations qui expriment qu’aux points limites la chainette génératrice doit être normale aux deux hyperboles données.
En remplaçant, dans ces équations
et
par leurs valeurs, déduites de l’équation de la chainette ; savoir
![{\displaystyle p'={\frac {1}{2cc'}}\left(e^{+{\frac {x'}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x'}{c}}}\right),\qquad p''={\frac {1}{2cc'}}\left(e^{+{\frac {x''}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x''}{c}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83160ee9897ac39771b8977dc7f85af5d6a4bc93)
elles deviennent
![{\displaystyle 2cc'x'^{2}-a^{2}\left(e^{+{\frac {x'}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x'}{c}}}\right),\qquad 2cc'x''^{2}+b\left(e^{+{\frac {x''}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x''}{c}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5255eaa425e46d37c89ac1232aa85ac5c182eb86)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle y'=+{\frac {a^{2}}{x'}},\qquad y''=-{\frac {b^{2}}{x''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8dfb7002cf89ea371346241a6d74c815a11b00)
![{\displaystyle y'={\frac {1}{2c'}}\left(e^{+{\frac {x'}{c}}}+c^{2}e^{-{\frac {x'}{c}}}\right),\qquad y''={\frac {1}{2c'}}\left(e^{+{\frac {x''}{c}}}+c^{2}e^{-{\frac {x''}{c}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09874214225262fd1ed52e77fd06b6a6164c4afd)
on se trouve donc avoir six équations, pour déterminer ![{\displaystyle c,c',x',y',x'',y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5748fc618c7ba87afb82c5da924ca3618845c5c6)
Si la courbe qui doit satisfaire au maximum ou au minimum était assujettie à des conditions de constance, comme d’avoir une aire, une longueur, etc., déterminée, il serait facile d’opérer comme il a déjà été dit.
Si cependant ces conditions, au lieu d’être exprimées par des intégrales, l’étaient par des équations algébriques ; si, par exemple, au lieu de donner
on donnait
on remplacerait d’abord
et
par leurs valeurs en
et
ce qui donnerait
d’où
Remplaçant donc
par cette valeur, on n’aurait plus que le coefficient de
à égaler à zéro, ce qui ne laisserait plus que
relations ; mais celle qui aurait disparu se trouverait alors suppléée par l’équation donnée
C’est ainsi, par exemple, qu’on en agirait, si la chaînette qui doit se terminer aux deux hyperboles était assujettie à avoir une corde d’une longueur donnée. L’équation de condition serait ainsi