Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Statique, article 1

Démonstration d’un théorème de Statique ; par MM. Lenthéric, Sarrus, Morel et Querret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 30-31).

Démonstration du théorème de Statique énoncé à la
page 272 du présent volume ;

Par M. Lenthéric, docteur ès sciences, professeur
au collége royal de Montpellier,

Par M. Sarrus, docteur ès sciences, professeur au collége
de Pézenas,

Par M. A. E. Morel, capitaine au corps royal d’artillerie,

Par Et M. Querret, professeur de mathématiques transcendantes à la faculté des sciences de Montpellier.

THÉORÈME. Si des forces, au nombre de n, agissant sur un même point $\mathrm {O}$ de l’espace, sont représentées, en intensité et en direction, par des droites $\mathrm {OP_{1},OP_{2},OP_{3},\ldots OP} _{n},$ issues de ce point, le centre $\mathrm {M}$ des moyennes distances des points $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3},\ldots P} _{n},$ sera un des points de la résultante de ces forces ; et, si cette résultante est représentée en intensité et en direction par $\mathrm {OR,}$ on aura $\mathrm {OR} =n\times \mathrm {OM} .$

Démonstration. Trois des démonstrations que nous avons reçues se ressemblent pour le fond. Dans toutes on a rapporté le système à trois axes rectangulaires passant par le point $\mathrm {O} \,;$ seulement M. Sarrus a fait passer l’axe des $z$ par le point $\mathrm {M} \,;$ et, comme il en résulte quelques simplifications, nous adopterons un pareil choix d’axes de coordonnées.

Soient alors $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),\ldots \left(x_{n},y_{n},z_{n}\right),$ les points que nous avons désignés par $\mathrm {P_{1},P_{2},\ldots P_{n}} ,\,;$ on aura d’après la situation de l’axe des $z$

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{n}&=0,\\y_{1}\,+y_{2}\,+y_{3}+\ldots y_{n}&=0,\\z_{1}\,+z_{2}\,+z_{3}+\ldots z_{n}&=n.\mathrm {OM} .\end{aligned}}$

Soient ensuite $X,Y,Z$ les coordonnées du point $\mathrm {R} \,:$ si l’on décompose la résultante $\mathrm {OR}$ suivant les trois axes, $\mathrm {X} ,Y,Z$ en seront les composantes, et l’on devra avoir

${\begin{aligned}&X=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{n},\\&Y=y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots y_{n},\\&Z=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\ldots z_{n}\,;\end{aligned}}$

on aura donc aussi

$X=0,\quad Y=0,\quad Z=n.\mathrm {OM}$

la résultante $\mathrm {OR}$ est donc dans l’axe des $z,$ et passe ainsi par le point $\mathrm {M} \,;$ et l’on a de plus $\mathrm {OR} =z=n.\mathrm {OM}$^[1].

M. Lenthéric observe, comme l’avait déjà fait M. Gerono à qui l’on doit le théorème que, quelle que soit la position du point $\mathrm {O,}$ dans l’espace, la résultante $\mathrm {OR}$ passera toujours par le même point $\mathrm {M.}$

Il remarque encore que, si l’on a un tétraèdre $\mathrm {OABC,}$ et qu’on joigne par une droite $\mathrm {OM}$ le point $\mathrm {O}$ avec le centre $\mathrm {M}$ des moyennes distances des trois points $\mathrm {A,B,C,}$ la longueur $\mathrm {OM}$ sera dirigée suivant la diagonale $\mathrm {OR}$ du parallélipipède construit sur $\mathrm {OA,OB,OC,}$ et sera le tiers de la sienne.

M. Querret a suivi un autre tour de démonstration. Il remarque d’abord que, dans le cas de deux forces, la vérité du théorème est manifeste, puisqu’il n’est alors que le principe du parallélogramme, énoncé sous une autre forme. Il démontre ensuite que, si ce théorème est vrai pour $n$ forces, il sera vrai encore en introduisant une nouvelle force dans le système, ce qui est également sans difficulté, et il en conclut que ce théorème est vrai quel que soit le nombre des forces.

1. Voyez aussi la page 314 du précédent volmue.
   J. D. G.