Essai philosophique sur les probabilités/2c

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Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière, la marche des évènemens ; on voit naître à mesure qu’ils se multiplient, une régularité frappante qui semble tenir à un dessein, et que l’on a considérée comme une preuve de la providence. Mais en y réfléchissant, on reconnaît bientôt que cette régularité n’est que le développement des possibilités respectives des évènemens simples qui doivent se présenter plus souvent, lorsqu’ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires ; et supposons qu’à chaque fois que l’on en tire une boule, on la remette dans l’urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre des boules noires extraites, sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages ; mais les causes variables de cette irrégularité produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des évènemens, et qui se détruisant mutuellement dans l’ensemble d’un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans l’urne, ou les possibilités respectives d’en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage. De là résulte le théorème suivant.

La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre total des boules sorties, ne s’écarte pas au-delà d’un intervalle donné, du rapport du nombre des boules blanches, au nombre total des boules contenues dans l’urne, approche indéfiniment de la certitude, par la multiplication indéfinie des évènemens, quelque petit que l’on suppose cet intervalle.

Ce théorème indiqué par le bon sens, était difficile à démontrer par l’analyse. Aussi l’illustre géomètre Jacques Bernouilli qui s’en est occupé le premier, attachait-il une grande importance à la démonstration qu’il en a donnée. Le calcul des fonctions génératrices, appliqué à cet objet, non-seulement démontre avec facilité ce théorème, mais de plus il donne la probabilité que le rapport des évènemens observés ne s’écarte que dans certaines limites, du vrai rapport de leurs possibilités respectives.

On peut tirer du théorème précédent cette conséquence qui doit être regardée comme une loi générale, savoir, que les rapports des effets de la nature sont à fort peu près constans, quand ces effets sont considérés en grand nombre. Ainsi, malgré la variété des années, la somme des productions pendant un nombre d’années considérable est sensiblement la même ; en sorte que l’homme, par une utile prévoyance, peut se mettre à l’abri de l’irrégularité des saisons, en répandant également sur tous les temps, les biens que la nature distribue d’une manière inégale. Je n’excepte pas de la loi précédente, les effets dus aux causes morales. Le rapport des naissances annuelles à la population, et celui des mariages aux naissances, n’éprouvent que de très petites variations : à Paris, le nombre des naissances annuelles est à peu près le même ; et j’ai ouï dire qu’à la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses, change peu, chaque année ; ce qui a été pareillement observé à Londres.

Il suit encore de ce théorème, que dans une série d’évènemens, indéfiniment prolongée, l’action des causes régulières et constantes doit l’emporter à la longue, sur celle des causes irrégulières. C’est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de l’agriculture ; les chances qu’elles se réservent, leur assurant un bénéfice dans l’ensemble d’un grand nombre de mises. Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l’observation des principes éternels de raison, de justice et d’humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvéniens à s’en écarter. Que l’on consulte les histoires et sa propre expérience ; on y verra tous les faits venir à l’appui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de l’homme, chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernemens qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu’une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagemens, leur a coûtés. Quel immense crédit au dedans ! quelle prépondérance au dehors ! Voyez au contraire, dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent précipités par l’ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu’une grande puissance enivrée de l’amour des conquêtes, aspire à la domination universelle ; le sentiment de l’indépendance produit entre les nations menacées, une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement, au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers états ; les limites naturelles, en agissant comme causes constantes, doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires, de ne pas les étendre au-delà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par l’action de ces causes ; ainsi que les eaux des mers, soulevées par de violentes tempêtes, retombent dans leurs bassins par la pesanteur. C’est encore un résultat du calcul des probabilités, confirmé par de nombreuses et funestes expériences. L’histoire traitée sous le point de vue de l’influence des causes constantes, unirait à l’intérêt de la curiosité, celui d’offrir aux hommes les plus utiles leçons. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes, à des circonstances accidentelles qui n’ont fait que développer leur action. Il est, par exemple, contre la nature des choses, qu’un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu’une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu’à la longue, cette cause constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens, et que la suite des temps développe, finira par en trouver d’assez fortes pour rendre au peuple soumis, son indépendance naturelle, ou pour le réunir à un état puissant qui lui soit contigu.

Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus importans de l’analyse des hasards, les possibilités des évènemens simples sont inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les évènemens passés, des indices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils dépendent. En appliquant l’analyse des fonctions génératrices, au principe exposé ci-devant, sur la probabilité des causes, tirée des événemens observés, on est conduit au théorème suivant.

Lorsqu’un événement simple ou composé de plusieurs évènemens simples, tel qu’une partie de jeu, a été répété un grand nombre de fois ; les possibilités des évènemens simples qui rendent ce que l’on a observé, le plus probable, sont celles que l’observation indique avec le plus de vraisemblance : à mesure que l’évènement observé se répète, cette vraisemblance augmente et finirait par se confondre avec la certitude, si le nombre des répétitions devenait infini.

Il y a ici deux sortes d’approximations : l’une d’elles est relative aux limites prises de part et d’autre, des possibilités qui donnent au passé le plus de vraisemblance : l’autre approximation se rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites. La répétition de l’évènement composé accroît de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes : elle resserre de plus en plus l’intervalle de ces limites, la probabilité restant la même : dans l’infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se change en certitude.

Si l’on applique ce théorème, au rapport des naissances des garçons à celles des filles, observé dans les diverses contrées de l’Europe, on trouve que ce rapport, partout à peu près égal à celui de 22 à 21, indique avec une extrême probabilité une plus grande facilité dans les naissances des garçons. En considérant ensuite qu’il est le même à Naples et à Pétersbourg, on verra qu’à cet égard, l’influence du climat est insensible. On pouvait donc soupçonner contre l’opinion commune, que cette supériorité des naissances masculines subsiste dans l’Orient même. J’avais en conséquence invité les savans français envoyés en Égypte, à s’occuper de cette question intéressante ; mais la difficulté d’obtenir des renseignemens précis sur les naissances, ne leur a pas permis de la résoudre. Heureusement, M. de Humboldt n’a point négligé cet objet dans l’immensité des choses nouvelles qu’il a observées et recueillies en Amérique, avec tant de sagacité, de constance et de courage. Il a retrouvé entre les tropiques, le même rapport des naissances des garçons à celles des filles, que l’on observe à Paris ; ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines comme une loi générale de l’espèce humaine. Les lois que suivent à cet égard, les diverses espèces d’animaux, me paraissent dignes de l’attention des naturalistes.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, différant très peu de l’unité, des nombres même assez grands de naissances observées dans un lieu, pourraient offrir à cet égard un résultat contraire à la loi générale, sans que l’on fût en droit d’en conclure que cette loi n’y existe pas. Pour tirer cette conséquence, il faut employer de très grands nombres, et s’assurer qu’elle est indiquée avec une grande probabilité. Buffon cite, par exemple, dans son Arithmétique politique, plusieurs communes de Bourgogne où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes, celle de Carcelle-le-Grignon présente, sur 2 009 naissances pendant cinq années, 1 026 filles et 983 garçons. Quoique ces nombres soient considérables, cependant ils n’indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des filles, qu’avec la probabilité  ; et cette probabilité plus petite que celle de ne pas amener croix quatre fois de suite, au jeu de croix ou pile, n’est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie qui, selon toute vraisemblance, disparaîtrait si l’on suivait, pendant un siècle, les naissances dans cette commune.

Les registres des naissances, que l’on tient avec soin pour assurer l’état des citoyens, peuvent servir à déterminer la population d’un grand empire, sans recourir au dénombrement de ses habitans, opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour cela connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. Le moyen d’y parvenir, le plus précis, consiste 1o à choisir dans l’empire, des départemens distribués d’une manière à peu près égale sur toute sa surface, afin de rendre le résultat général, indépendant des circonstances locales ; 2o à dénombrer avec soin, pour une époque donnée, les habitans de plusieurs communes dans chacun de ces départemens ; 3o à déterminer par le relevé des naissances durant plusieurs années qui précèdent et suivent cette époque, le nombre moyen correspondant des naissances annuelles. Ce nombre, divisé par celui des habitans, donnera le rapport des naissances annuelles à la population, d’une manière d’autant plus sûre, que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement, convaincu de l’utilité d’un semblable dénombrement, a bien voulu en ordonner l’exécution, à ma prière. Dans trente départemens répandus également sur toute la France, on a fait choix des communes qui pouvaient fournir les renseignemens les plus précis. Leurs dénombremens ont donné 2 037 615 individus pour la somme totale de leurs habitans au 23 septembre 1802. Le relevé des naissances dans ces communes pendant les années 1800, 1801 et 1802, a donné

Naissances. Mariages. Décès.
110 312 garçons. 46 037. 103 659  hommes.
105 287 filles. 99 443  femmes.

Le rapport de la population aux naissances annuelles est donc 28  : il est plus grand qu’on ne l’avait estimé jusqu’ici. En multipliant par ce rapport le nombre des naissances annuelles en France, on aura la population de ce royaume. Mais quelle est la probabilité que la population ainsi déterminée, ne s’écartera pas de la véritable au-delà d’une limite donnée ? En résolvant ce problème, et appliquant à sa solution les données précédentes, j’ai trouvé que le nombre des naissances annuelles en France, étant supposé d’un million, ce qui porte sa population à 28 352 845 habitans, il y a près de trois cent mille à parier contre un que l’erreur de ce résultat n’est pas d’un demi-million.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, qu’offre le relevé précédent, est celui de 22 à 21 ; et les mariages sont aux naissances comme trois est à quatorze.

À Paris, les baptêmes des enfans des deux sexes s’écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 1745, époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu’à la fin de 1784, on a baptisé, dans cette capitale, 393 386 garçons et 377 555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24 ; il paraît donc qu’à Paris une cause particulière rapproche de l’égalité les baptêmes des deux sexes. Si l’on applique à cet objet le calcul des probabilités, on trouve qu’il y a 238 à parier contre un en faveur de l’existence de cette cause, ce qui suffit pour en autoriser la recherche. En y réfléchissant, il m’a paru que la différence observée tient à ce que les parens de la campagne et des provinces trouvant quelque avantage à retenir près d’eux les garçons, en avaient envoyé à l’Hospice des Enfans-Trouvés de Paris, moins relativement aux filles, que suivant le rapport des naissances des deux sexes. C’est ce que le relevé des registres de cet hospice m’a prouvé. Depuis le commencement de 1745 jusqu’à la fin de 1809, il y est entré 163 499 garçons et 159 405 filles. Le premier de ces nombres n’excède que d’un trente-huitième le second qu’il aurait dû surpasser au moins d’un vingt-quatrième. Ce qui confirme l’existence de la cause assignée, c’est qu’en n’ayant point égard aux enfans trouvés, le rapport des naissances des garçons à celles des filles est à Paris celui de 22 à 21.

Les résultats précédens supposent que l’on peut assimiler les naissances aux tirages des boules d’une urne qui renferme une infinité de boules blanches et de boules noires mêlées de manière qu’à chaque tirage les chances de sortie soient les mêmes pour chaque boule ; mais il est possible que les variations des mêmes saisons dans les diverses années, aient quelque influence sur le rapport annuel des naissances des garçons à celles des filles. Le Bureau des Longitudes de France publie chaque année, dans son Annuaire, le tableau du mouvement annuel de la population du royaume. Les tableaux déjà publiés commencent à 1817 : dans cette année et dans les cinq suivantes, il est né 2 962 361 garçons et 2 781 997 filles ; ce qui donne à fort peu près pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. Les rapports de chaque année s’éloignent peu de ce résultat moyen : le plus petit rapport est celui de 1822, où il n’a été que  ; le plus grand est de l’année 1817, où il a égalé . Ces rapports s’écartent sensiblement du rapport trouvé ci-dessus. En appliquant à cet écart l’analyse des probabilités, dans l’hypothèse de l’assimilation des naissances aux tirages des boules d’une urne, on trouve qu’il serait très peu probable. Il paraît donc indiquer que cette hypothèse, quoique fort approchée, n’est pas rigoureusement exacte. Dans le nombre des naissances que nous venons d’énoncer, il y a en enfans naturels 200 494 garçons et 190 698 filles. Le rapport des naissances masculines et féminines a donc été à leur égard , plus petit que le rapport moyen . Ce résultat est dans le même sens que celui des naissances des enfans trouvés ; et il semble prouver que dans la classe des enfans naturels, les naissances des deux sexes approchent plus d’être égales que dans la classe des enfans légitimes. La différence des climats du nord au midi de la France ne paraît pas influer sensiblement sur le rapport des naissances des garçons et des filles. Les trente départemens les plus méridionaux ont donné pour ce rapport, comme pour la France entière.

La constance de la supériorité des naissances des garçons sur celles des filles, à Paris et à Londres, depuis qu’on les observe, a paru à quelques savans être une preuve de la providence, sans laquelle ils ont pensé que les causes irrégulières, qui troublent sans cesse la marche des évènemens, auraient dû plusieurs fois rendre les naissances annuelles des filles supérieures à celles des garçons.

Mais cette preuve est un nouvel exemple de l’abus que l’on a fait si souvent des causes finales, qui disparaissent toujours par un examen approfondi des questions, lorsqu’on a les données nécessaires pour les résoudre. La constance dont il s’agit est un résultat des causes régulières qui donnent la supériorité aux naissances des garçons, et qui l’emportent sur les anomalies dues au hasard, lorsque le nombre des naissances annuelles est considérable. La recherche de la probabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps, appartient à cette branche de l’Analyse des hasards qui remonte des évènemens passés à la probabilité des évènemens futurs ; et il en résulte qu’en partant des naissances observées depuis 1745 jusqu’en 1784, il y a près de quatre à parier contre un, qu’à Paris les naissances annuelles des garçons surpasseront constamment, pendant un siècle, les naissances des filles ; il n’y a donc aucune raison de s’étonner que cela ait eu lieu pendant un demi-siècle.

Donnons encore un exemple du développement des rapports constans que les évènemens présentent à mesure qu’ils se multiplient. Concevons une série d’urnes disposées circulairement, et renfermant, chacune, un très grand nombre de boules blanches et de boules noires : les rapports des boules blanches aux noires, dans ces urnes, pouvant être très différens à l’origine, et tels, par exemple, que l’une de ces urnes ne renferme que des boules blanches, tandis qu’une autre ne contient que des boules noires. Si l’on tire une boule de la première urne, pour la mettre dans la seconde ; qu’après avoir agité cette seconde urne, afin de bien mêler la boule ajoutée avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne, et ainsi de suite jusqu’à la dernière urne dont on extrait une boule pour la mettre dans la première ; et que l’on recommence indéfiniment cette série de tirages, l’Analyse des probabilités nous montre que les rapports des boules blanches aux noires, dans ces urnes, finiront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boules blanches à la somme de toutes les boules noires contenues dans les urnes. Ainsi par ce mode régulier de changement, l’irrégularité primitive de ces rapports disparaît à la longue pour faire place à l’ordre le plus simple. Maintenant si entre ces urnes on en intercale de nouvelles dans lesquelles le rapport de la somme des boules blanches à la somme des boules noires qu’elles contiennent, diffère du précédent ; en continuant indéfiniment, sur l’ensemble de ces urnes, les extractions que nous venons d’indiquer, l’ordre simple établi dans les anciennes urnes sera d’abord troublé, et les rapports des boules blanches aux boules noires deviendront irréguliers ; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour faire place à un nouvel ordre qui sera enfin celui de l’égalité des rapports des boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature, dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés, établissent des modes réguliers d’action, propres à faire éclore du sein même du chaos, des systèmes régis par des lois admirables.

Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard présentent donc, en se multipliant, une tendance à se rapprocher sans cesse de rapports fixes ; de manière que si l’on conçoit de part et d’autre de chacun de ces rapports, un intervalle aussi petit que l’on voudra, la probabilité que le résultat moyen des observations tombe dans cet intervalle, finira par ne différer de la certitude que d’une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand nombre d’observations, reconnaître l’existence de ces rapports. Mais avant que d’en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s’égarer dans de vaines spéculations, de s’assurer qu’ils sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions génératrices donne une expression très simple de cette probabilité, que l’on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d’un grand nombre d’observations s’écarte de la vérité, par une constante moindre que l’unité, dépendante de la nature du problème, et élevée à une puissance dont l’exposant est le rapport du carré de cet écart au nombre des observations. L’intégrale prise entre des limites données, et divisée par la même intégrale étendue à l’infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l’écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d’observations.