Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 1

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 57-58).

ΠΡΟΊΤΑΣΙΣ ἁ.	PROPOSITIO I.
Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας ’πεʼπεροισμενυς τρί- γῶνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.	Surper datam rectam terminatam, triangu- lum æquilaterum constituere.
ἘΚΘΕΣΙΣ 1. Ἑστω. δοθεῖσα εὐθεῖα ᾽ πέπε- Ραοʼμἕνπ ἡ ΑΒ.	Expositio. Sit data recta terminata AB.
ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ᾿. Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας πεπερασμένης ὅ τρίγωνον ἰσόπλευρον συ- στήσασθα : .	Determinatio : Oportet igitur super AB rectam terminatam triangulum zquilaterum constituere.
ΚΑΤΑΣΚΕΥῊ ΄. Κέντρῳ μὲν τῷ Α. δγαστήματι δὲ τῷ ΑΒ, . κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔʼ καὶ πάλιν. κέντρῳ μὲν τῷ Β. διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ. κύκλος γεγράφθω ὃ ΑΤΈ᾿ καὶ ἀπὸ τοῦ Τ σημείου. καθ᾽ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι. ἐπὶ τὰ ᾳ. Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ.	Constructio. Centro quidem A, inter- vallo autem AB, circulus describatur BTIʼA ; et rursus, centro quidem B, intervallo autem BA, circulus describatur ATE ; et ab Iʼ puncto, in quo sese secant circuli, ad A, B puncta adjun- gantur recta ΓΑ, ΓΒ.

ΑΠΟΔΕΙΞῚΣ ὅ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σήμμείον κεντρὸν ᾽στὶ τοῦ ΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΑΒ᾽’ πάλιν, ἔπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΤῈ κύκλου. ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ	Demonstratio. Et quoniam A punctum centrum est BIA circuli, equalis est AD ipsi AB ; rursus, quoniam B punctum centrum est ATE circuli, æqualis est BIʼ ipsi 8A. Ostensa
ΤΑ τῇ ΑΒ, ση" ἐκάτερα ἀρὰ τῶν ΤΑ. ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἰσῇ΄. Τὰα δὲ τῷ αὐτῷ ἰσα. καὶ ἀλλῆλοις ἐστὶν 7 ἰσα" καὶ ἢ ΤΑ ἀρα τῇ ΤΒ ἰσὴ ἐστίν" αἱ τρε’ἷς ο’ἆροι αἷ ΤΑ ΑΒ. ΒΓ ἴσα ; ἀλλήλαις εἰσίν.	est autem et lʼA ipsi AB æqualis ; utraque igitur Jpsarum TA, LB ipsi AB equalis est. Quz autem eidem æqualia, et inter se sunt ctqualia ; et A igitur ipsi ʼB est æqualis ; tres igitur TA, AB, BIʼ equales inter se sunt.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ὅ. Ισο"πλευρον ἆʼρω ἐσ7 ; τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. καὶ συνίσ] α] α, 9 ἱπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.

Cowcrvsrio. JÉquilaterum igitur est ABT trnangulum, et constitutum est super datam rectam terminatam AB. Quod oportebat facere.

PROPOSITION PREMIÈRE.

Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilatéral.

Exposition. Soit AB une droite donnée et finie.

Détenmination. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.

Construction. Du centre 4 et de lʼintervalle AB, décrivons la circonférence BrA (dem. 5) ; etde plus, du centre 8 et de l’intervalle BA, décrivons la circonférence ATE ; et du point Tr, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites rA, TB (dem. 1 }.

Démonstration. Car, puisque le point A est le centre du cercle Br4, la droite AT est égale à la droite 48 (déf. 15) ; de plus, puisque le point 8 est le centre du cercle ATE, la droite Br est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite rA était égale a la droite AB ; donc chacune des droites rA, TB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (not. 1) ; donc la droite rA est égale à la droite 1B ; donc les trois droites TA, AB, Br sont égales entre elles.

Conclusion. Donc le triangle ABr (def. 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu’il fallait faire.