Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 13
C. F. Patris, (1, p. 75-76).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγ. | PROPOSITIO XIII. |
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Ἐὰν᾽ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῆ ἥτοι δύο ὗρθὢς, ʼἓ δυσὶν ὖρθοιΐς ἴσας ποιήσει. |
Si recta in rectam insistens angulos faciat, vel duos rectos, vel duobus rectis zquales faciet. |
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Εὐθεῖα γάρ τις ἤἡ ΑΒ ἐπ εὐθεῖαν τὴν ΤΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω. τὰς ὑπὸ ΤΒΑ. ΑΒΔ᾿ λέγω ὅτ, αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι. , ἥτοι " δύο ὀρθαί εἰσιν. ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. |
Recta enim quedam AB in rectam TA in- sistens angulos faciat ʼBA, ABA ; dico TBA, ABA angulos, vel duos rectos esse, vel duobus rectis æquales.
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Εἰ μὲν οὖν ἰση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΤΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, δύο ορθαι εἰσιν. Ἐ δὲ ου, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σπμειου τῇ ΤΔ ευθείᾳ " πρὸς ορθας ἡ ΒΕ᾿ αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ ; ΕΒΔ δῦο ο, : θοιι εἰσι. Καὶ ἐπεὶ ὅ ὑπὸ ΤΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΤΒΑ. ΑΒῈ ἴση ἐστὶ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ἘΒΔ" αἱ ο’ἔροι ὑπὸ ΤΒΕ. ΕΒΔ ’τρισʼἶ ταῖς ὑπὸ ΤΒΑ. ΑΒΕ. ΕΒΔ ἴσα ; εἰσί, Πάλιν. ἐπεὶ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ- ΕΒΑ ἔση ἐστὶ, |
Si igitur quidem aequalis est TʼBA ipsi ABA, duo recti sunt. Si vero non, ducatur a B puncto TʼA rect : ad rectos ipsa BE ; ergo ʼBE, EBA duo recti sunt. Et quoniam LIʼBE duobus lʼBA, ABE t qualis est, communis addatur EBA ; ergo IʼBE, EBA tribus BA, ABE, EBA equales sunt. Rursus, quoniam ABA duobus ABE, EBA equalis est, communis addatur ABT ; ergo |
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κοιγὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΤ᾽ αἱ ἀρα " ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ. ΕΒΑ. ΑΒΓ ἔσαι εἰσίν. Ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΤΒΕ. ἘΒΔ τρισʼἶ ταῖς αὐταῖς ἰσαι" τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἰσὰα. καὶ αλλήλοις ἐστὶν ἰσα" καὶ αἱ ὑπὸ ΓΙΓΒΕ. ἘΒΔ οι’ροι ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ. ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν" ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΤΒΕ, ἘΒΔ ὅνο ὀρθαί εἶσι. καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΑ. ΑΒΓ ο’ι’ροι σὶν ὀρθαῖς ἰσαι εἰσίν. Ἑαν΄ ἀρα- καὶ τὰ εξῆς. |
ABA, ABT tribus ABE, EBA, ABT zquales sunt. Ostensi sunt autem et LlʼBE, EBA tribus eisdem zquales ; qua autem eidem zqualia, et inter se sunt zqualia ; ergo et lʼBE, EBA ipsis ABA, ABT zquales sunt ; sed ʼBE, EBA duo recti sunt ; ergo et ABA, ABI" duobus rectis equales sunt. Si igitur, etc. |
Si une droite placée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.
Qu’une droite AB placée sur une droite ra fasse les angles TBA, ABA ; je dis que les angles TBA, ABA sont ou deux droits, ou égaux à deux droits. Car si l’angle ΓBA est égal à lʼangle ABΔ, ces deux angles sont droits (déf. 10) . Si non, du point B conduisons BE à angles droits à ΓA (11) ; les deux angles ΓBE, EBA seront droits ; et puisque l’angle ΓBE est égal aux deux angles TBA, ABE, si l’on ajoute l’angle commun EBA, les angles TBE, EBA seront égaux aux trois angles TBA, ABE, EBA. De plus, puisque l’angle ABA est égal aux deux angles ABE, EBA, si l’on ajoute l’angle commun ABr, les angles ABA, ABT seront égaux aux trois angles ABE, EBA, ABT. Mais on a démontré que les angles TBE, EBA leur sont égaux ; et les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles ; donc les angles TBE, EBA sont égaux aux angles ABA, ABr ; mais les
angles TBE, EBA sout deux angles droits ; donc les angles ABA, ABT sont égaux à deux droits. Donc, etc.