Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 41
C. F. Patris, (1, p. 117-118).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μαʹ. | PROPROSITIO XLI. |
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Εαάν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ Τὴν αυτῆν, . καὶ ἐν ταις αυὐταις παραλλήλοις ἢ. διπλάσιον ἐστὶ1 τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου. |
Si parallelogrammum quam triangulum basim habeat eamdem, et in eisdem parallelis sit, duplum est parallelogrammum trianguli. |
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Παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τεῷ ἐχέτω τὴν αὐυτὴν τὴν ΒΓ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ λέγω ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλό- γράμμον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου. |
Parallelogrammum enim ABΓΔ quam trian- gulum EBΓ basim habeat eamdem BΓ, et in eisdem parallelis BΓ, AE sit ; dico duplum esse ABΓΔ parallelogrammum EBF trianguli. |
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Επεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ. |
Jungatur enim AΓ. |
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Ισοὸν δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνογ"Ω τῷ ΕΒΓ τρι- γώνῳ. ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βασεὼς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΕ. Αλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλά- σιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐυὐτὸ δίχα τέμνει. ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλό- γράμμον καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον. Εὰν ἄρα παραλληλόγραμμον. καὶ τὰ εζῆς. |
Æquale igitur est ABΓ triangulum ipsi EBΓ trian- gulo ; nam super eidem basi est BΓ super qui ipsum EBΓ, et in eisdem parallelis BΓ, AE. Sed ABΓ4f parallelogrammum duplum est ipsius ABΓ trianguli ; nam AΓ diameter ipsum bifariam secat ; quare ABΓA parallelogrammum et ipsiu EBΓ trianguli est duplum. Si igitur parallelo- grammum, etc. |
Si un parallélogramme a la même base qu’un triangle, et s’il est dans les mêmes parallèles, le parallélogramme est double du triangle. Que le parallélogramme ΑΒΓΔ ait la même base ΒΓ que le triangle ΕΒΓ, et qu’il soit entre les mêmes parallèles BΓ, ΑΕ ; je dis que le parallélogramme ΑΒΓΔ est double du triangle EBΓ.
Joignons ΑΓ.
Le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ΕΒΓ (37) , puisqu’il est sur la même base ΒΓ que lui et entre les mêmes parallèles ΒΓ, ΑΒ. Mais le parallélogramme ΑΒΓΔ est double du triangle ΑΒΓ, car la diagonale ΑΓ partage ce parallélogramme en deux parties égales (34) ; donc le parallélogramme ΑΒΓΔ est double du triangle EBT. Donc, etc.