Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 9
C. F. Patris, (1, p. 70-72).
ΠΡΟΤΑΣΙΣ θʹ. | PROPOSITIO IX. |
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τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. |
Datum angulum rectilineum bifariam secare. |
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος. ἢ ὑπὸ ΒΑΓΙ’ δὲῖ δὴ αὐτὴν δἴχα τεμεῖν. |
Sit datus angulus rectilineus BAT ; oportet igitur ipsum bifariam secare. |
Εἰλήφθω γὰρʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ. καὶ ἀφηρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΤ τῇ ΑΔ ἰση ἢ ΑΒ. καὶ ᾿σεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔῈ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ 5 καὶ ἐπεζεύχθω |
Sumatur enim in AB quodlibet punctum A, et auferatur ab AT ipsi AA zqualis AE, et jungatur AE, et constituatur super AE trian- gulo aquilatero AEZ, et jungatur AZ ;
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ἢ ΑΖʼ λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΤ γωνια ἆιχα τετμυτοω ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας. |
dico BAT angulum bifariam secari ab AZ rectâ. | ||||||
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ, δὲ ἡ ΑΖ. δύο δὴ αἱ ΔΑ. ΑΖ δυσὶ ταῖς ἙΑ. ΑΖ ἰσαι εἰσὴν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. , καὶ βάσις ἢ ΔΖ βάσει τῇ ἘΖ ἴση ἐστί" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τή ὑπὸ ἘΑΖ ! σὴ ἐστιν. |
Quoniam enim zqualis est AA ipsi AE, coin- munis autem AZ, due AA, AZ duabus EA, AZ æquales sunt, utraque utrique, et basis AZ basi EZ æqualis est ; angulus igitur AAZ angulo EAZ æqualis est. | ||||||
Ἢ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὗθύγροιμμος, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, δύχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας. Ο’περ ἔδει ποιῆσαι, |
Datus igitur angulus rectilineus BAΓ bifariam secatur ab AZ rectâ. Quod oportebat facere.
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Partager un angle rectiligne donné en deux parties égales.
Soit BAT un angle rectiligne donné ; il faut le partager en deux parties égales.
Prenons dans la droite AB un point quelconque 4, retranchons de la droite Ar une droite AE égale, à la droite A4, joignons AE, sur la droite AE, construisons le triangle équilatéral AEZ (1) , et joignons AZ ; je dis que l’angle BAΓ est partagé en deux parties égales par la droite AZ.
Puisque AΔ est égal à AE, et que la droite AZ est commune, les deux droites AA, AZ, seront égales aux deux droites EA, AZ, chacune à chacune ; mais la base AZ est ‘égale à la base Ez ; donc l’angle A4Z est égal à lʼangle E4z (8) .
Donc lʼangle rectiligne donné BAT est partagé en deux parties égales par la droite AZ ; ce quʼil fallait faire.
À une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à angles droits,
Soit AB une droite donnée, et Γ le point donné dans cette droite ; il faut du point Γ mener à la droite AB une ligne droite à angles droits.