Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 5

Euclide

Les Éléments - Livre 4

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 254-256).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ έ.	PROPOSITIO V.
Περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι.	Circa datum triangulum circulum circum. scribere.
Εστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. δὲ δὴ περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι.	Sit datum triangulum ABΓ ; oportet igitur circa datum triangulum ABΓ circulum cir- cumscribere.
Τετμηήσθωσαν αἱ ΑΒ, . ΑΓ εὐθεῖαι1 δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΖΕ. συμπε- σοῦνται δὲ ἄὄτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας, ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ.	Secentur AB, AΓ rectæ bifariam in Δ, E punctis, et ab ipsis Δ, E punctis ipsis AB, AΓ ad rectos ducantur ΔZ, ZE. Convenient autem vel intra ABΓ triangulum, vel in BΓ rectâ, vel extra BΓ.

Συμπιπτέτωσαν οὖν2 ἐντὸς πρότερον κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΔ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ. βάασις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τὴ ΖΒ ἐστὶν ἴση3.	Conveniant igitur intus primum in Z, et jun- gantur ZB, ZΓ, ZA. Et quoniam zæqualis est AΔ ipsi BΔ, communis autem et ad rectos ipsa AZ ; basis igitur AZ ipsi ZB est æqualis. Simi-
Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῆ ΑΖ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ Ζ2Γ ἐστὶνί ἴση » αἱ τρεὶς ἄρα αἱ ΖΑ, 2Β, 2Γ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Ο ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ2. διαστήματι δὲ ἐνρὶ τῶν ΖΑ, Ζ2Β, Ζ2ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Περιγραφέσθω3 ὡς ὁ ΑΒΓΙ.	liter utique ostendemus et ipsam ΓZ ipsi AZ esse æqualem, quare et ZB ipsi ZΓ est æqua- lis ; tres igitur ZA, ZB, Zr æquales inter se sunt. Ergo centro Z, intervallo autem uni ip- sarum ZA, ZB, ZΓ circulus descriptus transi- bit et per reliqua puncta, et erit cireumscrip- tus circulus cirea ABΓ triangulum. Circum- scribatur ut ABΓ.
Αλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου.	Sed et AZ, EZ conveniant in BΓ rectá in Z, ut se habet in secundá figurá, et jungatur AZ. Similiter utique osteudemus Z punctum centrum esse ipsius circa ABΓ triangulum cir- cumscripti circuli.
Αλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐμτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, κωτὰ τὸ Ζ Πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταφραφής, καὶ ἐποζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓἪλ. Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ. βάσις ἄρα ἡ Αλ βάσει τῇ 28 ἐστὶν ἴση. Ομαίως δὴ δείξο. - μεν ὅτι καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΖΑ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ 2Γ ἐστὶνὦ ἴση. ͵ὦʼ ἄρα πάλιν7 κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος	Sed et AZ, EZ conveniant extra ABΓ trian- gulum, in Z rursus, ut se habet in tertià figurá, et jungautur AZ, BZ, ΓAZAZ Et quoniam rursus æqualis est AΔ ipsi AB, conmmunis autem ect ad rectos ipsa AZ ; basis igitur AZ ipsiZB est æqualis. Similiter utique osteudemus et ZΓ ipsi ZA esse æqualem, quare et ZB ipsi ZΓ est æqualis ; ergo rursus centro Z, intervallo autem uni ipsarum ZA, ZB, , ZΓ circulus descriptus transibit et per
γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἐσται περίγραφομεένος περί τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Καὶ γεγράφθω ὡς ΑΒΓ8.	reliqua puncta, et erit circumscriptus cirea ABΓ triangulum. Et describatur ut ABΓ.
Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγρα- πται. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.	Circa datum igitur triangulum circulus cir- cumseriptus est. Quod oportebat facere.

PROPOSITION V.

Circonscrire un cercle à un triangle donné.

Soit ABΓ le triangle donné ; il faut au triangle donné ΑΒΓ circonscrire un cercle.

Coupons les droites ΑΒ, ΑΓ en deux parties égales aux points 3, E (10. 1) , et des points Δ, B menons aux droites AB, AT les perpendiculaires ΔΖ, ZE (11. 1) ; ces perpendiculaires se rencontreront ou dans le triangle ΑΒΓ, ou dans la droite BΓ, ou hors de la droite BT.

Premièrement que ces perpendiculaires se rencontrent dans le triangle, au point Z ; joignons ZB, ZΓ, ZA. Puisque ΑΔ est égal à BA, et que la perpendiculaire ΔZ est commune et à angles droits, la base AZ est égale à la base ΖΒ (1. 1) . Nous démontrerons semblablement que ΓΖ est égal à ; donc zB est égal à ΖΓ ; donc les trois droites ΖΑ, zB, ΖΓ sont égales entrelles. Donc si du centre Ζ, et d’un intervalle égal à une des droités ΖΑ, ZB, ΖΓ, on décrit un cercle, ce cercle passera par les autres points, et ce cercle sera circonscrit au triangle ΑΒΓ (déf. 6. 4) . Qu’il soit circonscrit comme ΑΒΓ.

Mais que les droites ΔΖ, EZ se rencontrent dans la droite BΓ, au point z, comme dans la seconde fîgure ; joignons ΑΖ. Nous démontrerons sembla- blement que le point Ζ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABT.

Mais enfin, que les droites ΔZ, EZ se rencontrent hors du triangle ΑΒΓ, au point Z, comme dans la troisième figure, et joignons ΑΖ, BZ, ΓΖ. Puisque ΑΔ est encore égal à ÛB, et que la perpendiculaire ΔΖ est commune et à angles droits, la base AZ est égale à la base ΖΒ (4. 1) . Nous démontrerons semblablement que ZΓ est égal à ZA ; donc zB est égal à ΖΓ ; donc encore si du centre Z, et d’un intervalle égal à une des droites ZA, ZB, ZΓ, on décrit un cercle, ce cercle passera par les points restants, et il sera circonscrit au triangle ΑΒΙΓ, Quʼil soit circonscrit comme ΑΒΓ.

Donc un cercle a été circonscrit dans un triangle donné. Ce qu’il fallait faire.

ΠΟΡΙΣΜΑ.	COROLLARIUM.
Καὶ φανερὸν ὁτι, ὁτε μὲν ἐντὸς τοὺ τριγῶνου πίπτει τὸ κέντρον του κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γω-	Et manifestum est, quando quidem intra trian- gulum cadit centrum ecirculi, ipsum BAΓ angu-

νία, ἐν μείζονι τιηματι του ἡμικυκλίου τυγχα- νουσα, ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς. ὁτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἡ ὕπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα οὀρθή ἐστιν ὅτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τριγώνου πίπτειϑ, ἡ ὑπο ΒΑΓΣ, ἐν ἐλάττονι τμήματ ; του1ὸ ημικυκλίου	lum, in segmento majore quam semicirculo exis- tentem, minorem esse recto ; quando autem in BΓ rectam centrum cadit, ipsum BAΓ angulum, in semicirculo existentem, rectum esse ; quando vero centrum circuli extra triangulum cadit, ipsum BAΓ, in segmento minore quam semicir-
τυγχάνουσα, μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. Ωστέ καὶ ὁτὰν ἐλάττων ὀρθῆς τυγχάνῃ ἡ διδομένη γωνία εντὸς, τοῦ τριγώνου συμπεσοὐνται11 αἱ ΔΖ, ΕΖ. ὁταν δὲ ὀρθή, ἐσὶ τῆς ΒΓ. ὑταν δὲ μείζων ὀρθῆς, ἐντὸς τῆς ΒΓ1ΔΊ.	culoe, majorem esse recto. Quare et quando minor recto est datus angulus, iutra triangulum conve- nient AZ, EZ ; quando autem rectus ; in BΓ ; quando vero major recto, extra BΓ.

COROLLAIRE.

Il est évident que si le centre du cercle tombe dans le triangle, l’angle BAT compris dans un segment plus grand qu’un demi-cercle, est plus petit qu’un angle droit ; que si le centre du cercle tombe dans la droite BΓ, l’angle BAT compris dans un demi-cercle, est droit ; que si enfin le centre du cercle tombe hors du triangle ΒΑΓ, l’angle BAΓ compris dans un segment plus petit qu’un demi- cercle, est plus grand qu’un angle droit. C’est pourquoi si l’angle donné est plus petit qu’un droit, les droites 3Z, EZ se rencontreront dans le/ triangle ; s’il est droit, elles se rencontreront dans ΒΓ, et s’il est plus grand qu’un droit, elles se rencontreront hors de la droite BΓ.