Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 16
C. F. Patris, (1, p. 319-320).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛʹ. | PROPOSITIO XVI. |
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Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ἧ. καὶ ἐναλλὰξ ἀτάλογον ἔσται. |
Si quatuor magnitudines proportionales sint, et alterne proportionales erunt. |
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Ἑστω τέσσωρα μεγέθη ἀνάλογον. τὰ Α. Β. Γ. Δ᾿ ὡς τ α ʼπρὄς τὸ Β οὕτως τ Τ στρὄς τὸ Δʼ λέγω ὅτι καὶ ἐναλλαὰξ ἀνώλογον ἐστὶν ! . ὡς τὸ Α πρὃς τὸ Τ οὑ’τως τὸ Β ʼπρὄς τὸ Δ. |
Sint quatuor magnitudines proportionales A, B, Tl, A, ut A ad B ita T ad A ; dico et al- terne proportionales esse, ut A ad T ita Bad A. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ἑ Ζ. τῶν δὲ Τ. Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η. Θ. |
Sumantur enim ipsarum quidem A, B zque multiplices E, Z, ipsarum vero Tʼ, A alic ut- cunque eque muluplices H, 6. |
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Καὶ ἐπεὶ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ἐ τοῦ Α καὶ τὸ 2 τοῦ Β. τὰ δὲ μἕρπ τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα καταλληλα" ἔστιν ο’ι’ροι ὡς πὸ α ʼπρὃς πὸ Β οὗ- τῶς σὸ Ε πρὃς τὸ Ζ, Ὡς δὲ τ Α 7η : ὄς τὸ Β |
Et quoniam zque est mulüplex E ipsius A ac Z ipsius B ; partes autem inter se compa- rai » eamdem habent rationem, quam earum aque multüplices ; est igitur ut A ad B ita E ad Z. Ut autem A ad B ita T ad A5 ; et ut igitur
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οὕτως τὸ Τ πρὸς τὸ Δʼ καὶ ὡς ἄρα τὸ Τ πρὸς τὸ Δ οὕτως Τ Ε πρὸς τὸ Ζ. Παλιν. » ἐπεὶ Τα Ἡ. ΘτῶνΓ, Δ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσια" ἐστιν ἄρα ὡς ΤΟΤ πρόςτοδ οὕτως Τὸ Ἡ πρὸς τὸ Θ. ῶς έ τὸῦ πρὸς τὸ Δ οὕτως ΤΟ Ε πρὸς τὸ Ζ" Καὶ ὡς ἄρα τὸ Ἑ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ Ἡ πρὸς τὸ Θ. Ἐπν ὅς : τέσσαρα μεγεθὴ ἀνάλογον ἡ. τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ἧ, καὶ τὸ δεύ ῦ τετάρτο |
LT ad A ita E ad Z. lursus, quoniam H, 6 ipsarum P, A eque sunt multüplices ; est Igitur ut Il ad A iia H ad €. Ut autem ad A lla E ad Z ; et ut igitur E ad Z ita H. ad o, Si autem quatuor magnitudines proportionales sint, prima autem tertià major sit, et vcro Secunda quarlà major erit ; et si zqualis, zqualis ; et si minor, minor. Si igitur superat E. ipsam H, |
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μειζον ἐστῶϊ" πᾷᾳν ἰσὸν. ἐσὸν" καν ἐλασσον. ἐλασ- σον. Ἐ ! ἀρὼ ὑπερέχει τὸ Ἑ του Ἡ. υὑπερέχε ; καὶ τὸ 2 τοῦ Θʼ καὶ εἰ" ἰσὸν. ἐσὸν" Κκαὶ εἰ ἐλαττον, ἐλαττον. Καὶ ἐστί τὰ μὲν Ἐ. 2 τῶνΑ. Β “σα- κις πολλαπλάσια. τῷ δὲ Ἡ. Θ τώῶνΓ. , Δ ἄλλα α ἐτυχὲν ἰσαπκις πολλωπλασια" ἐστιν ἀρῶ ὡς τὸ Α πρὸς τοΥῦ ουτὼς Τὸ Β σρὸς τὸο Δ᾿ ΕἘὰν αρῶ τεσ- σαρα. καὶ τῶ εξζῆς. |
superat et Z ipsam 9 ; et si zqualis, 2qualis ; et si minor, minor. Ét sunt ipse quidem B, Z ipsarum A, B eque multiplices, ipse vero H, O ipsarum D, A alie utcunque zque multipli- ces ; est igitur ut A ad Iʼ ita B ad A. Si igitur quatuor, etc. |
Si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront proportionnelles par permutation.
Soient les quatre grandeurs proportionnelles A, B, Γ, Δ, c’est-à-dire que A soit à B comme Γ est à Δ ; je dis que ces grandeurs sont proportionnelles par permutation, c’est-a-dire que A est à Γ comme B est à Δ.
Prenons des équimultiples quelconques E, Z de A et de B, et d’autres équimultiples quelconques H, 6 de T et de a.
Puisque E est le même multiple de 4 que Z l’est de B, et que les parties comparées entr’elles ont la même raison que leurs équimultiples (15. 5), la grandeur À est à B comme E est à Z. Mais A est à B comme Γ est à A ; donc Γ est à Δ comme E est à Z (11. 5). De plus, puisque H, © sont des équimultiples de r et de À ; T est à A comme H est à ©. Mais r est à A comme E est à Z ; donc E est à Z comme H est à © (11. 5). Mais si quatre grandeurs sont proportionnelles, et si la première est plus grande que la troisième, la seconde sera plus grande que la quatrième ; si la première est égale à la troisième, la seconde est égale à la quatrième, et si la première est plus petite que la troisième, la seconde est plus petite que la quatrième (14. 5). Donc si E surpasse H, Z surpasse © ; si E est égal à H, Z est égal à © ; et si E est plus petit que H, Z est plus petit que 6. Mais E, Z sont des équimultiples quelconques de 4 et de B, et H, © sont d’autres équimultiples quel- conques de T et de 4 ; donc A est à Γ comme B est à 4 (déf. 6. 5). Donc, etc.