Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 18

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 324-325).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιηʹ.	PROPOSITIO XVIII.
Ἐὰν δηγῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ἢ 5 καὶ συντε- θέντα ἀνάλογον ἔσται.	Si divise magnitudines proportionales sint, et compositae proportionales erunt.
Ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ; τὰ ΑἘ. ἘΒ, ΤΖ, ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ οὕτως τὸ ΤΖ πρὸς τὸ 2Δ" λέγω ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται. ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.	Sint divise magnitudines proportionales AE, EB, TZ, ZA, ut AE ad EB 1ta TZ ad ZA ; dico et compositas proportionales fore, ut A3 ad BE ita TlʼA ad ZA.

ἙΪ ’ ; οἶρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὄς τὸ ΒΕ οὕτως τὸτδ ’πρὃς τὸ 2Δ᾽ ἔσται ὧς τὸ ΑΒ ’πρὄς τὸ ΒῈ οὑὕτως τὸ ΤΔ. ἥτοι προς ἐλᾶσσον τι του ΔΖ. ἥ “ρῦς μειζον.	Si enim nonʼest ut AB ad BE ita TʼA ad Z^ ; erit ut AB ad BE 1ta TA, vel ad minorem Ipsi AZ, vel ad majorem.
ἙἜστω ’πρὄτερον ʼπρὄς λασσον τὸ ΔΗ. Καὶ ἐσπεῖ ἐστιν ὦς τὸ ΑΒ ’πρὄς τὸ ΒΕ οὖτως τὸ ΤΔ σρὸς τὸ ΔΗ. συγκείμενα μεγεθπ αναλογοὸν εἐστιν" ὥστε καὶ δηωρεθεντα ἀνάλογον ἐσται" ἐστιν ἀρὰ	Sit primum ad minorem AH. Et quoniam eit ul AB ad BE ita TA ad AH, composite magui- tudines proportionales sunt ; quare et divise proportionales erunt ; est igitur ut AE ad E
ως τὄ ΑΕ πρῦς τὸ ΕΒ. ουτῶς τὸ ΓΗ σρος τὸ ἨΔ. , Ὑπἆκειτα͵ι δὲ καὶ ὡς τὸ ΑἙ πρὸς τὸ ἘΒ ουτῶως τὸ ΓΖ πρὸς Τοὸ ΖΔ" καὶ ωὡς ἀρὰ τὸ ΓῊ πρὸς τὸ ΗΔ οὕτως τὸ ΤΖ πρὸς τὸ ΖΔ. Μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΤΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΤΖ" μεῖζον ἀρα καὶ τὸ δὲεύ- Τέρὸν τὸ ΗΔ του τετάρτου τοὺ Ζ2Δ. Αλλὼ καὶ ἐλάττον, οπτερ ἐστιν ἀδυνώτον" οὐκ ὥρα ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τοὸ ΒΕ ου’τως το ΓΔ σρὸς ἐ λασσον τοῦ 2Δ. Ομοίως δὺὴ δείξομεν, ὅὃτε οὐδὲ πρὸς μεῖζον" πρὸς αὐτὸ ἄρα. Ἐὰν ἄρω διῃρημένα, καὶ τὰ ἑξῆς.	ita TH ad HA, Ponitur autem et ut AE ad EB iia lʼZ ad ZA ; et ut igitur TH ad HA ita TZ ad ZA. Major autem prima TH tcrtià TZ ; major igitur et secunda HA quarlà ZA. Sed, et minor, quod est impossibile ; non igitur est ut AB ad BE ita TA ad minorem ipsá ZA. Si- militer utique ostendemus neque ad majorem ; ad ipsam igitur. $i igitur diviso, etc.

PROPOSITION XVIII.

Si des grandeurs étant divisées sont proportionnelles, ces grandeurs état composées seront encore proportionnelles.

Que les grandeurs AE, EB, IZ, ZA, étant divisées, soient proportionnelles, c’est-à-dire que AE soit à EB comme IZ est à ZA ; je dis que ces grandeurs étant composées seront encore proportionnelles, c’est-à-dire que AB sera à Æ comme TA est à ZA.

Car, si AB n’est pas à BE comme TA est à ZA, AB sera à BE comme TA est à une grandeur plus petite que AZ ou à une grandeur plus grande.

Que AB soit premièrement à BE comme IA est à une grandeur plus pelle que ZA, savoir à AH. Puisque AB est à BE comme TA est à AH, ces grandeurs étant composées seront proportionnelles ; donc ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles (17. 5). Donc AE est à EB comme TH est à HA. Mais on a supposé que AE est à EB comme IZ est à ZA ; donc TH est à HA comme IZ est à ZA (11. 5). Mais la première rH est plus grande que la troisième rz ; donc la seconde HA est plus grande que la quatrième za (14. 5). Mais elle est plus petite, ce qui est impossible ; donc AB n’est pas à BE comme TA est à une grandeur plus petite que ZA. Nous démontrerons semblablement que 4B n’est pas à BE comme TA est à une grandeur plus grande que ZA ; donc AB est à BE, comme TA est a ZA. Donc, etc.