Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 23
C. F. Patris, (1, p. 333-335).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κγ´. | PROPOSITIO XXIII. |
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Ἐὰν ἡ τρία μεγεθη. καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἰσα τὸ πλῆθος, συνδὺυο λοιμζωνομενα εν τῷ αὐτῷ λογῷ9 ἡ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἢ αναλογία" καὶ δέίσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται, |
591 sint tres magnitudines, et alix ipsis equa- les multitudine, binz sumpta in eádem ratione, sit autem perturbata earum proportio ; et ex æquo in eáàdem ratione erunt. |
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Ἐστω τρία μεγέθη τὰὼ Α. Β. Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἰσὰ τὸ σγλῆθος, σύγδυο λαμξανόμενα ἐν τῷ |
Sint tres magnitudines A, B, Tʼ, et alie ip- sis equales multitudine, binz sumpiz in cádem |
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αυὐτῷ λόγῳ τὰ Δ. Ε, Ζ. ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία » ὡς μὲν ΤΟᾺΑ πρὸς τὸ Β ουτῶς 10 Ἑ πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Τ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ἐ" λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τΤὸ Γ οὕτως τὸ Δ σρὸς τὸ Ζ. |
ratione A, E, Z, sit autem perturbata earum proportio, ut A quidem ad B ita E ad Z, ut B vero ad lʼ ita À ad E ; dico esse ut A ad T ita A ad Z. |
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Εἰλήφθω τῶν μὲν Α. Β. Δ ἰσώκις πολλαπλά- σίια τὰ Η. Φ, Κι -τῶν δὲ Τ. Ε. Ζ ἄλλα ἃ ἐτύνεν ἰσαξπίς πολλαπλασίῶ τὰ ἃ. Μ. Ν. |
Sumantur ipsarum quidem A, B, A xque multiplices H, O, K, ipsarum vero P, E, Z aliæ utcunque eque multiplices A, M, N.
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Καὶ ἱπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Ἡ 5 Θ τῶν Α. Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλα- πλασʼι’οις τὸν αὐτὸν ἔ’χει λὄγονʼ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α ’πρ ς τὸΒ ουτως τὸ Ἡ πΡος τὸ Θ. Διὰὼ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ἑ ͵προς τὸ 2 οὕτως τὸ Μ ΄πʼρος : τὸ Ν’ καὶ ἔστιν ὡς τοκ ΄προς τὸ Β οὕτως -ὸ Ἑ ʼπρος τὸ 2Ζ" καὶ ως αροι τὸ Ἡ ’προς τὸ Θ ουτως τὸ Μ ʼπρος τὸ Ν, Καὶ ἐπεί ἐστιν ως τὸ Β πρὸς τ Τ ουτὼς τὸ Δ πρὸς Τὸ Ε. και ἔναλλαξ |
Et quoniam zque sunt multipices H, o ip- sarum A, B, partes vero eamdem habent ratio. nem quam carum aque mulüpiices ; est igitur ut A ad B ita H ad OG. Propter eadem ulique ut E ad Z ita M ad N ; et est ut A ad B ita gag Z ; ct ut igitur H ad O ita M ad N. Ft quo- niam cst ut B ad DIita À ad E, et alterne ut B ad A ita T ad E. Et quoniam O, K ipsarmm B, Acque sunt muluplices ; partes autem eam- |
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ως τ Β πρὸς τὸ Δ ουτὼῶὼς τ Τ πρὸς τὸ Ἑ, Και ἐἘπεῖὶ τὰ Θ. Καὶ τῶν Β. ἃ, σακις ἐστιὶ πολλαπλα- σια" τὰ δὲ μξρπ τοῖς ἰσάκις πολλαπλαᾶσιοις τὸν αὐτὸν ἐχξῖ ! λογον" ἐστιν ἀρῶ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ ἃ ουτως τὸ Θ πρῦς τὸ Κʼ οσλλ ὼς Τ Β σρὸς τὸ. λ Ἁ Δ τὸ Καὶ ουτῶς ΤΟΥΤ πρὸς ΤΟΈ, Τίαλιν5 ἐπει Τὰ Δ. Δ ουτως τῶὸ Τ πρὸς τὸ Ἐ καὶ ὡς ἃ Μ τῶν Τ. Ε ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλασια" ἐστιν ἆ’ρω ὧς τὸ Γ ʼπρὄς τὄ Ε οὗτως τὸολ ʼπρὲς τὃ Μ, |
dem habent rationem quam zque multiplices ; est igilur ut B ad A ita O ad K ; sed ut 3 ad A ita Tad E ; et ut igitur O ad K ita T ad E. Rursus quoniam A, M ipsarum I, E &que sunt multüplices ; est igitur ut Iʼ ad E ita A ad M. Sed ut lad E ita 8 ad K ; et ut igitur O ad K ita A ad M, ct alterne ut. O ad A ita K ad M. Ostensum autem est ct ut H ad 6 ila M ad N ; et quoniam ircs magnitudines sunt
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Αλλὼς ΤΟΤ ʼπρος τὸ Ἑ ουτως τὸ ʼπρος”ο Κʼ καὶ ως αροι τὸ Θ ʼπρος τὸ ἵζ ουτως τὸλ ʼπρος τὸ Μ : εἅ καὶ εναλλαξ ὡς τὸ Θ 1 Ρος τὸ Δ οὕτως πτὸ Καὶ τρος τὸ Μ. Εἆ”ειχθπ δὴ καὶ ὡς τ Η ’προς τὸ Θ υὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Νʼ ἐπεὶ οὖν ΤΡιά μεα ἐθη ἐστὶ. τὰ Η. Θ. - Δ. καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος. τά Κ, Μ. Ν σύνδυο λαμζανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. , , καὶ ἔστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἢ ἀναλογία" διείσου ἄρα εἰ ὑπερέχει τὸ Ἡ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κὶ τοῦ Νʼ καὶ εἰ ἴσον. , ἴσον" καὶ εἰ ὕλαττον. ἔλαττον. Καὶ ἔστι τὰὼ μὲν Ἡ, Κα τῶν Α-. Δ ἰσάκις πολλαπλάσια" τὰ δὲ Δ. Ν τῶν. 2 ἔστιν ἆ“’Ρα ὡς τ Α ’πρὄς τὸ Τ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ. Ἐὰν ἀρὰ ἢ τρίῶ χ Καὶ Τῶ εξἢς. |
H, O9, A, ct alie 1psis equales multitudine, ipse K, M, N, bine sumpte in cádem ratione, ct est earum perturbala proportio ; ex xquo igitur si superat H ipsam A, superat et K ipsam N ; et si equalis, equalis $ ct si minor, minor, Etsunt H, K quidem ipsarum A, A zque multipli- ces, l1pse vero A, N ipsarnm TL, Z ; est igitur ut A ad T ita A ad Z. S igitur sint tres, etc. |
Si lʼon a trois grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières ; si ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, et si leur proportion est troublée, ces grandeurs auront la même raison par égalité.
Soient les trois grandeurs A, B, T, et d’autres grandeurs 4, E, Z égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, aient la même raison, et que leur proportion soit troublée, c’est-à-dire que A soit à B comme E est à Z, et que B soit à Tr comme A est à E ; je dis que À est à T comme A est à Z.
Prenons des équimultiples quelconques H, Θ, K des grandeurs 4, B, 4, et d’autres équimultiples quelconques A, M, N des grandeurs T, E, Z. Puisque H, Θ sont des équimultiples de 4 et de B, et que les parties ont la même raison que leurs équimultiples (15. 5) ; A est à B comme H est à ae. Par la même raison, E est à Z comme M est à N ; mais À est à B comme E est à Z ; donc H est à Θ comme M est à N (11. b) . Et puisque B est à Tr comme A est à E, B est à A par permutation, comme T est à E. Et puisque Θ, K sont des équimultiples de B et de A, et que les parties ont la même raison que leurs équimultiples, B est à A comme Θ est à K, Mais B est à A comme r est à E ; donc Θ est a k comme r est à E. De plus, puisque A, M sont des équimultiples de r et de E, Tr est à E comme A est à M. Mais Tr est à E comme Θ est à K ; donc Θ est à K comme A est à M, et par permutation, Θ est à A comme K est à M. Mais on a démontré que H est à Θ comme M est à N ; donc, puisque l’on a trois grandeurs H, Θ, A, et d’autres grandeurs K, M, N égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, et que leur proportion est troublée ; si, par égalité, H surpasse A, K surpasse N ; si H est égal à A, K est Cgal à N ; et si H est plus petit que A, K est plus petit que N Qi. 5) . Mais H, K sont des équimultiples de A et de A, et A, N des équimultiples de r et de Z ; donc 4 est à T comme 4 est à Z (déf. 6. 5). Donc, etc.