Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 13

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 459).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγ´.	PROPOSITIO XIII.
Ἐὰν τέσσαρες ἆριθμ. ὸἳ ἀνάλογον ὦσι" καὶ ἐναλ- λὰξ ἀνάλογον ἔσονται.	Si quatuor numeri proportionales suni ; et alterne proportionales erunt.
Εστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α. Β, Γ, Δ, ὦς δΑ ’πρὄς. ’τὅν Β οὗτωζ Γ ʼπρὄς τὸν Δʼ λεγω ὁτι καὶ εναλλοιξ οινοιλογον ἔσονται, ως ὁ Α προς τον Γ ουτως Β ’προς τὸν Δ.	Sint quatuor numer proportionales A, B, T, A, utAadBitaTadA ; dicoctalterne pronorticnales fore, ut A4 ad P ita B 34 A.

Ἐσει γαρ ἐστιν ὡς ο Α σρὸς τον Β οὗὐτως ΟΤ πρύςητον Δ ὁ ἀρὴς μερὸς ἐστιν Ο Α του Β ἢ ΜΈρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστιί καὶ ο Τ τοῦ ἃ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" ἐναλλὰξ ἄρα ὃ μέρος ἐστὶν δὃ Α τοῦ Γ μερῆ } τὸ αὐτὸ μέρος ἐστι καιί 0 Β τοῦ ἃ ἢ τὰ αὑτα΄ Μερη" ἐστιν ἀβὰ ὡς ὁ Α πρὸς τον Γ οὕτως ὃ Β προς τὸν Δ. Οπερ ἔδει δειξαι.

Quoniam enim estut 4 adB ita P ad A ; quae igitur pars est A ipsius B vel partes, eadein pars estet ipsius À vel cædempartes ; alterne igitur quæ pars est À ipsius Iʼ vel partes, eadem pars est eL B ipsius Δ vel exdem partes ; est igitur ut A ad T ita. B ad Δ. Quod oportebat ostetendere.

PROPOSITION XIII.

Si quatre nombres sont proportionnels ; ils seront encore proportionnels par permutation.

Soient A, B, Γ, Δ quatre nombres proportionnels, et que 4 soit à B comme Γ est à A ; je dis qu’ils seront encore proportionnels, par permutation, cʼest-à-dire que A est à Γ comme B est à Δ.

Car, puisque A est à B comme T est à A ; A est la même partie ou Îles mêmes parties de B, que r l’est de A (déf. 20. 7) ; donc, par permutation, A est la même ou les mêmes parties de r, que B l’est de 4 (9 et 10. 7) ; donc 4 est à T comme B est à À (déf, 20. 7} Ce qu’il fallait démontrer.