Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 15
C. F. Patris, (1, p. 461-463).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιέ. | PROPOSITIO XV. |
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Ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μέτρῃ. ἰσακις δὲ ἑτερος ἀριθμὸς ἄλλον τιγὰ ἀριθμὸν μετρῇ" καὶ ἐναλλὰξ ἰτάκις ἡ μονὰς πὸν τρίτον ἀρεθμὸν με- τρίσει καὶ ο ἂυτερος τέταρτον. |
Si unitas numerum aliquem metitur, liter autem alter numerus alium aliquem merum metitur ; et alterne æqualiter unitas tertium numerum metietur ac secundus quartum. |
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Μονὰς γὰρ ὅ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὃ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθ- |
Unitas enim A numerum aliquem BI metiatur, æqualiter autem alter numerus À alium |
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Ἀὰν τὸοὸν ἘΖ μετρει’τωʼ λέγω ὅτι καὶ ενοιλλοἰξ ἰσακις ἡ Α μονάς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ οἷ ΒΓ τὸν ΕΖ. |
aliquem numerum EE metiatur ; dico et terne æqualiter À unitatem ipsum À numerum meliri. ac Blʼ ipsum EZ.
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Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α. μονοἰςχτὃν ΒΓ οἷριθμ, ὲν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ἘΖʼ ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες τισοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ἘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. Διῃρ’ᾗσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας τὰς ΒΗ. ΗΘ. ΘΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους. τοὺς ἘΚ. ΚΔ. ΛΖ" ἔσται δὲ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ͂. ΗΘ, ΘΙ τῷ πλήθει τῶν ἘΚ. ΚΛ. ΔΖ. Καὶ ἐπεὶ ἰἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ. ΗΘ. ΘΓ μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲῦ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ |
Quoniam enim æqualiter A unitas Ipsum Br numcrum meutur ac À ipsum EZ j qual igilur sunt in BIʼ umilates iot sunt etj, Ε7 numeri æquales 10961 A. Dividatur Br quidem in 1psas in eo unitates BH, HO, er, ipse vero EZ in ipsos 1psi A aquales EK, KA, 47. erit igitur equalis multitudo ipsorum BH, go. Or multitudini ipsorum EK, KA, AZ, Ei quoniam equales sunt BH, HO, OT unitate ; Inter |
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ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ. ΗΘ. ΘΓ μονάδων τῷ πλήθε ! τῶν ΕΚ. ΚΛ. ΔΖ ἀριθμῶν" ἔσται" ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ἘΚ ἀριθβμὸν οὕτως ἡ ἨΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν. καὶ ἡ ΘΙ μονὰς πρὸς τὸν ΛΖ αριθμον. Ἐσται ἄρα καὶ ὡς ες τῶν ἡγουμένων πρὸς ἐνά τῶν ἑπομένων οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγού- μένοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους" ἐστὶν ἄρα ὡς ἡὶ ΒΗ μονὰς πρὸς τὰὸν ΕΚ ἀριθμὸνή οὕτως ὁ ΒΓ πρὰς |
se, sunt aulem et EK, KA, AZ numeri #. quales inter se, et est æqualis multitudo Ipsarum BH, HO, OT unitatum multitudini ipsorum EK, KA, AZ numerorum ; erit igitur ut BH unitas ad EK numerum ita HO unila ; ad KA numerum, et OT unitas ad AZ numerum, Ert igitur et ut unus antecedentium 2d unum consequentium ita omnes antecedentes ad omnes consequentes ; est igitur ut BH |
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | τὸν EΖ. Ἰση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὃ ϑὲ ἘΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν οὕτως ὃ ΒΓ -πρὸς τὸν ἘΖ᾽ ἰσάκις ἀρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀρεθμονὴ μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν Ἐ7. Οσερ ἔδει δεῖξαι. | style="width:50%; vertical-align:top;" | unitas ad EK numerum ila BT ad EZ. Æqualis autem BH unitas ipsi A unitati, ipse vcro EK numerus Ipsi A numero ; cst igilur ut Á unitas ad A numerum ita BTʼ ad EZ ; æqualiter 1gitur A unitas ipsum. 4 numerum metitur ac EIʼipsum EZ. Quod oportebat ostendere. |}
Si lʼunité mesure un nombre autant de fois quʼun autre nombre mesure un autre nombre ; par permutation, lʼunité mesurera autant de fois le troisième nombre que le second mesure le quatrième.
Que lʼunité A mesure un nombre 2r autant de fois quʼun autre nombre A mesure un autre nombre EZ ; je dis que, par permutation, lʼunité A mesure le nombre A autant de fois que BΓ mesure EZ. Puisque l’unité A mesure le nombre Br autant de fois que A mesure EL il y aura dans Br autant d’unités, qu’il y a dans Ez de nombres égaux à 4. Partageons Br en ses unités BH, H®, @T, et partageons EZ en nombres égaux à A, et que ces nombres soient EK, KA, AZ ; la quantité des unités BH, H©, @T sera égale à la quantité des nombres EKk, KA, AZ. Puisque les unités BH, H©, @r sont égales entr’elles, que Îles nombres EK, KA, AZ sont égaux entrʼeux, et que la quantité des unités BH, H®, @T est égale à la quantité des nombres EK, KA, AZ, l’unité BH sera au nombre EK comme lʼunité H® est au nombre KA, et comme lʼunité @r est au nombre AZ. Donc un antécédent sera à son conséquent comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 7) ; donc lʼunité BH est au nombre Ek comme Br est a EZ. Mais lʼunité EH est égale à lʼunité A, et le nombre EK au nombre 4 ; donc lʼunité A est au nombre A comme Br est à Ez ; donc lʼunité A mesure le nombre A autant de fois que Br mesure EZ (déf. 20. 7). Ce quʼil fallait démontrer.