Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 23
C. F. Patris, (1, p. 474-475).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κγ´. | PROPOSITIO XXIII. |
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Οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλαχιστοὶ εἰσὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. |
Primi inter se numeri minimi sunt eorum camdem rationem habentium cum ipsis. |
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Ἑστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οἱ Α, Β λέγω ὅτι οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι πτῶν τὸν αὐυτὸν λογον ἐχογντῶν αὐτοῖς. |
Sint primi inter se numeri À, B ; dico ipso A, B minimos esse eorum eamdem rationem habentium cum ipsis. |
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Εἰ γὰρ μηΐ. ἐσονταῖ τινὲες τῶν Α- Β ἐλασ- σονες2 ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α. Β. Ἑστωσαν οἱ Γ, Δ. |
Si enim non, erunt aliqui ipsis A, B minor numeri in eádem ratione existentes cum psy A, B. Sikst Γ, Δ.
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Ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμο ! τῶν τὸν αὐτὸν λύγὸν ἐχύντων μεέτρουσι τοὺς τὸν αὐτὸν λογον ἔχοντας ἰσάκις. » ὃ τ μείζων τὸν μείζωνα. καὶ ὃ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα, ; τουτεστιν. 0 τε Ἡγούμενος. πὺνἡγούμενον, καὶ οἐπόμενος τὸν ἐπτόμενον" η σακις ἄρα ὃ Τ τὸν Α μετρεῖ καὶ ο Δ τὸν Β. Ὁσάκις δὴ Τ τὸν Α μετρεῖ. τοσαῦται μοναάδὲς ἐστωσαν ἐν τῷ Ἐ καὶ ὁ Δ ἀρὰ τον Β μέτρει κατὰ ταὰς εν τῷ Ἑ μονάδὰας. Καὶ ἐπεὶ 0 Τ τὸν Α μέετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μοναδὰς" καὶ ὁ Ἑ ἀρὼ τὸν Α μετρει κατὰ τάς ἐν τῷ Τ μονάδας, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ δῈ τὸν Β μετρεὶ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μοναδὰς" ο Ἑ ἀρὰ τοὺυς Α. Β μετρεις. πρώτους οντας σπρὸς ἀλλήλους, ὁσπέρ ἐστὶν ἀδυγατον" οὐκ ἄρα ἐσονται τινες τῶν Α. Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α. Β᾽ οἱ Α, Β ἀρὼ ἐλᾶχιηστοι εἰσὶ τῶν τὸν αὐτὸν λογοὸν ἐχοντῶν αὐυτοιίς. Οπερ ἐδει δεῖξαι. |
Et quoniam minimi numeri eorum eamdem rationem habentium metiuntur equaliter ipsos eamdem rationem habentes, et major majorem, et minor minorem, hoc est, et antecedens ante- cedentem, et consequens consequentem ; zqua- hter igitur T ipsum A melitur ac A ipsum B. Quoties autem T ipsum A metitur, tot unitates sint in E ; et A igitur ipsum B mctitur per unilates qua in E. Et quoniam Tʼ ipsum A me- ütur pcr unitates qui in E ; et E igitur ipsum A metitur per unitates quz in T. Propter eadem ulque ct E ipsum B metitur per unitates qua in4 ; ipse E igitur ipsos A, B metitur, primos existentes inter se, quod cst impossibile ; non igitur erunt aliqui 1ipsis A, B minores numcri in eádem ratione existentes cum ipsis A, B ; ipsi A, B igitur minimi sunt eorum eamdem ratio- nem habentium cum ipsis. Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION XXIII.
Les nombres premiers entrʼeux sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.
Que A, B soient des nombres premiers entʼeux ; je dis que les nombres 4, 1 sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.
Car sʼils ne le sont pas, il y aura des nombres plus petits que 4, B qu auront la même raison avec A, B. Que ce soient T, A. Puisque les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison (21. 7), le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent ; le nombre r mesurera le nombre 4 autant de fois que A mesurera B. Quʼil y ait dans E autant d’unités que r mesure de fois A ; le nombre A mesurera B par les unités qui sont en E. Mais T mesure A par les unités qui sont en E ; donc le nombre E mesure A par les unités qui sont en r. Par la même raison, E mesure B par les unités qui sont en A ; donc E mesure les nombres 4, B qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc il n’y a point de nombres plus petits que A, B qui ayent la même raison avec les nombres A, B ; donc les nombres A, B sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux. Ce qu’il fallait démontrer.