Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 38
C. F. Patris, (1, p. 496-498).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λή. | PROPOSITIO XXXVIII. |
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Tριῶν ἀριθμῶν δοθϑέντων, εὑρεῖν ὃν ἐλάγιστον μετροῦσιν ἀριϑμόν. |
Tribus numcris datis, invenire quem mini- mum moetauntur numerum. |
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Ἑστωσαν οἱ δοθέντες ἆριθμοἰ A, Β, Τʼ δὴ εὑρεῖν ὃν ἐλάχιστον μετρησουσιν τρέυμμοῖς |
Sint dati numeri A, B, T ; oportet igitur inye. nire quem minimum melüientur numerum. |
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Εἰλήφθω γαρ ὑπὸ δυο τῶν Α. Β εἐλαχίστος μετρούμενος ο Δ. Ο δὴ Τ τὸν Δ ἧτο ; μετρεῖ. ἢ οὐ μετρεῖ. Μετρείτω πρότερον, Μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α. Β τὸν Δʼ οἐ Α. Β. 9 Τ ἂρὼ τὸν Δ μετρη- σουσιὅ. Λεγῶ ὁτι καὶ ἐλαάχιίστον. Ἐ γὰρ μῆ. μμιε- τρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α. Β. Τ. ἐλάσσονα ὄνται τοῦ Δ. Μετρείτωσαν τὸν Ἐ, Ἐπε : οὐνὶ οἱ Α. Β. Γ τὸν Ἑ μετρουσι. καὶι : αρὼ τὸν Ε |
Curaetur enim a duobus A, 8 minimus men. suxatus ipse À, Ipse utique T ipsum A vel meti- tur, vcl non metitur, Metiatur primum. Metiua- tur autem et A, B ipsum A ; 1psi A, B, Pʼipitur ipsum À metieniur. Dico et minimum. Si enim Ron, metieniur aliquem numerum ipsi À, B, T, minorem exisicricm ipso A. Metiantur ipsum E. Et quoniam A, B, Iʼ ipsum E metuntar, et A, B
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μετροῦσι" καὶ ὁ ἐλάχιστος ἀρὼ ὑπὸ τὼν Α-. 8 μετρούμενος τὸν Ἐ5 μετρήσει. Ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α. Β μετρουμένος ἘσΤΙ » Ο Δʼ ὁ Δ ἀρὰ τὸν Ἐ μέτρε ! 5 » 0 μειζων τὸν ἐλασσονα. Ο7Ἰερ ἐστὶν αδὺ- νατον" οὐκλ ἀρῶ 0 Α. Β. Γμετρπσουσιδ τινα. εἷ : ρ ; θ- μὸν ἐλάσσοναι ὁντῶ τοὺυ Δʼ οἱ Δ. Β. Τ ἀρὼ ἐλω- χίστον τὸν ἃ μετρήσουσι, |
igitur ipsum E metiuntur ; et minimus igitur ab A ; B mensuratus ipsum E metietur. Minimus autem ab A, B mensuratus est A ; ipse A igitur ipsum E mceütur, major minorem, quod est impossi- bile ; non sgitur A, B, T metientur aliquem numerum minorem existentem ipso A ; ipsi A, B, T igilur minimum A metiuntur. |
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Μὴ μετρείτω δὴ πάλιν Ο Τ τὸν Δ. καὶ εἰ- λήφθω ὑπὸ τῶν Τ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθ- μῦς. 9 Ἐ. Ἐπεὶ οὖν ο Α. Β τὸν Δ μετρουσιν. ο δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ" καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετρή- |
INon metietur autem rursus T ipsum A, et su- maiura D, A minimus mensuratus numerus E. Et quoniam A, B ipsum A metiuntur, ipse autem A ipsum E metitur ; et A, B igitur ipsum E me- |
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σουσιϑ, Μετρεῖ δὲ καὶ ο Τ9" καὶ ο Α. , Β. ΓΥ ἀρὰ τὸν Ἑ μετεήσουσιί, Λέγω δὴ " ὅτι καὶ ἐλάχίστονς Εἰ γάρ μὓ. ΛΞΤΡΗΟʼΟ ! . ΜἹ, τινὰ Ο Α. 8. - ἐλαάσφονα ὄντα τοῦ Ἐ. Μετρείτωσαν τὸν Ζ. Καὶ ἐπεὶ οἱ Α. Β. Γ τὸν Ζ μετρουσι" καὶ ο Α΄. Β ἀρα τὸν Ζ μ : τρουσι" καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρὰ υὑπὸ τῶν Α-. Β με- |
tientur, Metitur autem et ipseTʼ ; et A, B, I igitur Ipsum E metientur. Dico et minimum. Si enim non, melientur aliquem ipsi A, B, , minorem existentem ipso E. Metiantur Z. Et quoniam A, B, lipsum Z metiuntur ; et A, B igitur ipsum Z mettiuntur ; et minimus igitur ab A, B mensu-
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τρουμενος τὸν Ζμετμ ; σε ! ο Ελοιχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α. Β μετρουμενος ἐστιν ὃ Δʼ ὃ Δ αρα τὸν Ζ μετρεῖ. Μετρεῖ δὲ καὶ ὃ Τ τὸν 2 οἱΔ. Τ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν" καὶ ο ἐλάχιστος ἀρα ΄ υπὸ Τῶν ΔιΓ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει", Ο δὲ ἐλά- |
ratus ipsum Z metietur. Minimus autem ah A. B mensuratus est A ; ipse A igitur ipsum Z melity, . Metitur autem et Iʼ ipsum Z ; Ipsi A, r igitur ipsum Z metiuntur ; et minimus igitur a A, r mensuratus ipsum Z metietur. Ipse autem min ; |
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ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ μείξζων τὸν ἐλάσσοναι, ὑΤῈρ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα οἱΑ. . Β, Γ μετρή- σουσί ! ῖ τινα οἷριθμὃν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ἐ δ Ε ἄρα ἐλάχιστος ὧν ὑπὸ τῶν Α, Β. Γ μετρεῆται. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
mus a A, T mensuratus est E ; E igitur ipsum Z metitur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur A, B, P meüentur aliquem numerum minorem existentem 1pso E ; ipse E igitur mini- mus existens ab A, B, ʼ mensuratur, Quod oportebat ostendere. |
A, B mesureront ΔZ ; mais ils mesurent ΓΔ tout entier ; donc ils mesureront le reste ΓZ plus petit que E, ce qui est impossible ; donc E ne peut pas ne point mesurer ΓΔ ; donc il le mesure. Ce qu’il fallait démontrer. mesurent E, les nombres 4A, B mesureront Æ, et le plus petit nombre mesuré par A, B mesurera E (37. 7). Mais le plus petit nombre mesuré par A, B est A ; donc à mesure E, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres A, B, I ne mesurent pas un nombre plus petit que A ; donc 4 est le plus petit nombre mesuré par les nombres A, B, T.
Que r ne mesure pas A. Prenons le plus petit nombre E mesuré par A (36. 7). Puisque A, B mesurent A, et que A mesure E, les nombres 4, B mesureront E. Mais r mesure E ; donc les nombres A, B, r mesureront E. Je dis que E est le plus petit. Car s’il ne l’est pas, les nombres A, B, T mesureront quelque nombre plus petit que E. Quʼils mesurent z. Puisque les nombres A, B, r mesurent z, les nombres A, B mesureront Z, et le plus petit nombre mesuré par AB mesurera Z. Mais le plus petit mesuré par 4, B est A ; donc A mesure z. Mais r mesure Z ; donc A, r mesurent Z. Donc le plus petit nombre mesuré par 4, 1 mesurera Z (37. 7). Mais le plus petit nombre mesuré par 4, T est E ; donc E mesure Z, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible. Donc les nombres A, B, T ne mesureront pas quelque nombre plus petit que E ; donc E est le plus peut nombre qui soit mesuré par A, B, r. Ce qu’il fallait démontrer.