Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 6

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 447-448).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ς.	PROPOSITIO VI.
Ἐαν ἀριῦμος ἀρηὕμου Μμερῆ 5 Καὶ ἐτέερὸς ετε- μὸυ τὰ αὐτὰ μέρη 4" καὶ συναμφότερος συναμ- φοτέρου τὰ αὑτὰ μερη ἔσται, ἀπέρ ο εἰς τὸῦυ ἑνός.	Si numerus numeri partes est, et alter alte— rius eedem partes est ; etʼuterque simul utriusque simul ez ; dem partes erit quae unus unius.
Αριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ αριθμοῦ τοῦ Τ μερὴ ἔστω. καὶ ἐτερος Ο ΔῈ εἐτέρου τοῦ Γ τὰ αὐτὰ μέρη ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ λέγω ὁτ, καὶ συναμφύτερος ο ΑΒ, ΔΕ συναμφοτεέρου του Γ. 2 τὰ αὐτὰ μέρη στὶν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ	Numerus ehim AB numeri Iʼ partes sit, et alter AE alterius Z exdem partes qux AB ipsius Iʼ ; dico et utrumque simul AB, AE utriusque simul P, Z. easdem partes esse, qua AB. ipsius F.

Ἐπεὶ γὰρ ἃ μέρη ἐστὶν ὃ ΑΒ τοῦ Τ τὰ αὐτὰ μέρὴ ἐστι2 καὶ ὁ ΔῈ τοῦ Ζ" ὁσὰ ἄρα εδτιν ἐν

Quoniam enim quæ partes. est. &B 5psius I^ ecdem partes est et AE ipsius Z ; quot igitur

τῷ ΑΒ μἕρπ τοῦ Τ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔῈ μέρη τοῦ Ζ. Διηρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τά τοῦ Τ μέρη τὰ ΑΉ, ΗΒ ; ὁ δὲ ΔῈ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ.

sunt in AB partes ipsius Iʼ, tot sunt et in AE partes ipsius Z. Dividatur AB quidem in Ipsius TU partes AH, HB, ipse vero AE in ipsiusZ par, tes ΔΘ, ΘΕ.

Ἑσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ͂. ΗΒ τῷ πλῆθει τῶν ΔΘ, ΘΕ, Καὶ ἐπεὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μξρος ἐστὶ καὶ ὃὁ ΔΘ τοῦ Ζ" ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὃ ΔῊ τοῦ Τ΄ τὸ αὐτὸ" μέρος ἐστὶ καὶ συνγαμφότερος ὃ ΔῊἩ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. Διὰ τὰὼ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ἨΒ τοῦ Τ, καὶ ὁ ΘῈ τοῦ Ζ" ὃ ἀρα μέρος ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ Τή καὶ συναμφο’τερος ὃ ΗΒ. - ΘΕ συν- αμφοτέρου τοῦ Τ. 2 ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὃ ΑΒ ποῦ Τ. τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ. ΔῈ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. Οπερ ἔδει δεῖξαι.

Erit utique zequalis mulütudo ipsorum AB, HB multitudini ipsorum A6, OE. Et quoniam qua pars est AH ipsius Iʼ, cadem pars est e AO ipsius Z ; quz igitur pars est AH ipsius T, eadem pars est et uterque simul AH, A9 utrius. que simul Tʼ, Z. Propter eadem utique et que. pars est HB ipsius Iʼ, et ipse OE ipsius Z ; ipse igitur pars est HB ipsius lʼ et uterque simul HB, 0E utriusque simul I, Z ; qua igitur partes est A3 ipsius I, ezedem partes est et uterque simul A3, AE utriusque simul Iʼ ; Z. Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION VI.

Si un nombre est plusieurs parties d’un nombre, et si un autre nombre est les mêmes parties d’un autre nombre, leur somme sera les mêmes parties de leur somme, qu’un seul l’est d’un seul.

Que le nombre AB soit plusieurs parties du nombre r, et qu’un autre nombre AE soit les mêmes parties d’un autre nombre z, que 48 l’est de r ; je dis que la somme de AB et de AE est les mêmes parties de la somme de Γ et de Z que AB lʼest de Γ. Puisque AB est les mêmes parties de r que AE l’est de z, il y a dans 4 autant de parties de r, quʼil y a dans AE de parties de z. Partageons AB en parties de T, et que ces parties soient AH, HB ; partageons aussi AE en parties de Z, et que ces parties soient ΔΘ, ΘΕ.

Le nombre des parties AH, HB sera égal au nombre des parties AΘ, ΘE, Et puisque AH est la même partie de Tr, que A0 l’est de Z, AK est la même partie de Tr, que la somme de AH et de 40 l’est de la somme de r et de z (5. 7). Par la même raison, HB est la même partie de Tr, que Θ l’est de z ; donc HE est la même partie de Tr, que la somme de HB et de ΘE l’est de la somme der et de Z ; donc la somme de AB et de AE est les mêmes parties de la somme de r et de Z, que 48 l’est de r. Ce qu’il fallait démontrer.