Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 9
C. F. Patris, (1, p. 453-454).
| ΠἹΡΟΤΑΣΙΣ θ´. | PROPOSITIO IX. |
|---|---|
|
Ἔαν αριῦμος ἀριὔμου μερὸς ἢ 5 καὶ ἐτέερὸς ετε- ρῶυ τὸ αυὑτὸ μερὸς ἢ. καὶ εναλλαξ ὁ μεέρος ἐστιν ἡ μερῃὴ ὁ πρῶτος ποῦυ τρίτου. τὸ αὐτὸ μερὸς ἐσται ἢ τὰ αὐτὰ Ἱέρη καὶ ὁ ἆευτερος τοῦ τε- τάρτου. |
numerus numeri pars est, et alter alte- rius eadem pars est ; et alterne quz pars est, vel partes primus tertii, eadem pars erit vel ædem partes et secundus quarti, |
|
Αριθμος γαροκα αριθμου τοὺ ἘΤ μερὸς ἐστως και ἐτερος ὁ Δ ἐτεροῦ τοῦ ΕΖ. τὸ αὐὑτὸ μέρος ὑπερ 9. Α τοῦ Γ-. ἐλάσσων δὲ ἐστω 0. Α τοῦ Δἦ" λέγω ὁτί καὶ εναλλαξ ο μερὸς ἐστίν 56. Α τὸυ Δ Ἢ ΜερΉ. ) τὸ αυτὸ μέρος ἐστί καὶ 0 ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη. |
Numerus enim A numeri BP pars sit, et alter À alterius EZ eadem pars quæ A ipsius minor autem sit A ipso A ; dico et alA Α terne quæ pars est A ipsius A vel partes, eam dem partem esse et BT ipsius EZ vel partes. TOU EL ii epu. |
|
Ἐπεὶϊ γᾶρο μερὸς ἐστιν ὁ Α τοὺυ Τ. τὸ αὐτὸ Μεέρος ἐστὶ καὶ" ὃ Δ τοῦ ΕΖ" ὅσοι ἀρα εἰσὶν Ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι πῷ Α. παοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν |
Quoniam enim qua pars est A ipsus BT, eadem pars est et À ipsius EZ ; quot igitur Sunt in BT numeri æquales ipsi A, tot sunt
|
|
τῷ ἘΖ ἴσοι τῷ Δ. Διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῶ Α ἴσους τοὺς ΒΗ. ΗΓ. . 0 δὲ ἘΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ἘΘ. ΘΖ᾽ ἴσὸον ἔστα ; δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ. ΗΓ τῷ πλήθε, τῶν ΕΘ, ΘΖ. |
et in EZ æquales ipsi A. Dividatur Br quili. dem in ipsos ipsi À æqual P Δ quaies BH, HT, ipe vero EZ in ipsos ipsi A æquales EΘ, ΘZ; æ- qualis erit utique multitudo Ipsorum BH, HΓ multitudini ipsorum ΕΘ, ΘΖ. |
|
Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ. ΗΤΙ ἀριθμοὶ ἀλλή- λοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ἘΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσο ! ἀλ- λήλοις, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ ΗΓ τῶ πλῆθει τῶν ἘΘ. ΘΖ᾽ ὃ ἀρα μέρος ἐστὶν ὃ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ δ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὃ ΒΗ τοῦ ἘΘ ἤ μέρῃ. τὸ αὐτὸ μἔρος ἐστὶ καὶ σʼυναμφὄτερος ὁ ΒΓ σʼυναμφοτἕ- ρου τοῦ Ἐ2 ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" ἴσος δὴ1 ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α. ὃ δὲ ἘΘ τῷ Δʼ’ ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν δ᾽ Α τοῦ Δἢ μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ ΒΓ τοῦ ἘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Et quoniam equales sunt BH, Hr numeri inter se, sunt autem et EO, 97 numeri g. quales inter se, et est zqualis multitudo Ipsorum BH ; HP multitudini ipsorum EO, 07 ; qua igitur pars est BH ipsius EO vel partes, eadem pars est et HTʼ ipsius OZ vel ezdem partes ; quare et quz pars est BH ipsius EO ve] partes, eadem pars est et uterque simul Br, utriusque simul EZ vel exzdem partes ; æqnalis utique BH quidem ipéi A, ipse vero ro ipsi ^ ; quz igitur pars est et A ipsius À vel partes, eadem pars est et Br ipsius EZ vd eædem partes. Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION IX.
Si un nombre est une partie dʼun nombre, et si un autre nombre est la même partie d’un autre nombre, le premier est, par permutation, la même partie ou les mêmes parties du troisième, que le second l’est du quatrième.
Que le nombre 4 soit une partie du nombre Br, et quʼun autre nombre 4 soit la même partie d’un autre nombre EzZ, que 4 l’est de 8r, et que A soit plus petit que A ; je dis que, par permutation, A est la même partie ou les mêmes parties de A, que Br l’est de Ez.
Puisque À est la même partie de Br, que 4 lest de Ez, il y a dans BT autant de nombres égaux à A, quʼil y a dans EZ de nombres égaux à A. Partageons BT en parties égales à A, et que ces parties soient BH, HΓ : partageons aussi EZ en parties égales à A, et que ces parties soient ΕΘ, ΘΖ ; le nombre des parties BH, HT sera égal au nombre des parties ΕΘ, ΘΖ.
Puisque les nombres BH, HT sont égaux entrʼeux, que les nombres Fo, 6z sont aussi égaux entr eux, et que la quantité des nombres BH, HT est égale à la quantité des nombres ΕΘ, ΘΖ, le nombre BH est la même partie ou les mêmes parties de E@, que HT l’est de ©z ; donc BH est la même partie ou les mêmes parties de E@, que la somme Br l’est de la somme Ez (5 et 6. 7). Mais BH est égal à A, et E@ égal à A ; donc A est la même partie ou les mêmes parties de A, que Br l’est de Ez. Ce qu’il fallait démontrer.