Euclide - Les quinze livres des éléments géométriques et le livre des Données - Traduction de Henrion, 1632/Element VI

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rectiligne donnee, & egale à vne autre propoſee.

Soient deux figures recilignes A B C & D ; il faut faire vne autre figura rectiligne égale à D, & ſemblable à ABC.

Sur la ligne AC (qui eſt l’vn des coſtez du rectiligne ABC, auquel on en doit faire vn ſemblable) ſoit faict le rectangle ACFE ega1 à ladite figure ABC : Item ſur la ligne A E, ſoit construit le rectangle GE egal à la figure donnee D, le tout par les 44. & 45. p. I. & apres avoir trouvé A I, moyenne proportionnelle entre GA & AC : Sur icelle AI, ſoit deſcrire la figure AIK ſemblable & ſemblablement poſee à la figure A C B, par la 18. p. 6. Ie dis qu’icelle figure A K I ſera anal égale à la figure donnee D.

Car par la conſtruction le rectangle G E eſt egal au rectiligne D, & le rectangle A F au rectiligne ABC, & par la i. pr. 6. AF eſt à GE, comme CA à AG : Mais les deux figures ſemblablcs ABC & AKI ſont l’vne à l’autre en la meſme raiſon de AC à AG, par le Corol. de la 19. ou 20. p. 6. attendu qu’icelles figures ſont deſcrites ſur les deux premieres lignes des trois proportionnelles CA, AI & AG. Donc par la ii. p.5. ACB ſera à IKA, comme AF à GE : & en permutant ACB ſera à AF, comme IKA à GE, par la 16. p.5. & partant ACB eſtant egal à AF : auſſi IKA ſera égal à GE, & par conſequeni egal à D : & par la conſtruction, iceluy rectiligne IKA eſt auſſi ſemblable, & ſemblablement poſé au rectiligne ABC. Nous auons donc deſcrit vne figure rectiligne ſemblable à vne autre donnee, & egale à vne propoſee. Ce qu’il falloit faire.

THEQR. 19. PROP. XXVI.

Si d’vn parallelogramme on oſte vn parallélogramme ſemblable & ſemblablement poſé au tout, ayant vn angle commun auec le tout, l’oſté ſera auec le tout à l’entour d’vn meſme diametre.

Du parallélogramme ABCD ſoit retranché le parallélogramme AEFG ſemblable & ſemblablement poſé au total BD, & ayant l’angle A commun auec iceluy : Ie dis qu’ils ſont tous deux conſtituez à l’entour d’vn meſme diametre, c’eſt dire qu’ayant mené au parallélogramme total BD le diametre AC, il paſſera par F, comme AFC.

Autrement, ſoit (s’il eſt poſſible) vn autre diametre AHC, qui ne paſſe par l’anglc F du parallelogramme retranché EG ; ains couppe le coſté E F en H, & d’iceluy poinct ſoit menee H I parallele à AB, par là 31. prop i. donc le parallelogranmme IE eſtant à l’entour d’vn meſme diametre auec le total DB ſera ſemblable à iceluy, par la 4.p, 6. auquel total, GE eſt auſſi ſemblable par l’hypotheſe : & partant par la 21. p. 6. les parallelogrammes GE & IE, ſeront ſemblables entr’eux : & par le i. def. 6. AE ſera à EF comme AE à EH : mais AE eſtant egal ſoy meſme, il faudroit auſſi par la 14. prop. 5. que EF 2° fuſt egale à EH 4°. c’eft à ſçauoir le tout à la partie, ce qui eſt abſurde : donc le parallelogramme total BD, & le retranche GE, eſtoient conſtituez à l’entour d’vu meſme diametre : car il aduiendra touſiours la meſme abſurdité, ſi on dit que le diametre de BD couppe â quelconque autre poinct, ſoit le coſté EF ou FG, du parallelogramme retranché GE. Si donc d’vn parallelogramme on oſte vn parallelogramme, &c. Ce qu’il falloit demonſtrer.

THEOR. 20. PROP. XXVII.

De tous les parallelogrammes appliquez ſelon vne meſme ligne droite, & defaillans de parallelogrammes ſemblables & ſemblablement posez â vn autre deſcrit ſur la moitié de la meſme ligne ; le plus grand eſt celuy-là qui eſt deſcrit ſur l’autre moitié de la ligne 3. & ſemblable au defaut.

Soit la ligne droicte AB couppee en deux egalement en C, & ſur CB moitié d’icelle, ſoit conſtitué quelconque parallelogramme BCDE, duquel le diametre eſt BD : Si donc on accom-
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plit tout le parallelogramme ABEH, le parallelogramme AD conſtitué ſur la moitié AC, ſera appliqué ſelon la ligne AB, & defaillant du parallelogramme CE, & ſemblable à iceluy defaut CE. le disque de tous les parallelogrammes qui peuuent eſtre appliquez ſelon icelle ligne AB, & defaillans d’vne figure ſemblable & femblablement poſée à CE, le plus grand eſt AD, qui eſt deſcrit ſur la moitié AC, & defaillant du parallelogramme CE.

Car eſtant pris au diametre BD quelconque poinct G, & tirees par iceluy poinct les lignes droictes FGI, KG, paralleles aux lignes droictes AB, BE ; le parallelogramme AKGF appliqué ſelon la ligne AB, ſera defaiilant du parallelogramme KI, lequel par la 24, prop. 6. eſt ſemblable & ſemblablement poſé à CE. Et d’autant que par la 43. prop, i. les complemens CG, GE, ſont egaux, si on leur adiouſte KI commun ; auſſi CI, KE ſeront egaux. Mais CI, CF, eſtans ſur baſes egales, ſont pareillement egaux par la 56. prop. i. donc auſſi CF, KE ſeront egaux, & leur adiouſtant CG commun, le parallelogramme AG ſera egal au gnomon LM. Parquoy puis que CE eſt plus grand qu’iceluy gnomon LM : (car CE, outre le gnomon, contient encore le parallelogramme DG) auſſi AD qui eſt egal à CE, par la 36. prop. i. ſera plus grand que le parallelogramme AG, du meſme parailelogramme DG. Et en la meſme maniere ſera demonſtré que AD eſt plus grand que tous autres parallelogrammes, qui ſeront appliquez ſelon la meſme ligne droicte AB, & defaillans de figures parallelogrammes ſemblables & ſemblablement poſees à CE. Parquoy de tous les parallelogrammes appliquez ſelon vne meſme ligue droicte, &c. Ce qu’il falloit demonſtrer.

PROP. 8. PROP. XXVIII.

A vne ligne droicte donnee, appliquer vn parallelogramme egal à vne figure rectiligne donnee, & defaillant d’vn parallelogramme ſemblable à vn autre donné, mais il faut que la figure rectiligne donnee ne ſoit plus grande que le parallelogramme, qui eſtant appliqué à la moitié de la ligne donnee, eſt ſemblable au parallelogramme donné.}}

Soit la ligne droicte donnee AB, à laquelle il faut appliquer vn parallelogramme egal à la figure rectiligne donnee C, defaillant d’vn parallelogramme ſemblable au parallelogramme donné D.

Ayant couppé AB en deux egalement en E, ſur la moitié EB ſoit deſcrit le parallelogramme EFGB ſemblable &
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ſemblablement poſé à iceluy D, par la 18. pr. 6. & ſoit accomply le parallelogramme AHGB.

Maintenant, ſi AF eſt egal à C, on a ce que l’on demande : car il eſt appliqué ſelon la ligne AB, & defaillant du parallelogramme EG, qui eſt fait ſemblable à D. Mais ſi C eſt plus petit que A F, (car par l’hypotheſe il ne peut eſtre plus grand) il ſera auſſi plus petit que EG egal à iceluy AF : ſoit donc trouué l’excez de EG par deſſus C, (cette egalité ou inegalité, & excez ſera cogneu par ce que nous auons dit à la 45. p.i.) lequel excez par la 25. p. 6 ſoit reduit en parallelogramme IKLM, ſemblable & ſemblablement poſé à EG : & veu que EG eſt plus grand que KM, il eſt euident que les cottez EF, FG, ſeront auſſi plus grands que les coſtez homologues KI, IM : parquoy d’iceux EF, FG ſoient couppez FN, FO, egaux à iceux KI, IM, à fin qu’eſtant accomply le parallelogramme NFOP, il ſoit egal à KM, & ſemblable & ſemblablement poſé au meſme KM ; & partant auſſi à EG : & par conſequent qu’eſtant tiré le diametre BF, iceux parallélogrammes EG, NO, ſoient autour d’iceluy diametre par la 26. p. 6. & aptes auoir continué de part & d’autre les coſtez NP, OP, tant qu’il ſera de beſoin, ſera conſtitué le parallelogramme AP, lequel ie dis eſtre le parallelogramme demandé. Car il eſt appliqué à la ligne AB, & defaillant du parallelogrameme SR, lequel par la 14. p. 6. eſt ſemblable à EG, partant auſſi à D. Item puis que IL eſt l’excez par lequel EG excede C, & qu’à iceluy excez eſt egal NO : il eſt l'excez par lequel EG excede C, & qu'à iceluy excez eſt egal NO : Il eſt euident que le gnomon TV ſera egal à la figure C. Mais il eſt auſſi egal à AP, comme il a eſté prouué à la precedente : donc auſſi AP ſera egal à C : Mais il eſt appliqué à la ligne donnée AB, & defaillant du parallelogramme SR ſemblable au donné D. Nous auons donc à vne ligne droicte donnée appliqué vn parallelogramme, &c. Ce qu’il falloit faire.

PROBL. 9. PROP. XXIX.

A vne ligne droicte donnée, appliquer vn parallelogramme egal à vne figure rectiligne donnée, excedant d’vn parallelogramme ſemblable à vn autre donné.

Soit la ligne droicte donnée AB, à laquelle il faut appliquer vn parallelogramme egai au rectiligne donné C, mais excedant d’vn parallelogramme femblable au parallelogramme donné D.

La ligne AB ſoit couppée en deux egalement au poinct E, & ſur la moitié EB ſoit deſcrit le parallelogramme EFGB ſemblable, & ſemblablement poſé à D par la 18. p. 6. En apres, ſoit deſcrit le parallelogramme HK egal aux deux figures C & EG, & ſemblable, & ſemblablement poſé à EG par la 25. p. 6. & partant à cauſe de
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la ſimilitude d’iceux parallelogrammes HK, EG, comme HI ſera à IK, ainſi EF ſera à FG ; & par conſequent HK eſtant plus grand que EG, auſſi les coſtez HI, IK ſeront plus grands que les coſtez EF, FG : eſtans donc prolongez les coſtez FE, FG, tellement que FL, ſoient egales aux lignes IH, 1K, & acheué le parallelogramme LFMN, il ſera ſemblable, & ſemblablement poſé à EG. Parquoy par la 26, p. 6. les parallelogrammes LM, & EG feront conſtituez l’entour d’vn meſme diametre, lequel ſoit FN. Maintenant eſtant prolongez AB & GB iuſques en P & O ; & acheué le parallélogramme LA : le parallelogramme AN ſera appliqué à la ligne AB, l’excedant du parallelogramme OP, qui eſt ſemblable à EG par la 24. p. 6. & partant à D. Mais ie dis auſſi qu'iceluy parallelogramme AN eſt egal au rectiligne C ; car puiſque par la 36. p. i. AL, EO ſont egaux & par la 43. p. 1. EO eſt egal au complement BM, auſſi AL ſera egal à iceluy BM : leur adiouſtant donc LP commun ; le parallelogr. AN ſera egai au gnomon QR, lequel eſt egal au rectiligne C : (car puiſque HK, c’eſt à dire LM, eſt egal aux rectilignes C & EG enſemble : ſi on oſte EG commun, reſteront egaux le gnomon QR, & le rectiligne C.) Donc auſſi le parallelogramme AN ſera egal au rectiligne C. A la ligne droicte AB, nous auons donc appliqué le paraallelogramme AN