Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation/chap. 3

Jean Becquerel

Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation, suivi d’un appendice à l’usage des mathématiciens

Payot, 1922 (p. 34-37).

CHAPITRE III

L’INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE

Le temps et la simultanéité. — M. Einstein a, dès le début de sa théorie, analysé d’une manière remarquable la notion de temps.

On doit d’abord remarquer que, dans toutes les circonstances où « le temps » joue un rôle, il s’agit toujours d’événements simultanés. Quand nous disons : le train part à 8 heures, cela signifie : l’indication 8 heures des aiguilles de l’horloge et le départ du train sont deux événements simultanés.

La simultanéité de deux événements se produisant au même endroit (ou presque au même endroit) se passe de définition, mais une définition devient nécessaire quand il s’agit de coordonner des événements se produisant en des lieux éloignés.

Considérons un système $\mathrm {S}$ (sans accélération). Au point $\mathrm {A}$ se trouvent un observateur et une horloge immobiles dans ce système : l’observateur $\mathrm {A}$ peut situer dans le temps tous les événements qui se produisent dans son voisinage immédiat. En un autre point $\mathrm {B}$, se trouvent aussi un observateur et une horloge rigoureusement identique à l’horloge du point $\mathrm {A}$ ; cet observateur $\mathrm {B}$ peut, de son côté, coordonner tous les événements qui se produisent autour de lui. La question est de coordonner les événements qui se passent en $\mathrm {A}$ avec ceux qui se passent en $\mathrm {B}$, car il s’agit d’avoir, non pas seulement un temps de $\mathrm {A}$ et un temps de $\mathrm {B}$, mais un temps commun aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$.

Ce temps sera défini de la façon suivante :

Puisque, dans un même système, la vitesse de la lumière est la même dans toutes les directions (principe de l’isotropie de la propagation), le temps que met la lumière à aller de $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B}$ est égal au temps qu’elle met à aller de $\mathrm {B}$ en $\mathrm {A}$.

Faisons alors partir de $\mathrm {A}$ un signal lumineux à l’instant $t_{\mathrm {A} }$ marqué par l’horloge du point $\mathrm {A} \;;$ ce signal arrive en $\mathrm {B}$ à l’instant $t_{\mathrm {B} }$ marqué par l’horloge de $\mathrm {B} \;;$ faisons-le réfléchir sur un miroir placé en $\mathrm {B}$ de manière à le renvoyer en $\mathrm {A} \;;$ il sera de retour en $\mathrm {A}$ à l’instant $t_{\mathrm {A} }^{\prime }$, marqué par l’horloge de $\mathrm {A} .$

L’horloge du lieu $\mathrm {B}$ est synchrone avec celle du lieu $\mathrm {A}$, par définition, si l’on a

$t_{\mathrm {B} }-t_{\mathrm {A} }=t_{\mathrm {A} }^{\prime }-t_{\mathrm {B} }\quad$ ou $\quad t_{\mathrm {B} }={\frac {t_{\mathrm {A} }+t_{\mathrm {A} }^{\prime }}{2}}$

on peut dire encore que l’horloge de $\mathrm {B}$ est synchrone avec l’horloge de $\mathrm {A}$ lorsqu’un signal lumineux parti de $\mathrm {A}$ à l’époque $t_{\mathrm {A} }$ (temps de $\mathrm {A}$) arrive en $\mathrm {B}$ à une époque $t_{\mathrm {B} }$ (temps de $\mathrm {B}$) telle que

${\frac {\text{distance AB}}{t_{\mathrm {B} }-t_{\mathrm {A} }}}=c$

$c$ étant la vitesse de la lumière^[1].

Cette définition du synchronisme ne soulève aucune objection, car elle est valable pour tous les points du système de référence. En effet :

1^o Si l’horloge de $\mathrm {B}$ est synchrone avec celle de $\mathrm {A}$, l’horloge de $\mathrm {A}$ est synchrone avec celle de $\mathrm {B}$.

2^o Si l’horloge de $\mathrm {A}$ est synchrone avec l’horloge de $\mathrm {B}$ et avec celle d’un troisième point $\mathrm {C}$, les horloges de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C}$ sont synchrones entre elles.

Nous comprenons maintenant ce qu’on doit entendre par simultanéité de deux événements qui se produisent en des lieux différents $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. L’événement $\mathrm {E_{A}}$ au point $\mathrm {A}$ et l’événement $\mathrm {E_{B}}$ au point $\mathrm {B}$ sont simultanés lorsque les époques simultanées à ces événements marquées par deux horloges synchrones en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont les mêmes.

Par ces définitions du synchronisme et de la simultanéité, nous avons une définition précise du temps d’un système tout entier. Il est essentiel de remarquer que cette définition est basée sur la propagation isotrope de la lumière.

Il est impossible de synchroniser deux horloges en mouvement relatif, car nous verrons que deux systèmes en mouvement l’un par rapport à l’autre ont des temps différents.

La vitesse de la lumière est une constante universelle. — Le principe de relativité et le principe de l’invariance de la vitesse de la lumière dans un même système ont pour conséquence immédiate que la vitesse de la lumière a la même valeur dans tous les systèmes en translation uniforme les uns par rapport aux autres.

Si, en effet, la vitesse de la lumière devait être plus grande dans le système $\mathrm {S} ^{\prime }$ que dans le système $\mathrm {S}$, comme toutes les directions de l’espace sont équivalentes dans chaque système (isotropie) et que rien ne distingue le système $\mathrm {S^{\prime }}$ du système $\mathrm {S}$ puisque les lois physiques sont les mêmes dans ces deux systèmes (principe de relativité), la vitesse de la lumière devrait aussi être plus grande dans $\mathrm {S}$ que dans $\mathrm {S^{\prime }}$ ; on arriverait à une contradiction. Il faut donc que la vitesse de la lumière soit une constante universelle.

Il est essentiel de bien préciser la signification de ce résultat : nous supposons que, dans divers systèmes en translation uniforme, les observateurs sont munis des mêmes étalons de longueur, c’est-à-dire de règles qui, si on les mettait à côté les unes des autres dans un même système (et bien entendu dans des conditions physiques rigoureusement identiques), auraient la même longueur ; nous supposons aussi que les observateurs ont des horloges étalons identiques (appendice, note 4). Dans ces conditions, si ces divers observateurs prennent, chacun dans son système, une base (de longueur et d’orientation quelconque) et mesurent le temps employé par la lumière à parcourir cette base, en divisant le nombre qui mesure la base par le nombre qui mesure l’intervalle de temps, ils doivent tous trouver le même quotient.

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1. Un semblable procédé est pratiquement employé pour la comparaison des heures des observatoires et la détermination des longitude par la T. S. F.