Grand dictionnaire universel du XIXe siècle/FOURIER (Jean-Baptiste-Joseph, baron), un des plus grands géomètres du XIXe siècle

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Pierre Larousse

Grand dictionnaire universel du XIXe siècle - Fj-Fris

Administration du grand dictionnaire universel, 1872 (8, part. 2, p. 670-672).

FOURIER (Jean-Baptiste-Joseph, baron), un des plus grands géomètres du XIX^e siècle, secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences et l’un des quarante de l’Académie française, né à Auxerre le 21 mars 1768, mort à Paris le 16 mai 1830.

M. Duché, docteur à Ouaine, qui a consacré une très-intéressante notice biographique au savant géomètre, nous fournit sur la jeunesse de Fourier les détails suivants : « Son père, dit M. Duché, était simple tailleur et sa famille originaire de Lorraine. Il comptait parmi ses ascendants un personnage considérable au XVII^e siècle, Pierre Fourier, chef et réformateur des chanoines réguliers de la congrégation de Notre-Dame. La vie de ce révérend Père a été écrite par le chanoine Jean Bédel, en 1866. Notre Fourier devint orphelin de bonne heure, et ses parents, morts pauvres, ne lui laissèrent en perspective que la misère. Il n’avait guère que huit ans, lorsqu’il fut recueilli par l’organiste Pallais, maître de musique à la cathédrale d’Auxerre et directeur d’un pensionnat secondaire. Il en reçut les premiers éléments du français et du latin. Ses heureuses dispositions le firent remarquer, et, à la recommandation d’une bonne dame de la ville, l’évêque, M^gr de Cicé, le fit admettre à l’école militaire d’Auxerre, alors sous la direction des bénédictins de la congrégation de Saint-Maur. Là, ses aptitudes se développèrent sur une plus vaste échelle. Fourier s’y distingua par l’heureuse facilité et la vivacité de son esprit. Il était toujours à la tête de sa classe, et cela presque sans efforts et sans que les jeux et la légèreté de son âge perdissent rien à ses succès ; mais, quand il arriva aux mathématiques, il se fit en lui un subit changement. Il devint appliqué et se livra à l’étude avec un zèle et une constance remarquables. Pendant la journée, il faisait une ample provision de bouts de chandelle, à l’insu de ses maîtres et de ses camarades, et, la nuit, quand tout le monde dormait, il se réveillait, descendait sans bruit dans la salle d’étude, s’enfermait dans une armoire, allumait ses bouts de chandelle et, là, passait de longues heures sur des problèmes de mathématiques. »

Ne pouvant entrer dans les armes spéciales, génie ou artillerie, qui étaient alors réservées à la noblesse, Fourier prit l’habit de novice à l’abbaye de Saint-Benoît-sur-Loire, qu’il quitta dès les premières lueurs de la Révolution pour occuper la chaire de mathématiques dans l’école même où il avait été élevé.

L’instruction de Fourier fut complétée à Paris, où il se rendit à la fin de 1789 pour lire à l’Académie des sciences son premier Mémoire sur la résolution des équations numériques, problème qui l’a depuis occupé toute sa vie, et sur lequel il a répandu tant de lumière.

Il avait embrassé avec enthousiasme les principes de la Révolution, et, à son retour à Auxerre, il prit une part active aux événements ; il exerçait un ascendant presque irrésistible sur la Société populaire de sa ville natale. À sa voix éloquente, le contingent assigné au chef-lieu de l’Yonne dans la levée de 300,000 hommes, se forma dans l’enceinte même de l’assemblée, et partit aussitôt pour la frontière.

La Terreur n’avait pas refroidi l’ardeur de ses sentiments républicains ; mais, pendant cette douloureuse période, Fourier, loin de se laisser aller aux entraînements du moment, employa son énergie à sauver quelques victimes. Il porta, devant le tribunal révolutionnaire, le secours de son talent à la mère de celui qui devait être le maréchal Davout, et la fit absoudre. Il eut l’audace d’enfermer dans son auberge, à Tonnerre, un agent du comité de Salut public pour pouvoir faire évader un citoyen honorable qu’on allait arrêter, et eut le talent de faire passer pour fou et révoquer un commissaire dont les excès allaient déshonorer la République.

Cependant, la réaction thermidorienne menaça de l’envelopper dans ses proscriptions : Fourier échappa en rentrant dans sa sphère naturelle. La Convention venait de décréter la création de l’École normale, dont le noyau devait être formé de citoyens de tout àge désignés par les chefs-lieux de districts. Fourier, en défaveur à Auxerre, fut élu par le district de Saint-Florentin. Il fut aussitôt nommé maître de conférences ; mais l’Ecole, comme on sait, périt bientôt de froid, de misère et de faim. Fourier, toutefois, avait eu le temps de s’y faire remarquer ; aussi fut-il appelé par Monge à l’Ecole polytechnique dès sa fondation. Il n’y entra d’abord que comme simple surveillant des leçons de fortification ; mais il fut bientôt après chargé du cours d’analyse, qu’il a professé avec un éclat dont le souvenir s’est longtemps perpétué à l’Ecole.

En 1798, Fourier résigna ses fonctions de professeur pour suivre Monge et Berthollet en Égypte. Le hasard le plaça sur le bâtiment qui portait Kléber, et les liens d’une amitié inaltérable se formèrent aussitôt entre eux. « Cette amitié, dit Arago, n’a pas été sans influence sur les quelques événements heureux qui suivirent d’abord le départ de Napoléon. »

Nommé membre de l’Institut d’Égypte à sa création, Fourier fut aussitôt appelé par l’unanimité de ses collègues à la place de secrétaire perpétuel et prit la part la plus active à tous les travaux de la nouvelle Académie des sciences. La Décade et le Courrier de l’Égypte contiennent de lui : un Mémoire sur la résolution générale des équations algébriques, des Recherches sur les méthodes d’élimination, la Démonstration d’un nouveau théorème d’algèbre, un Mémoire sur l’analyse indéterminée, des Etudes sur la mécanique générale, un grand nombre de Mémoires sur les monuments anciens de l’Égypte, sur les oasis, sur les recherches statistiques à entreprendre, sur des explorations à tenter, enfin, des études historiques sur les révolutions de l’Égypte. En même temps, Fourier participait avec ses collègues à l’établissement des fabriques d’acier, d’armes, de poudre, de draps, de machines de toutes sortes, que notre armée eut à improviser en quelque sorte dans ces contrées si éloignées de la mère patrie.

Commissaire français auprès du divan du Caire, Fourier, par son aménité et son esprit de justice, prit bientôt sur la population indigène un ascendant incroyable, où le général en chef puisa souvent d’utiles secours ; les missions diplomatiques dont il fut chargé à plusieurs reprises ne lui font pas moins d’honneur : c’est lui qui conclut avec la célèbre Sitty Nifiçah le traité d’alliance offensive et défensive qui lia Mourad-Bey aux destinées de la France et dicta aux révoltés du Caire, au milieu de la mêlée, les conditions de leur reddition.

L’armée française, saisie de stupeur à l’assassinat de Kléber, avait voulu réagir énergiquement en donnant à ses funérailles une solennité inusitée. Ce fut Fourier qui fut chargé de la périlleuse mission d’opposer au fanatisme musulman la glorification du nom français. Peu de temps après, il reprenait la parole devant l’armée française et la population du Caire pour célébrer les vertus de Desaix, à qui les Egyptiens avaient donné le glorieux surnom de Sultan juste.

Fourier ne quitta l’Égypte qu’après la capitulation signée par le général Menou. Il avait eu l’idée de rassembler dans une grande publication tous les documents recueillis par l’expédition. Ses collègues de l’Institut du Caire le désignèrent pour présider à la réunion des éléments de ce grand ouvrage et en rédiger le discours préliminaire. Nommé préfet de l’Isère en janvier 1802, Fourier conserva cette place jusqu’en 1815 ; il s’y occupa d’abord de rapprocher les différents partis, et s’y fit bientôt après le promoteur et le directeur de la vaste entreprise du dessèchement des marais de Bourgoin, qui rendit la santé aux habitants de plus de quarante communes, en donnant en même temps de nouvelles terres à l’agriculture. Les fonctions administratives ne le détournaient pas entièrement de sa première voie : c’est de Grenoble, en effet, qu’il dirigea la publication du Mémorial de l’expédition d’Égypte : et c’est là aussi que, au milieu des occupations de sa charge, il jeta les premières bases du grand et bel ouvrage sur la Théorie de la chaleur, qui a fait son nom immortel. Il avait déjà, dans un intéressant Mémoire publié en 1807, démontré, comme conséquence de l’équilibre de température qui s’établit entre tous les corps compris dans une même enceinte, la loi de proportionnalité de la quantité de chaleur émise par un même élément de surface au sinus de l’angle d’émission. L’Académie des sciences, espérant le fixer à cet ordre de recherches, proposa, comme sujet du grand prix de mathématiques, pour 1812, la détermination des lois de la propagation de la chaleur dans les solides. Fourier concourut, en effet, et obtint le prix. Il a complété depuis sa théorie par de nouveaux Mémoires relatifs à la température des parties internes de notre globe, à la déperdition lente de la chaleur terrestre par rayonnement et à la comparaison des effets sensibles pour nous de la chaleur solaire et de la chaleur interne. Après avoir mis hors de doute l’extrême élévation de la température du centre de la terre, il démontra qu’elle reste toutefois sans influence un peu sensible sur l’état calorifique désormais stationnaire de la croûte solide qui nous supporte. Enfin, portant ses recherches jusqu’aux espaces célestes, il crut pouvoir leur assigner une température comprise entre 50 et 60 degrés au-dessous de zéro. Ces résultats n’ont pas été contredits depuis.

La première Restauration avait laissé Fourier à la tête du département de l’Isère, qu’il administrait encore au retour de Napoléon. Il tenta, dans une proclamation, d’arrêter la marche de l’empereur sur Grenoble et d’empêcher son entrée dans cette ville ; néanmoins, l’administration des Cent-Jours lui confia la préfecture du Rhône, qu’il ne conserva toutefois que jusqu’au 1^er mai. La seconde Restauration le trouva à Paris, sans emploi et prêt à reprendre son premier métier de professeur. La réaction le désignait déjà sous le nom de Labédoyère civil. M. de Chabrol, alors préfet de la Seine, s’honora en intervenant en faveur de son ancien professeur à l’Ecole polytechnique. Il créa pour lui la direction du bureau de statistique et lui fit allouer 6,000 francs d’appointements.

Sa première élection à l’Académie des sciences, en 1816, ne fut pas confirmée par Louis XVIII ; réélu l’année suivante, il finit par être accepté, et, bientôt après, devint secrétaire perpétuel de l’illustre compagnie pour les sections de mathématiques et de physique. Cuvier était son collègue pour les sections des sciences naturelles. Les éloges, que Fourier dut prononcer comme secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences le désignèrent pour un fauteuil à l’Académie française : il y remplaça Lemontey en 1827. Il était déjà membre de la Société royale de Londres.

Fourier passa les dernières années de sa vie entièrement livré à la science et à ses devoirs d’académicien. Il avait déjà ressenti en Égypte et dans l’Isère quelques atteintes d’un anévrisme ; une chute qu’il fit, le 4 mai 1830, accéléra les progrès de la maladie, et il s’éteignit quelques jours après. Il avait la manie de se couvrir extrêmement, même au cœur de l’été, et d’entretenir dans ses appartements une température excessive de près de 30 degrés. Ces nabitudes ont probablement hâté sa fin.

« La ville d’Auxerre, sur l’initiative d’un Auxerrois admirateur de son travail sur l’Égypte, lui a fait ériger une statue fort belle, qui est l’œuvre d’un jeune sculpteur auxerrois nommé Faillot, mort quelque temps après. Cette inauguration eut lieu le 4 mai 1849. Le célèbre chirurgien Roux, aussi d’Auxerre, vint y prononcer un discours au nom de l’Académie des sciences.

C’est à Fourier que la France doit Champollion, qu’il a enlevé à la conscription, au plus fort des guerres de l’Empire, pour le laisser à ses études.

Outre les ouvrages déjà cités, on doit à Fourier : Mémoire sur la statistique (t. II du Journal de l’École polytechnique) ; Rapport sur les établissements appelés tontines (1821) ; Rapports sur les progrès des sciences mathématiques (1822-1829) ; Éloges de Delambre, de W. Herschell, de Bréguet, de Charles (1823-1826) ; Recherches statistiques sur la ville de Paris, ouvrage publié sous les auspices du préfet de la Seine, et un grand nombre de biographies de géomètres, publiées dans la Biographie Michaud. Nous mentionnons spécialement de nouveaux Mémoires sur la théorie du mouvement de la chaleur, insérés dans les publications de l’Institut ; son Mémoire sur la résolution générale des équations algébriques, présenté à l’Institut d’Égypte, et son Analyse des équations déterminées, ouvrage posthume publié en 1831, par les soins de Navier, d’après les papiers qu’il avait laissés.

La Théorie de la chaleur de Fourier est une œuvre de premier ordre, où brillent les plus hautes qualités de l’esprit, une pénétration profonde dans l’invention des formes analytiques propres à la traduction des relations concrètes, et une grande habileté à créer de nouvelles ressources algébriques pour des questions nouvelles. La théorie de la chaleur, qui a pris naissance avec Fourier, est, au reste, sortie de ses mains à l’état de science faite, à laquelle de nouveaux chapitres pouvaient seulement être ajoutés, sans que ce qui était déjà fait pût comporter de nouvelles retouches.

Pour n’avoir pas autant d’ampleur, les recherches de Fourier sur l’analyse des équations algébriques n’en ont pas moins d’importance. En élargissant la voie dans laquelle on avait marché jusque-là, et dont Lagrange semblait avoir marqué le terme, elles ont, pour ainsi dire, eu pour conséquence forcée l’invention du beau théorème dû à Sturm. Budau avait, en 1807, donné une méthode pour séparer les racines d’une équation algébrique sans recourir à l’équation aux carrés des différences, lorsque les racines seraient toutes réelles, et il avait, en 1811, à peu près démontré que cette même méthode s’appliquerait encore lorsque l’équation proposée aurait un certain nombre de racines imaginaires ; mais c’est à Fourier que l’on doit d’avoir mis le fait complètement hors de doute. On sait que le théorème de Budau consiste en ce que le nombre des racines réelles d’une équation, comprises entre deux nombres a et b, ne peut pas surpasser le nombres des variations perdues en passant de la suite des valeurs des dérivées au premier membre de l’équation, pour x = a, à celle des valeurs de ces mêmes dérivées pour x = b. Fourier a démontré, en outre, que, s’il y a une différence, cette différence est toujours un nombre pair, d’où il résulte que la perte d’un nombre impair de variations accuse toujours la présence d’une racine réelle au moins. L’entière analogie que présente, sous les principaux rapports, la démonstration de ce théorème avec celle que Sturm a donnée du sien, indique une filiation nécessaire entre les deux progrès obtenus ; Sturm, au reste, n’a jamais refusé à Fourier la part qui pouvait lui revenir dans sa propre invention.

L’analyse mathématique doit à Fourier la découverte de la formule connue sous le nom de série de Fourier, qui permet de développer toute fonction quelconque analytique ou concrète, continue ou discontinue, variable suivant des lois quelconques dans certains intervalles, constante dans d’autres, etc., en une suite infinie de termes formés des sommes des sinus et des cosinus des multiples de la variable, affectés de coefficients convenables. Daniel Bernouilli, Euler et Lagrange avaient déjà entrevu la possibilité d’un pareil développement ; mais c’est à Fourier que l’on doit de l’avoir réalisé d’une manière pratique. La série de Fourier rend aujourd’hui les plus grands services dans toutes les recherches relatives aux questions de physique mathématique.

Fourier (série de). On sait que, quel que soit un arc u, on a

$\scriptstyle {\frac {1}{2}}+cosu+cos2u+cos3u+...$

$\scriptstyle {}+cosmu={\frac {sin\left(m+{\frac {1}{2}}\right)}{2sin{\frac {1}{2}}u}}$

Faisons u = x — a, multiplions les deux membres par une fraction arbitraire de α, F(α), et intégrons par rapport à α entre deux limites quelconques a et b, il viendra

$\scriptstyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\,d\alpha \,+\,\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\,\mathrm {cos} (x-\alpha )\,d\alpha \,+\,...$

$\scriptstyle {}+\,\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\,\mathrm {cos} m(x-\alpha )\,d\alpha$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha ){\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(x-\alpha )}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}})(x-\alpha )}}\,d\alpha$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha ){\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}})(\alpha -x)}}\,d\alpha$

La fonction de x à laquelle se réduit le second membre, lorsqu’on y fait m infini, se trouve ainsi développée sous la forme

$\scriptstyle lim{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha ){\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}})(\alpha -x)}}\,d\alpha ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\,d\alpha \,+\,\sum _{1}^{\infty }\,\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\,\mathrm {cos} m(x-\alpha )\,d\alpha$

Voyons donc à quoi se réduit le premier membre de cette dernière équation, lorsque m y tend vers l’infini. On remarquera d’abord que, parmi les éléments de l’intégrale contenus dans ce premier membre, il n’y a à tenir compte que de ceux qui correspondent à des valeurs de α infiniment voisines de la valeur fixe attribuée à x. En effet, considérons l’intégrale élémentaire

$\scriptstyle \mathrm {lim} \,{\frac {1}{2}}\int _{\alpha }^{\alpha +{\frac {\pi }{m+{\frac {1}{2}}}}}\,\mathrm {F} (\alpha )\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}}(\alpha -x)}}\,d\alpha \,;$

m étant infiniment grand, $\scriptstyle {\frac {\pi }{m+{\frac {1}{2}}}}$ est infiniment petit ; dans cet intervalle,

$\scriptstyle \mathrm {F} (\alpha )\,\mathrm {et} {\frac {1}{2}})\mathrm {sin} (\alpha -x)$

peuvent être considérés comme constants ;

l’intégrale peut donc recevoir la forme

$\scriptstyle {\frac {1}{2}}\,{\frac {\mathrm {F} (\alpha )}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}}(\alpha -x)}}\mathrm {lim} \int _{\alpha }^{\alpha +{\frac {\pi }{m+{\frac {1}{2}}}}}\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)\,d\alpha$,

mais

$\scriptstyle \int \mathrm {sin} [(m+{\frac {1}{2}})\alpha -(m+{\frac {1}{2}})x]d\alpha$

$\scriptstyle =-{\frac {1}{m+{\frac {1}{2}}}}\mathrm {cos} [(m+{\frac {1}{2}})\alpha -(m+{\frac {1}{2}})x]d\alpha$

La valeur de

$\int _{\alpha }^{\alpha +{\frac {\pi }{m+{\frac {1}{2}}}}}\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)\,d\alpha$

se réduirait donc à l’accroissement de

$-{\frac {1}{m+{\frac {1}{2}}}}\mathrm {cos} [(m+{\frac {1}{2}})\alpha -(m+{\frac {1}{2}})x]$,

lorsque α augmente de $\scriptstyle {\frac {\pi }{m+{\frac {1}{2}}}}$ ; or, cet accroissement est rigoureusement nul.

$\scriptstyle \mathrm {lim} \,{\frac {1}{2}}\int \,\mathrm {F} (\alpha )\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}}(\alpha -x)}}\,d\alpha$

reste donc constamment nul tant que α ne varie qu’entre des limites qui ne comprennent ni x, ni x augmenté d’un multiple entier quelconque de 2π. Par conséquent, l’intégrale

$\scriptstyle \mathrm {lim} \,{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\,\mathrm {F} (\alpha )\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}}(\alpha -x)}}\,d\alpha$

se compose seulement de la somme de ses éléments correspondant aux valeurs de α égales à x + 2kπ. Cherchons donc la valeur de l’un de ces éléments, et, pour cela, faisons varier α de x + 2kπ - ε à x + 2kπ + ε, ε désignant un infiniment petit. Nous remarquerons d’abord que laisser à x sa valeur fixe actuelle et faire x + 2kπ ± ε, ou remplacer x par x, x étant égal à x - 2kπ, et faire α = x’ ± ε, revient tout à fait au même, puisque α - x' et F(α) prennent, dans les deux cas, les mêmes valeurs. Cherchons donc la valeur de

$\scriptstyle \mathrm {lim} \,{\frac {1}{2}}\int _{x'-\epsilon }^{x'+\epsilon }\,\mathrm {F} (\alpha )\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x)}{\mathrm {sin} {\frac {1}{2}}(\alpha -x)}}\,d\alpha$

α - x’ étant infiniment petit, on pourra remplacer sin 1/2 (α - x’) par 1/2 (α - x’) ; d’un autre côté, x’ étant constant, dα pourra être remplacé par d(α - x’), les limites étant alors changées en - ε et + ε ; l’expression précédente deviendra donc

$\scriptstyle \mathrm {lim} \,\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\,\mathrm {F} (\alpha )\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x')}{\alpha -x'}}\,d(\alpha -x')$

mais si F(α) est continue dans les environs de α = x’, cette quantité finie et constante,

dans l’intervalle infiniment petit de - ε à + ε, pourra sortir du signe

$\scriptstyle \int$

, de sorte que l’expression qui nous occupe deviendra

$\scriptstyle \mathrm {F} (\alpha )\,\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\alpha -x')}{\alpha -x'}}\,d(\alpha -x')$

ou, en remplaçant α - x’ par ω,

$\scriptstyle \mathrm {F} (x')\,\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\,{\frac {\mathrm {sin} (m\,+\,{\frac {1}{2}})(\omega )}{\omega }}\,d\omega$

Dans cette dernière expression, dω/ω peut être remplacé par $\scriptstyle {\frac {(m\,+\,{\frac {1}{2}})d\omega }{(m\,+\,{\frac {1}{2}})\omega }}$, ce qui permet de prendre $\scriptstyle (m\,+\,{\frac {1}{2}})\omega$ pour variable indépendante, pourvu que l’on change les limites en $\scriptstyle -(m\,+\,{\frac {1}{2}})\epsilon$ et $\scriptstyle +(m\,+\,{\frac {1}{2}})\epsilon$, c’est-à-dire en $-\infty$ et $+\infty$. On a alors pour l’expression cherchée

$\scriptstyle \mathrm {F} (x')\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {sin} \phi }{\phi }}d\phi$

qui se réduit à π F(x’) ; car on sait que

$\scriptstyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {sin} \phi }{\phi }}d\phi =\pi .$

Il résulte de cette analyse que si les limites a et b comprennent, dans la progression illimitée dans les deux sens, dont la raison serait 2π, et où l’un des termes serait x, les termes compris de x + 2nπ à x + 2n’π, l’intégrale contenue dans le premier membre de l’équation fondamentale, posée plus haut, a pour valeur le produit par π de

$\scriptstyle \mathrm {F} (x-2n\pi )+\mathrm {F} (x-2(n+1)\pi )+...+\mathrm {F} (x-2n'\pi ),$

${\displaystyle }$

et que cette somme elle-même est représentée par

$\scriptstyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{\pi }}\sum _{1}^{\infty }\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {cos} m(x-\alpha )d\alpha$;

si l’intervalle b - a, moindre que 2π, comprend la valeur x, on aura simplement

$\scriptstyle \mathrm {F} (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{\pi }}\sum _{1}^{\infty }\int _{a}^{b}\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {cos} m(x-\alpha )d\alpha$

Si, en particulier, on suppose que x soit compris entre 0 et 2π, en prenant a = 0 et b = 2π, on aura, pour toutes les valeurs de x, de 0 à 2π

(1)

$\scriptstyle \mathrm {F} (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{\pi }}\sum _{1}^{\infty }\int _{}^{2\pi }\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {cos} m(x-\alpha )d\alpha$ ;

et si l’on suppose que x soit compris entre - π et + π, on aura de même, en faisant a = - π et b = + π

(2}

$\scriptstyle \mathrm {F} (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{\pi }}\sum _{1}^{\infty }\int _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {cos} m(x-\alpha )d\alpha$

Cela posé, cos m (x - α) se développant en

$\scriptstyle \mathrm {cos} mx\mathrm {cos} m\alpha +\mathrm {sin} mx\mathrm {sin} m\alpha$,

le m^ième terme de la suite comprise sous le Σ sera

$\scriptstyle \mathrm {cos} mx\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {cos} m\alpha d\alpha$

$\scriptstyle +\mathrm {sin} mx\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {sin} m\alpha d\alpha$

ou

$\scriptstyle \mathrm {cos} mx\int _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {cos} m\alpha d\alpha$

$\scriptstyle +\mathrm {sin} mx\int _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} (\alpha )\mathrm {sin} m\alpha d\alpha$

la fonction F(x) sera donc développée en une série de la forme

${\begin{aligned}\scriptstyle \mathrm {F} (x)=\mathrm {A} _{0}+\mathrm {A} _{1}\mathrm {cosx} +\mathrm {B} _{1}\mathrm {sin} x+\mathrm {A} _{2}\mathrm {cos} 2x\\\scriptstyle +\mathrm {B} _{2}\mathrm {sin} 2x+...\\\scriptstyle +\mathrm {A} _{1}\mathrm {cos} mx+\mathrm {B} _{m}\mathrm {sin} mx+...\end{aligned}}$

Pour supprimer toute restriction relativement aux limites entre lesquelles peut varier x, dans les formules (1) et (2), on peut poser $\scriptstyle x={\frac {\pi z}{l}}$, et $\scriptstyle \alpha ={\frac {\pi \beta }{l}}$; ces formules, alors, deviennent

(1)

$\scriptstyle \mathrm {F} \left({\frac {\pi z}{l}}\right)={\frac {1}{2l}}\int _{0}^{2l}\mathrm {F} \left({\frac {\pi \beta }{l}}\right)d\beta +{\frac {1}{l}}\sum _{1}^{\infty }\int _{0}^{2l}\mathrm {F} \left({\frac {\pi \beta }{l}}\right)\mathrm {cos} {\frac {m\pi }{l}}(z-\beta )d\beta$

et (2)

$\scriptstyle \mathrm {F} \left({\frac {\pi z}{l}}\right)={\frac {1}{2l}}\int _{-l}^{+l}\mathrm {F} \left({\frac {\pi \beta }{l}}\right)d\beta +{\frac {1}{l}}\sum _{1}^{\infty }\int _{-l}^{+l}\mathrm {F} \left({\frac {\pi \beta }{l}}\right)\mathrm {cos} {\frac {m\pi }{l}}(z-\beta )d\beta$

ou, en représentant $\scriptstyle \mathrm {F} \left({\frac {\pi z}{l}}\right)$ par φ (z) et remplaçant z par x et β par α, (1)

$\scriptstyle \varphi (x)={\frac {1}{2l}}\int _{0}^{2l}\varphi (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{l}}\sum _{1}^{\infty }\int _{0}^{2l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} m{\frac {\pi (x-\alpha )}{l}}d\alpha$

et (2)

$\scriptstyle \varphi (x)={\frac {1}{2l}}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{l}}\sum _{1}^{\infty }\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} m{\frac {\pi (x-\alpha )}{l}}d\alpha$

pour l’usage desquelles il suffira de se rappeler que $\scriptstyle {\frac {\pi x}{l}}$ devait être compris entre 0 et 2π, s’il s’agit de la première, entre - π et + π, s’il s’agit de la seconde, et que, par conséquent,

x doit être compris entre 0 et 2l, ou entre - 1 et + l, c’est-à-dire que 1 doit être pris tel que 0 et 2 1, ou -1 et + 1, comprennent x, cette variable pouvant ainsi prendre une valeur quelconque.

Ainsi, une fonction quelconque $\scriptstyle \varphi (x)$ pourra être développée, quel que soit x, en série formée d’une suite de termes de la forme

$\scriptstyle \mathrm {A} _{m}\mathrm {cos} {\frac {m\pi x}{l}}+\mathrm {B} _{m}\mathrm {sin} {\frac {m\pi x}{l}}$;

mais il faut bien remarquer, et c’est là, du reste, ce que la formule présente de particulièrement utile dans les applications physiques, que, si l a été une fois choisi, le développement ne reproduira la fonction φ (x) que dans l’intervalle compris soit de 0 à 2l, soit de - l à + l. En dehors de cet intervalle, la série reproduira périodiquement les mêmes valeurs, c’est-à-dire que l’équation de y, au développement, ne représentera pas la courbe y = φ (x), mais une suite indéfinie d’arcs égaux à celui de cette courbe, compris entre les parallèles à l’axe des y, x = 0, x = 2l, ou

x = - l, x = + l.

On peut, dans la formule

$\scriptstyle \varphi (x)={\frac {1}{2l}}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )d\alpha +{\frac {1}{l}}\sum _{1}^{\infty }\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} m{\frac {\pi (x-\alpha )}{l}}d\alpha$

faire croître l indéfiniment, de manière que le développement s’étende à toute valeur de x. Le signe Σ se change alors en celui de l’intégration. En posant $\scriptstyle {\frac {\pi }{l}}=\iota$, la seconde partie du second membre se transforme en

$\scriptstyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} \iota (x-\alpha )d\alpha +{\frac {2}{\pi }}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} 2\iota (x-\alpha )d\alpha +...$

Or si, dans l’expression générale

$\scriptstyle {\frac {\epsilon }{\pi }}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} m\iota (x-\alpha )d\alpha$

on remplace m ι, par p, et que l’on donne à p des accroissements successifs égaux à ι

$\scriptstyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} p(x-\alpha )d\alpha$

prend successivement toutes les valeurs

$\scriptstyle {\frac {\iota }{\pi }}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} \iota (x-\alpha )d\alpha$,

$\scriptstyle {\frac {\epsilon }{\pi }}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )\mathrm {cos} 2\iota (x-\alpha )d\alpha$, etc.

La somme de ces intégrales, quand on suppose 1infini et, par suite, ι infiniment petit, est donc

$\scriptstyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }dp\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\alpha )\mathrm {cos} p(x-\alpha )d\alpha$.

D’un autre côté, la première partie

$\scriptstyle {\frac {1}{2l}}\int _{-l}^{+l}\varphi (\alpha )d\alpha$

de la valeur primitive de φ(x) tend vers zéro quand

$\scriptstyle \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\alpha )d\alpha$

ne tend pas vers l’infini ; de sorte que, dans cette hypothèse, on peut poser

$\scriptstyle \varphi (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }dp\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\alpha )\mathrm {cos} p(x-\alpha )d\alpha$.

C’est la formule de Fourier.

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