L’Encyclopédie/1re édition/CYCLOIDAL

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CYCLOIDAL, adj. (Géomet.) L’espace cycloïdal est l’espace renfermé par la cycloïde & par sa base. M. de Roberval a trouvé le premier que cet espace est triple du cercle générateur ; & on peut le prouver aisément par le calcul intégral. En effet soit x l’abscisse du cercle générateur prise au sommet de la cycloïde, y l’ordonnée du demi-cercle, & z celle de la cycloïde, l’arc correspondant du cercle sera , a étant le rayon du cercle ; & on aura par la propriété de la cycloïde  ; cette quantité étant multipliée par dx donnera pour l’élément de l’aire de la cycloïde  ; donc l’intégrale est  ; d’où il est facile de conclure que la moitié de l’espace cycloïdal = 1° le demi-cercle, 2° le diametre multiplié par la demi-circonférence, c’est-à-dire le double du cercle entier, d’où il faut retrancher le produit du rayon par cette demi-circonférence, c’est-à-dire le cercle entire ; ainsi la moitié de l’espace cycloïdal est égale à trois fois le demi-cercle. Donc l’espace cycloïdal total vaut trois fois le cercle générateur.

On peut démontrer encore par une méthode fort simple, que l’espace renfermé entre le demi-cercle & la demi-cycloïde est égal au cercle générateur. Prenez deux ordonnées de la cycloïde terminées au cercle & à égales distances du centre, la somme de ces ordonnées sera égale au demi-cercle ; d’où il sera facile de faire voir, en divisant l’espace cycloïdal en petits trapeses, que l’aire de deux trapeses pris ensemble, est égal au produit de la demi-circonférence par l’élément du rayon. Donc la somme des trapeses est égale au produit de la demi-circonférence par le rayon, c’est-à-dire égale au cercle. (O)