L’Encyclopédie/1re édition/HUIT

Rallier

L’Encyclopédie, 1^re éd.

Briasson, David l’aîné, Le Breton, Durand, 1766 (Tome 8, p. 342).

HUIT, s. m. (Arithm.) est le huitieme terme de la suite des nombres naturels, le quatrieme de celle des pairs, & le second de celle des cubes : on n’en fait un article que pour faire connoître une propriété qui lui est particuliere, & qui semble avoir jusqu’ici échappé aux observateurs : la voici avec sa démonstration.

8 étant multiplié successivement par chacun des nombres triangulaires, le produit augmenté de l’unité donne par ordre tous les quarrés impairs, à commencer à celui dont 3 est la racine.

$\scriptstyle {\overline {8\cdot 1}}+1=9.$

$\scriptstyle {\overline {8\cdot 3}}+1=25.$

$\scriptstyle {\overline {8\cdot 6}}+1=49.$

$\scriptstyle {\overline {8\cdot 10}}+1=81.$ &c.

Il suit que tout quarré impair (le premier excepté) étant diminué de l’unité, le reste se divise exactement par 8.

Soit un quarré impair quelconque représenté par $\scriptstyle {\overline {aa+2a+2}}$ (a étant un nombre pair) ; il faut prouver 1°. que 8 est diviseur exact ou facteur de $\scriptstyle {\overline {aa+2a}}$ ; 2°. que son co-facteur est un nombre triangulaire.

Les valeurs de a sont tous les termes de la suite des pairs 2, 4, 6, 8, &c. laquelle n’est elle-même que 2 multiplié successivement par chacun des nombres naturels 1, 2, 3, &c. La premiere partie de la propriété étant démontrée pour le premier terme 2, le sera donc par le même moyen pour tous les autres qui n’en sont que des multiples. Or

le quarré de 2 est 4 =	$\scriptstyle {\frac {8}{2}}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\end{matrix}}\right\}$	on a donc $\scriptstyle {\overline {aa+2a=2\cdot {\frac {8}{2}}=8\cdot 1}}$.
D’ailleurs 2 pris deux fois ne differe point de son quarré, & est aussi	$\scriptstyle {\frac {8}{2}}$

Quant à la seconde partie de la propriété, la suite des aa relative aux différentes valeurs de a, est le premier aa ou $\scriptstyle {\frac {8}{2}}$ multiplié successivement par les quarrés des nombres naturels,	1. 4. 9. &c.
celle des 2 a n’est pareillement que le premier 2 a (aussi $\scriptstyle {\frac {8}{2}}$) multiplié par les racines de ces mêmes quarrés,	1. 2. 3. &c.

En ajoûtant ensemble terme à terme ces deux suites correspondantes, il résulte que le co-facteur de 8 est toûjours la somme d’un quarré & de sa racine, divisée par le dénominateur 2 (qu’on peut transporter du premier facteur au second). Mais la moitié de la somme d’un quarré & de sa racine, ou si l’on veut $\scriptstyle \left({\frac {nn+n}{2}}\right)$ est l’expression caractéristique d’un nombre triangulaire. Donc, &c. Il suit que si n représente le quantieme d’un terme dans la suite des impairs, le quarré du terme même est $\scriptstyle {\overline {8\cdot {\overline {nn-n}}}}+1$ On emploie ici $\scriptstyle {\frac {nn-n}{2}}$ au lieu de $\scriptstyle {\frac {nn+n}{2}}$ ; parce qu’à cause de l’exclusion du premier quarré impair (1), au quantieme n du terme dans la suite des impairs, répond dans celle des nombres triangulaires le quantieme, non n, mais $\scriptstyle {\overline {n-1}}$ : ce qui n’empêche pas que la formule ne donne l’expression juste du quarré, lors même que la racine est 1. Car alors le quantieme se confondant avec le terme même, $\scriptstyle nn-n$ est $\scriptstyle 1-1=0$ ; ce qui rend nul le premier terme de la formule, ensorte qu’il ne reste que le second (+1).

On pourroit au reste faire entrer 8 dans l’expression de tout quarré pair, comme on vient de le faire dans celle de tout quarré impair. Si n désigne le quantieme de la racine dans la suite des pairs, le quarré pair sera généralement $\scriptstyle {\frac {8\cdot nn}{2}}$ La démonstration en est si aisée à déduire de celle qu’on vient de voir pour les quarrés impairs, qu’il paroît inutile de s’y arrêter.

Comme nn est alternativement un nombre impair & un nombre pair, $\scriptstyle {\frac {nn}{2}}$ est, dans le même ordre alternatif, tantôt une fraction tantôt un entier. Il suit que les quarrés pairs ne sont divisibles par 8 que de deux en deux, mais c’est sans subir aucun changement : au lieu que les impairs le sont tous, mais sous la condition de perdre une unité ; compensation qui partage assez également entre les deux especes la propriété. Article de M. Rallier des Ourmes.