La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/03

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 24-25).

Extension ou compréhension des classes

26. La logique traditionnelle envisage toute classe à deux points de vue différents, qu’on appelle de l’extension et de la compréhension ; c’est-à-dire qu’elle considère une classe comme l’ensemble des individus qui la composent ou bien comme l’ensemble des propriétés qui la caractérisent.

Dans l’usage commun, on peut remarquer que les deux points de vue alternent sans règles bien précises ; et certaines locutions, qu’on dirait équivalentes, peuvent servir à exprimer tantôt l’intention extensive et tantôt l’intention compréhensive.

Il y a seulement cette nuance, par exemple, entre les phrases arithmétiques « multiple de » et « divisible par ». En effet, lorsqu’on dit, par exemple :

$15$ est un multiple de $3$

on affirme que le nombre $15$ se trouve parmi les individus qui sont des multiples de $3$, tandis qu’en disant :

$15$ est divisible par $3$

on énonce que le nombre $15$ a la propriété d’être divisible par $3$.

D’après cet exemple on pourrait dire que, selon qu’on veut se placer à l’un ou l’autre de ces deux points de vue, le langage ordinaire exprime les appartenances par l’une ou l’autre des locutions « est un » et « est ». Cette distinction est bien marquée lorsque la classe est désignée par un seul mot, selon qu’il est un nom commun ou un adjectif ; par exemple :

le narcisse est une fleur

et

le narcisse est blanc

mais, lorsqu’on résume ces deux appartenances en une seule, en disant :

le narcisse est une fleur blanche

c’est la forme extensive qui triomphe de l’intention compréhensive.

27. Leibniz a préféré envisager les classes seulement au point de vue de l’extension ; en effet, il dit qu’une classe est égale à une autre classe pour dire que les mêmes individus appartiennent à l’une et à l’autre.

Ses deux disciples que j’ai déjà nommés, Segner et Lambert, envisagèrent les classes d’un seul point de vue, mais différent, et précisément : Segner de celui de l’extension et Lambert de celui de la compréhension. Par suite, en donnant une signification logique aux signes arithmétiques « $>$ » et « $<$ » ainsi, qu’ils faisaient — tandis que Segner aurait écrit, par ex. :

animal $>$ vertébré

pour dire que la classe des animaux comprend tous les individus de la classe des vertébrés — Lambert aurait écrit :

animal $<$ vertébré

pour dire que toutes les propriétés des animaux sont comprises parmi celles des vertébrés.

M. Peano, lui aussi, reconnut qu’il était suffisant et prudent d’envisager toujours les classes à un seul point de vue ; et, comme l’avaient fait Leibniz et Segner, il choisit celui de l’extension.

Par suite, son symbole « $\mathrm {Cls}$ » ne signifie pas seulement « classes », mais « classe envisagée au point de vue de l’extension » ; mais, puisque cette déclaration peut suffire, une fois pour toutes, on pourra le lire « classe » tout simplement, sans crainte d’équivoques.