La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/3/07

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 80-82).

Relations entre les symboles « $\smallfrown \ \smallsmile \ \lnot$ »

107. Les idées représentées par nos symboles « $\smallfrown \ \smallsmile \ \lnot$ » sont reliées entre elles par quatre relations, qui ont été découvertes par De Morgan (a. 1838) :

103.$\lnot (a\smallsmile b)=(\lnot a)\smallfrown (\lnot b)$105.$a\smallsmile b=\lnot [(\lnot a)\smallfrown (\lnot b)]$
104.$\lnot (a\smallfrown b)=(\lnot a)\smallsmile (\lnot b)$106.$a\smallfrown b=\lnot [(\lnot a)\smallsmile (\lnot b)]$

En supposant d’abord que a et b soient des $\mathrm {Cls}$ quelconques, conjointes ou disjointes [fig. 4 ou 6, p. 38] :

tout individu, qui n’appartient pas à leur réunion, n’appartient ni à l’une ni à l’autre, et par suite il appartient à l’intersection des $\mathrm {Cls}$ contraires, et réciproquement [$\mathrm {P}$ 103] ;
de même [fig. 3] : tout individu qui n’appartient pas à leur intersection, n’appartient pas à une au moins de deux $\mathrm {Cls}$ données, et par suite il appartient à la réunion des $\mathrm {Cls}$ contraires, et réciproquement [$\mathrm {P}$ 104].

En adoptant la terminologie de Leibniz et de ses disciples [39], la lecture de ces deux $\mathrm {P}$ devient très suggestive :
« la négation d’une somme est le produit des négations de ses termes, »
« la négation d’un produit est la somme des négations de ses facteurs ; »
dont la seconde serait, d’une certaine manière, la propriété logarithmique de la négation, étant tout à fait semblable à la $\mathrm {P}$ arithmétique bien connue :
« le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs ».

Maintenant, comme on peut transporter le signe « $\lnot$ » d’un membre à l’autre d’une égalité [$\mathrm {P}$ 96], on passe des $\mathrm {P}$ 103 et 104 aux $\mathrm {P}$ 105 et 106, qu’on peut énoncer ainsi :

« La réunion de deux $\mathrm {Cls}$ est le contraire de l’intersection de leurs contraires » [$\mathrm {P}$ 105] ; « l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ est le contraire de la réunion de leurs contraires » [$\mathrm {P}$ 106]. Ainsi donc la $\mathrm {P}$ 105 nous donne une manière d’exprimer une réunion par une intersection et la $\mathrm {P}$ 106 nous donne une manière d’exprimer une intersection par une réunion. D’où il parait que, le signe « $\lnot$ » étant connu, on pourrait conserver un seul des signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ », celui qu’on voudrait, en se passant de l’autre.

Ce n’est qu’une remarque de possibilité, car les deux signes considérés sont si commodes qu’on ne saurait conseiller de renoncer à aucun d’eux.

108. Comme exemple d’application de nos procédés idéographiques, je vais montrer comment de la vérité des quatre P, dont je viens de parler en supposant que a et b étaient des $\mathrm {Cls}$, découle celle des mêmes P, en supposant qu’a et b soient des conditions par rapport à une même variable.

En effet, si x est cette variable, on pourra déterminer [60] deux $\mathrm {Cls}$ u et v telles que

$x\,\varepsilon \,u=a\qquad \qquad x\,\varepsilon \,v=b$(1)

Comme u et v sont des $\mathrm {Cls}$, elles vérifient la $\mathrm {P}$ 103, c’est-à-dire

$\lnot (u\smallsmile v)=(\lnot u)\smallfrown (\lnot v)$

En opérant sur les deux membres de cette égalité par l’écriture « $x\,\varepsilon$ » [$\mathrm {P}$ 10], on obtient

$x\,\varepsilon \,\lnot (u\smallsmile v)=x\,\varepsilon \,[(\lnot u)\smallfrown (\lnot v)]$

Dans le second membre on peut distribuer l’écriture « $x\,\varepsilon$ » par rapport au signe « $\smallfrown$ » [96] ; on obtient ainsi

$x\,\varepsilon \,\lnot (u\,\smallsmile \,v)\,:\,=\,:\,x\,\varepsilon \,\lnot u\,.\,\smallfrown \,.\,x\,\varepsilon \,\lnot v$

Puisque u et v sont des $\mathrm {Cls}$, « $\lnot (u\smallfrown v)$ », « $\lnot u$ » et « $\lnot v$ » sont aussi des $\mathrm {Cls}$ [$\mathrm {P}$ 14, 24] ; on peut donc transposer partout les deux signes « $\varepsilon$ » et « $\lnot$ » [$\mathrm {P}$ 28], après quoi on peut même transposer partout x et « $\lnot$ » [$\mathrm {P}$ 22] ; on obtient

$\lnot [x\,\varepsilon \,(u\,\smallsmile \,v)]\,:\,=\,:\ \lnot (x\,\varepsilon \,u)\,.\,\smallfrown \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,v)$

Dans le premier membre on peut distribuer l’écriture « $x\,\varepsilon$ » par rapport au signe « $\smallfrown$ » [96] ; donc

$\lnot [x\,\varepsilon \,u\,.\smallsmile \,.\,x\,\varepsilon \,v]\,:\,=\,:\,\lnot (x\,\varepsilon \,u)\,.\,\smallfrown \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,v)$

Maintenant, en remplaçant « $x\,\varepsilon \,u$ » et « $x\,\varepsilon \,v$ » par a et b (1), on retrouve la $\mathrm {P}$ 103 dont nous sommes parti et qui résulte vraie aussi dans le second rôle des signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ ».

Et de même pour les trois autres $\mathrm {P}$ [107].

109. Mais ce qu’il y a de plus remarquable dans les quatre $\mathrm {P}$ dont nous nous occupons, c’est que, pour passer de la $\mathrm {P}$ 103 à la $\mathrm {P}$ 104 (et réciproquement) ou de la $\mathrm {P}$ 105 à la $\mathrm {P}$ 106 (et réciproquement), il suffit d’échanger entre eux les signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ » (et par suite, dans la lecture de ces P, il suffit d’échanger entre eux les mots « réunion » et « intersection », ou les anciens mots « somme » et « produit »).

Cette propriété est tout à fait analogue à celles qu’on rencontre dans la géométrie projective, dont les $\mathrm {P}$ restent vraies en y échangeant entre eux les mots point et droite dans le plan, point et plan dans l’espace, droite et plan dans la gerbe. L’ensemble de ces propriétés est appelé par les géomètres « loi de dualité ».