Séance du 17 mars 1921.
D. Mirimanoff. — La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume.
Dans une série de communications et d’articles, M. Ed.Guillaume a cherché à introduire dans la théorie de la relativité une représentation monoparamétrique du temps. Il a réussi à donner de ce problème une solution intéressante dans le cas où le nombre des systèmes de référence est égal à deux. Cette solution comporte, comme on sait, une interprétation géométrique simple.
Je me propose d’en donner une interprétation nouvelle. Je ferai voir que le paramètre
de M. Guillaume ne diffère que par un facteur constant du temps
d’un système particulier d’Einstein que j’appelle système médian[1]. À chaque couple de systèmes de référence correspond un système médian et un paramètre
de M. Guillaume. On se rend mieux compte alors pourquoi le procédé de M. Guillaume n’aboutit plus lorsque le nombre
des systèmes de référence est supérieur à deux. En effet, pour
le nombre des systèmes médians et par conséquent celui des paramètres
est supérieur à un et ces paramètres sont en général distincts.
1. Système médian. Soient
et
deux systèmes de référence d’Einstein animés l’un par rapport à l’autre d’un mouvement de translation uniforme le long des axes
. Je suppose que la transformation de Lorentz-Einstein soit applicable à ces systèmes et que par conséquent les coordonnées
et les temps
soient liés par les relations

(1)
où
,
,
étant la vitesse de
par rapport à
.
Envisageons maintenant un 3me système S parallèle à
et
et animé également d’un mouvement de translation le long de
. Soit
sa vitesse par rapport à
. La transformation de Lorentz s’applique encore et l’on a

(2)
où
et
sont l’abscisse et le temps correspondants dans
,
, etc.
Supposons que la vitesse de
par rapport à
soit aussi égale à
. Je dirai que le système
est le système médian correspondant. Comment s’expriment
en fonction de
? Pour le trouver il suffit d’exprimer
en fonctions des paramètres
(form. (2)) et ces derniers en fonction de
et identifier les formules finales avec (1), ce qui donne

(3)
2. Contraction. Envisageons deux points
et
. Soient
;
leurs coordonnées dans
,
et
au même moment
(temps d’Einstein du système médian). En vertu de (2)

Donc

(4)
Il n’y a donc pas de contraction, pourvu que
et
soient envisagés au même moment
.
La réciproque est vraie, en d’autres termes : Si la contraction n’a pas lieu en adoptant le temps
d’un système d’Einstein, ce système est le système médian.
3.
Autre relation. Soit

un point d’abscisses

et

dans

et

. On a, en remplaçant dans la
1re formule (1) le paramètre

par son expression en fonction de

et

(5)
en vertu de (3).
4. L’heure universelle de M. Guillaume. Soit
une fonction quelconque de
. Comme
est const.,
est constant. Supposons
et posons
. Si au lieu du temps d’Einstein
, on adopte le temps
, la simultanéité n’est pas troublée. L’égalité (4) reste vraie, donc pas de contraction, l’égalité (5) s’écrit
. Supposons en particulier que
, d’où
. L’équation (5) s’écrit

(6)
Multiplions la 2me équation du second groupe (2) par
, il vient, en vertu de (3),

On tombe, comme on voit, sur l’équation qui définit le temps universel
de M. Guillaume[2]. Par conséquent le temps
défini par
est bien le paramètre de M. Guillaume. Il ne diffère du temps
du système médian que par le facteur constant
.
5. Cas de trois systèmes. Envisageons trois systèmes
parallèles animés d’un mouvement de translation uniforme parallèlement aux axes des
. Soient
les vitesse relatives de
par rapport à
, de
par rapport à
, de
par rapport à
et
les paramètres de M. Guillaume. On aura alors en vertu de (6).

par exemple l’abscisse
de
est donnée par
, celle de
par
. Les paramètres
ne doivent pas être confondus entre eux.