Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 02

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 13-19).

LEÇON DEUXIÈME.

Sur le développement d’une fonction d’une variable, lorsqu’on attribue un accroissement à cette variable. Loi générale de ce développement. Origine des fonctions dérivées. Différents ordres de ces fonctions. leur notation.

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Considérons une fonction $f(x)$ d’une variable quelconque $x.$ Si à la place de $x$ on substitue $x+i,$ $i$ étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra $f(x+i),$ et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une suite de cette forme

$f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+\ldots ,$

dans laquelle les quantités $p,q,r,\ldots ,$ coefficients des puissances de $i,$ seront de nouvelles fonctions de $x,$ dérivées de la fonction primitive $f(x),$ et indépendantes de la quantité $i.$

Il est clair que la forme des fonctions $p,q,r,\ldots$ dépendra uniquement de celle de la fonction donnée $f(x),$ et l’on déterminera aisément ces fonctions, dans les cas particuliers, par les règles de l’Algèbre ordinaire, en développant la fonction dans une série ordonnée suivant les puissances de $i.$

Cette dérivation des fonctions est une opération plus générale que l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, et les principaux problèmes d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique en dépendent, comme on l’a montré dans la Théorie des fonctions analytiques.

Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit résulter du développement de toute fonction $f(x),$ lorsqu’on y substitue $x+i$ au lieu de $x,$ et que nous supposons ne devoir contenir que des puissances entières et positives de $i.$ Cette supposition se vérifie en effet par le développement des différentes fonctions connues ; mais personne, que je sache, n’avait cherché à le démontrer a priori, ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire qu’il y a des cas particuliers où elle peut ne pas avoir lieu.

Je vais d’abord démontrer que, dans la série qui résulte du développement d’une fonction $f(x+i),$ il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de $i,$ à moins qu’on ne donne à $x$ des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de $i$ ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction même $f(x),$ et il est clair, en même temps, que la substitution de $x+i$ au lieu de $x$ ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre des radicaux, ni en changer la nature, tant que $x$ et $i$ seront des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes, ni plus ni moins, qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développement de la fonction $f(x+i)$ pouvait contenir un terme de la forme $ui^{\frac {m}{n}},$ la fonction $f(x)$ serait nécessairement irrationnelle, et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction $f(x+i),$ ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant représenté par la série

$f(x)+pi+qi^{2}+\ldots +ui^{\frac {m}{n}}+\ldots ,$

chaque valeur de $f(x)$ se combinerait avec chacune des valeurs du radical ${\sqrt[{n}]{i^{m}}}\,;$ de sorte que la fonction $f(x+i)$ développée aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée, ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que $x$ et $i$ demeurent indéterminés. Elle cesserait de l’être, si l’on donnait à $x$ des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans $f(x),$ qui pourraient néanmoins subsister dans $f(x+i).$ Nous examinerons à part ces sortes de cas et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction $f(x+i)$ ne saurait contenir en général des puissances fractionnaires de $i\,;$ il est facile de voir aussi qu’il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de $i.$

Car, si parmi les termes de ce développement il y en avait un de la forme ${\frac {r}{i^{m}}},$ $m$ étant un entier positif, en faisant $i=0,$ ce terme deviendrait infini ; donc la fonction $f(x+i)$ devrait devenir infinie lorsque $i=0\,;$ par conséquent, il faudrait que $f(x)$ devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de $x.$

Nous sommes donc assurés que, $f(x)$ exprimant une fonction quelconque de x, la fonction $f(x+i)$ peut, généralement parlant, se développer en une série de cette forme

$f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+i^{4}s+\ldots ,$

dans laquelle $p,q,r,\ldots$ seront de nouvelles fonctions de $x,$ dérivées de la fonction primitive $f(x).$

Quoique la forme de ces fonctions dérivées dépende essentiellement de celle de la fonction primitive, il règne néanmoins entre elles une loi générale que nous allons exposer.

Supposons que l’indéterminée $x$ soit changée en $x+o,$ $o$ étant une quantité quelconque indéterminée, et indépendante de $i,$ il est visible que la fonction $f(x+i)$ deviendra $f(x+i+o)\,;$ et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat, si l’on mettait, dans $f(x+i),$ $i+o$ à la place de $i.$ Donc aussi le résultat sera le même, soit qu’on substitue $i+o$ à la place de $i,$ ou $x+o$ à la place de $x$ dans la série $f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+\ldots ,$ qu’on suppose égale à la fonction $f(x+i).$

La substitution de $i+o$ au lieu de $i,$ dans cette série, donnera

$f(x)+(i+o)p+(i+o)^{2}q+(i+o)^{3}r+\ldots ,$

savoir, en développant les puissances de $i+o,$ et n’écrivant, pour abréger, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffit pour notre objet,

$f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+i^{4}s+\ldots +op+2ioq+3i^{2}or+4i^{3}os+\ldots .$

Pour faire maintenant la substitution de $x+o$ au lieu de $x$ dans la même série, nous observons que, puisque la fonction $f(x)$ devient $f(x)+ip+\ldots ,$ lorsqu’on change $x$ en $x+i,$ elle deviendra $f(x)+op+\ldots ,$ en y changeant $x$ en $x+o.$ De même, si $p+ip'+\ldots$ $q+iq'+\ldots ,\ r+ir'+\ldots ,$ sont ce que deviennent les fonctions $p,q,r,\ldots$ lorsqu’on y substitue $x+i$ au lieu de $x,$ et qu’on les développe suivant les puissances de $i,$ on aura, en changeant $i$ en $o,$

$p+op'+\ldots ,\quad q+oq'+\ldots ,\quad r+or'+\ldots ,\quad \ldots ,$

pour les développements des mêmes fonctions après la substitution de $x+o$ au lieu de $x.$

Donc, par cette substitution, la série $f(x)+ip+i^{2}q+\ldots$ deviendra, en omettant les termes qui contiendraient le carré et les puissances plus hautes de $o,$

$f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+i^{4}s+\ldots +op+iop'+i^{2}0q'+i^{3}or'+\ldots .$

Ce résultat doit être identique avec le précédent, indépendamment des valeurs de $i$ et de $o$ qui peuvent être quelconques ; il faudra donc que les termes affectés des mêmes puissances et produits de $i$ et $o$ soient identiques en particulier. Ainsi on aura les équations identiques

$2q=p',\quad 3r=q',\quad 4s=r',\quad \ldots \,;$

d’où l’on tire

$q={\frac {1}{2}}p',\quad r={\frac {1}{3}}q',\quad s={\frac {1}{4}}r',\quad \ldots .$

Dénotons en général par $f'(x)$ la fonction $p,$ dérivée de la fonction $f(x),$ en mettant un accent à la caractéristique $f,$ pour indiquer la dérivation de la fonction. Dénotons de même par $f''(x)$ la fonction dérivée de la fonction $f'(x),$ en ajoutant un accent à la caractéristique $f'$ de la fonction $f'(x)$ d’où elle est dérivée. Dénotons pareillement par $f'''(x)$ la fonction dérivée de $f''($ x), et ainsi de suite.

Ces fonctions $f'(x),f''(x),f'''(x),\ldots$ ne seront autre chose que les coefficients de $i$ dans les premiers termes des développements des fonctions $f(x+i),f'(x+i),f''(x+i),\ldots .$

On aura ainsi $p=f'(x),$ et comme $p'$ est la fonction dérivée de $p,$ on aura $p'=f''(x),$ et, par conséquent, $q={\frac {1}{2}}f''(x).$ Ensuite, $q'$ étant la fonction dérivée de $q,$ on aura $q'={\frac {1}{2}}f'''(x),$ et, par conséquent, $r={\frac {1}{2.3}}f'''(x),$ et ainsi de suite.

Donc, substituant ces expressions dans la série

$f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+\ldots ,$

qui est le développement de $f(x+i),$ on aura cette formule fondamentale

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+\ldots .$

Cette expression du développement de $f(x+i)$ a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

Nous appellerons la fonction $f(x)$ fonction primitive, par rapport aux fonctions $f'(x),f''(x),\ldots ,$ qui en dérivent ; et nous appellerons celles-ci fonctions dérivées, par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la fonction dérivée $f'(x),$ première fonction dérivée, ou fonction dérivée du premier ordre, ou simplement fonction prime ; la fonction $f''(x),$ dérivée de celle-ci, seconde fonction dérivée, ou fonction dérivée du second ordre, ou simplement fonction seconde ; la fonction $f'''(x),$ dérivée de la précédente, troisième fonction dérivée, ou fonction dérivée du troisième ordre, ou simplement fonction tierce, et ainsi de suite.

Mais nous entendrons toujours par fonction dérivée simplement la première fonction dérivée, et par fonction primitive celle d’où elle est censée dérivée. Nous leur donnerons aussi quelquefois, pour plus de simplicité, le simple nom de dérivées ou de primitives.

Si la fonction primitive n’est pas représentée par la caractéristique $f,$ mais par une autre variable, comme lorsqu’on suppose $y$ fonction de $x,$ donnée par une équation quelconque entre $x$ et $y,$ alors on pourra dénoter de même ses fonctions dérivées par des accents ou traits appliqués $u$ la lettre $y,$ et les appeler simplement $y$ prime, $y$ seconde, $y$ tierce, etc.

Ainsi, $y$ étant regardée comme une fonction quelconque de $x,$ ses fonctions dérivées seront représentées par $y',y'',y''',\ldots \,;$ de sorte que, $y$ étant la fonction primitive, $y'$ sera sa fonction dérivée du premier ordre, ou fonction prime, $y''$ sera la fonction dérivée du second ordre ou fonction seconde, etc., et on les nommera $y$ prime, $y$ seconde, etc.

De cette manière, $x$ devenant $x+i,$ la valeur de $y$ deviendra

$y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+{\frac {i^{3}}{2.3}}y'''+\ldots .$

En général, si l’on a une expression quelconque en $x,y,\ldots ,$ on pourra désigner ses fonctions dérivées par des traits appliqués à la même expression renfermée entre deux parenthèses. Ainsi

$\left({\frac {a+bx+cy}{d+ex+gy}}\right)'$

représentera la première fonction dérivée de l’expression

${\frac {a+bx+cy}{d+ex+gy}},$

et

$\left({\frac {a+bx+cy}{d+ex+gy}}\right)''$

représentera la seconde fonction dérivée de la même expression, et ainsi de suite.

Et, si l’on a une fonction de plusieurs variables, $x,y,\ldots ,$ exprimée en général par $f(x,y,\ldots ),$ on dénotera ses fonctions dérivées relatives à toutes ces variables, en appliquant un, deux, … traits à la caracristique $f\,;$ ainsi $f'(x,y,\ldots )$ dénotera sa fonction prime, $f''(x,y,\ldots )$ sa fonction seconde, etc.

Quoique les fonctions dérivées doivent leur origine au développement de la fonction primitive lorsqu’on augmente la variable d’une quantité quelconque $1,$ on voit qu’elles sont indépendantes de cette même quantité qui ne sert, pour ainsi dire, que comme un outil pour former ces fonctions. Ainsi, dès qu’on aura trouvé, par la considération du premier terme du développement, des règles générales pour passer d’une fonction primitive à la fonction dérivée, on pourra faire abstraction de tout développement, et regarder la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d’Algèbre plus générale et d’une beaucoup plus grande étendue que l’élévation aux puissances.

Ceux qui savent le Calcul différentiel n’auront pas de peine à se convaincre que les fonctions dérivées $f'(x),f''(x),\ldots ,y',y'',\ldots$ reviennent aux quantités qu’on désigne dans ce Calcul par

${\frac {df(x)}{dx}},\ {\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}},\quad \ldots ,\quad \quad {\text{ou}}\quad {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad \ldots ,$

et ainsi des autres expressions semblables.