Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 20

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 322-363).

LEÇON VINGTIÈME.

Équations dérivées à plusieurs variables. Théorie de ces équations. Méthodes générales pour trouver les équations primitives des équations du premier ordre à plusieurs variables.

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Considérons d’abord une équation quelconque entre les trois variables $x,y$ et $z,$ par laquelle $z$ soit une fonction déterminée de $x$ et $y.$

Représentons cette équation par

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

et supposons, pour un moment, que $x$ et $y$ soient des fonctions données d’une même variable $t\,;$ alors $z$ sera aussi une fonction de $t$ dépendante de l’équation proposée, et, par la théorie des équations dérivées exposées dans les Leçons précédentes, non seulement la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)$ sera nulle, mais encore ses dérivées $\operatorname {F} '(x,y,z),\operatorname {F} ''(x,y,z),\ldots ,$ prises relativement à $t,$ seront nulles.

Or, en conservant la notation de la Leçon VI, on a

$\operatorname {F} '(x,y,z)=x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)\,;$

dans cette formule, $x',y',z'$ sont les fonctions dérivées de $x,y,z$ par rapport à $t,$ et $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$ sont les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (x,y,z),$ prises par rapport à chacune des variables $x,y,z$ en particulier.

Ainsi l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

donnera celle-ci

$x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)=0.$

Mais, en considérant $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ on a

$z'=x'z'^{,}+y'{z^{,}}';$

donc, substituant, on aura

$x'\left[\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)\right]+y'\left[\operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)\right]=0.$

Pour que les fonctions $x$ et $y$ de $t$ derneurent indéterminées, il faudra que leurs fonctions dérivées $x'$ et $y'$ disparaissent de l’équation précédente, ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant les deux équations séparées

$\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0.$

Il est visible que ces deux équations ne sont autre chose que les dérivées de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

prises séparément par rapport à $x$ et par rapport à $y.$

En effet, puisque dans cette équation les deux variables $x$ et $y$ sont essentiellement indépendantes entre-elles, ses dérivées par rapport à $x$ et par rapport à $y$ auront lieu chacune en particulier. Or, la variables $z$ étant, par cette équation, une fonction de $x$ et $y,$ dont les fonctions dérivées sont $z'^{,},$ par rapport à $x$ seul, et ${z^{,}}'$ par rapport à $y$ seul, il est clair que la dérivée de $\operatorname {F} (x,y,z)$ sera $\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)$ par rapport à $x,$ et qu’elle sera $\operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)$ par rapport à $y\,;$ de sorte que l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

donnera ces deux dérivées indépendantes

$\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0.$

lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions $z'^{,}$ et ${z^{,}}'$ et l’on aura

$z'^{,}=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {z^{,}}'=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.$

Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de $z,$ on en déduira celles des fonctions secondes $z'^{,},{z'^{,}}',{z^{,}}'',$ en prenant les dérivées de $z'^{,}$ et ${z^{,}}'$ par rapport à $x$ et $y,$ et ainsi de suite. Il suit de là que, l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

ayant lieu, ses deux dérivées

$\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0$

auront lieu aussi en même temps ; par conséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra tenir lieu de l’équation dérivée.

Ainsi une équation entre $x,y,z$ et les deux dérivées $z'^{,},{z^{,}}',$ ou $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ par rapport à $x$ et $y,$ sera une équation du premier ordre à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équation primitive en $x,y,z.$

Soit, par exemple, l’équation

$z'^{,}+\mathrm {M} {z^{,}}'=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des quantités constantes.

Son équation primitive sera

$z-\mathrm {N} x=\varphi (y-\mathrm {M} x),$

la caractéristique $\varphi$ dénotant une fonction quelconque.

En effet, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à $x,$ on a

$z'^{,}-\mathrm {N} =-\mathrm {M} \varphi '(y-\mathrm {M} x)$

et, si l’on prend ces fonctions par rapport à $y,$ on a

${z^{,}}'=\varphi '(y-\mathrm {M} x)\,;$

de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée $\varphi ',$ on a l’équation dérivée proposée

$z'^{,}+\mathrm {M} {z^{,}}'-\mathrm {N} =0.$

Considérons l’équation générale de la même forme, dans laquelle $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ soient des fonctions quelconques données de $x,y,z.$

Supposons que

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

soit son équation primitive ; on aura, par ce qu’on a vu ci-dessus,

$z'^{,}=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {z^{,}}'=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation proposée, et multipliant tous les termes par $\operatorname {F} '(z),$ on aura, en changeant les signes,

$\operatorname {F} '(x)+\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)+\mathrm {N} \operatorname {F} '(z)=0.$

Or on a, en général, comme on l’a vu,

$\operatorname {F} '(x,y,z)=x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z),$

en regardant $x,y,z$ comme des fonctions quelconques d’une autre variable $t\,;$ donc, substituant dans cette formule, à la place de $\operatorname {F} '(x),$ sa valeur tirée de l’équation précédente, savoir, $-\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)-\mathrm {N} \operatorname {F} '(z),$ on aura

$\operatorname {F} '(x,y,z)=(y'-x'\mathrm {M} )\operatorname {F} '(y)+(z'-x'\mathrm {N} )\operatorname {F} '(z).$

On voit, par cette expression de la fonction dérivée $\operatorname {F} '(x,y,z),$ que cette fonction deviendra, nulle si l’on établit entre les trois variables $x,y,z$ des relations telles, que l’on ait ces deux équations particulières

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0.$

Ces équations, étant entre les trois variables $x,y,z,$ serviront à déterminer les valeurs de ces variables en fonctions de la troisième ; de sorte que, par la substitution de ces valeurs, la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)$ deviendra aussi une fonction de cette troisième variable. Donc, puisque sa fonction dérivée doit alors devenir nulle, il s’ensuit que la variable doit disparaître d’elle-même, et que la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)$ ne pourra contenir, après cette substitution, que des constantes.

Or, les deux équations

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0$

étant du premier ordre, leurs équations primitives contiendront deux

constantes arbitraires que nous désignerons par $a$ et $b.$ En effet, si de ces deux équations on veut éliminer, par exemple, la variable $z,$ on tombera dans une équation du second ordre en $x$ et $y,$ dans laquelle on pourra faire

$x'=1\quad {\text{ou}}\quad y'=1,$

suivant qu’on voudra regarder $y$ comme fonction de $x,$ ou $x$ comme fonction de $y,$ et cette équation aura pour équation primitive une équation en $x$ et $y,$ avec deux constantes arbitraires.

Ensuite on aura aussi $z$ en fonction de $x$ et $y$ par l’une des deux équations proposées.

Il suit de là qu’après la substitution des valeurs de $y$ et $z$ en $x,$ tirées des deux équations du premier ordre dont il s’agit, la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)$ ne contiendra plus que les constantes $a$ et $b$ avec celles qui se trouvent dans les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} \,;$ de sorte qu’elle deviendra simplement une fonction de $a$ et $b,$ que nous désignerons par $\Phi (a,b).$

Par conséquent l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

se réduira à

$\Phi (a,b)=0,$

par laquelle on voit que l’une des constantes $a$ et $b$ sera fonction de l’autre.

Mais, à la place des constantes $a$ et $b,$ on peut mettre leurs valeurs en $x,y,z,$ tirées des deux équations primitives, où elles entrent comme arbitraires. Donc, si l’on désigne par $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ ces valeurs de $a$ et $b,$ l’équation primitive de la proposée deviendra

$\Phi (\mathrm {P,Q} )=0,$

la fonction désignée par $\Phi$ étant arbitraire.

Il résulte de là une méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre, à trois variables $x,y,z,$ dans laquelle les deux fonctions dérivées de la variable, qui est censée fonction des deux autres, ne se trouvent qu’à la première dimension, telle que

$z'^{,}+\mathrm {M} z'^{,}+\mathrm {N} ,$

ou, ce qui est la même chose,

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions quelconques de $x,y,z.$ On fera ces deux équations

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0,$

dans lesquelles on peut supposer l’une des trois fonctions dérivées $x',y',z'$ égales à l’unité, suivant la variable qu’on voudra regarder comme principale, et dont les deux autres seront censées des fonctions ; et, ayant trouvé, s’il est possible, les deux équations primitives de ces équations, on en déduira les valeurs $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ des deux constantes arbitraires $a$ et $b$ qu’elles doivent renfermer ; on aura alors

$\Phi (\mathrm {P,Q} )=0$

pour l’équation primitive cherchée, d’où résulte

$\mathrm {Q} =\varphi (\mathrm {P} ),$

la caractéristique $\varphi$ désignant une fonction quelconque de $\mathrm {Q} .$

L’analyse précédente est plus simple et plus directe que celle que j’ai donnée dans la Théorie des fonctions^[1] ; c’est ce qui m’a engagé à la mettre ici, d’autant qu’elle s’applique avec la même facilité aux équations semblables entre un plus grand nombre de variables. Dans les Mémoires de Berlin de 1779^[2], je m’étais contenté de prouver, a posteriori, la légitimité et la généralité de cette méthode.

Considérons de la même manière l’équation à quatre variables $t,x,y,z$ de la forme

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {L,M,N}$ étant des fonctions quelconque de $t,x,y,z.$

Si l’on représente son équation par

$\operatorname {F} (t,x,y,z)=0,$

sa fonction dérivée $\operatorname {F} '(t,x,y,z)$ sera, en général,

$t'\operatorname {F} '(t)+x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z),$

et l’on aura, relativement à chacune des variables $t,x,y$ en particulier, les équations

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(t)+\left({\frac {z'}{t'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0.\end{aligned}}$

Tirant de ces équations les valeurs des fonctions $\left({\frac {z'}{t'}}\right),\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ et les substituant dans l’équation proposée, elle deviendra, après la multiplication par $\operatorname {F} '(z)$ et le changement des signes,

$\operatorname {F} '(t)+\mathrm {L} \operatorname {F} '(x)+\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)+\mathrm {N} \operatorname {F} '(z)=0,$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} '(t)=-\mathrm {L} \operatorname {F} '(x)-\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)-\mathrm {N} \operatorname {F} '(z).$

Cette valeur de $\operatorname {F} '(t)$ étant substituée dans celle de $\operatorname {F} '(t,x,y,z),$ on aura

$\operatorname {F} '(t,x,y,z)=(x'-t'\mathrm {L} )\operatorname {F} '(x)+(y'-t'\mathrm {M} )\operatorname {F} '(y)+(z'-t'\mathrm {N} )\operatorname {F} '(z).$

Si donc on introduit entre les quatre variables $t,x,y,z$ les relations déterminées par les trois équations

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0,$

la fonction dérivée $\operatorname {F} '(t,x,y,z)$ deviendra nulle ; par conséquent la fonction primitive $\operatorname {F} (t,x,y,z)$ ne pourra contenir que des constantes.

Or les trois équations dont il s’agit, étant du premier ordre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires $a,b,c,$ et par lesquelles trois des variables $t,x,y,z$ pourront être déterminées en fonction de la quatrième. Donc, si dans la fonction $\operatorname {F} (t,x,y,z)$ on substitue les valeurs de ces variables, il faudra que la variable restante disparaisse d’elle-même, et la fonction ne pourra plus contenir que les mêmes constantes $a,b,c,$ avec celles qui entreront dans les expressions de $\mathrm {L,M,N} .$ De sorte qu’après cette substitution la fonction $\operatorname {F} (t,x,y,z)$ deviendra nécessairement de la forme $\Phi (a,b,c).$

Or les trois équations primitives dont il s’agit déterminent les valeurs de $a,b,c,$ en fonctions des variables $t,x,y,z\,;$ de sorte qu’en désignant ces fonctions par $\mathrm {P,Q,R} ,$ on peut mettre ces équations sous la forme

$a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,\quad c=\mathrm {R} .$

Donc la fonction $\operatorname {F} (t,x,y,z)$ devra être de la forme $\Phi (\mathrm {P,Q,R} ),$ puisqu’il n’y a que cette forme qui puisse devenir fonction de $a,b,c,$ en vertu des trois équations primitives

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c.$

Donc l’équation primitive

$\operatorname {F} (t,x,y,z)=0$

deviendra

$\Phi (\mathrm {P,Q,R} )=0,$

par laquelle on aura

$\mathrm {R=\varphi (P,Q)} ,$

la caractéristiques $\varphi$ désignant une fonction quelconque de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$

Ainsi :

1^o L’équation du premier ordre à trois variables

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$

dépend des deux équations du premier ordre entre les mêmes variables

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0,$

et, si

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b$

sont les équations primitives de celles-ci, $a$ et $b$ étant les constantes

arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

$\mathrm {Q} =\varphi (\mathrm {P} ),$

$\varphi (\mathrm {P} )$ étant une fonction quelconque de $\mathrm {P} .$

2^o L’équation du premier ordre à quatre variables

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$

dépend de ces trois équations entre les mêmes variables

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0.$

Et, si

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c$

sont les trois équations primitives de celles-ci, $a,b,c$ étant les constantes arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

$\mathrm {R=\varphi (P,Q)} ,$

$\varphi (\mathrm {P,Q} )$ désignant une fonction quelconque de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et ainsi de suite.

De cette manière, la recherche des équations primitives des équations du premier ordre, par lesquelles une variable est fonction de deux ou de plusieurs autres, est réduite à la recherche des équations primitives d’équations du même ordre, dans lesquelles toutes les variables sont fonctions d’une seule et même variable. Or, en Analyse, on regarde la solution d’un problème comme connue, lorsqu’elle est réduite à celle d’un problème d’un genre inférieur, quoique celle-ci puisse être sujette encore à beaucoup de difficultés.

Supposons, pour donner des exemples très simples, que les quantités $\mathrm {L,M,N}$ soient constantes ; les deux équations

$y'-x'\mathrm {M} =0,\quad z'-x'\mathrm {N} =0$

auront ces primitives

$y-\mathrm {M} x=a,\quad z-\mathrm {N} x=b\,;$

donc l’équation

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$

aura cette primitive

$z-\mathrm {N} x=\varphi (y-\mathrm {M} x),$

comme nous l’avons déjà vu plus haut.

Les trois équations

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0$

auront ces primitives

$x-\mathrm {L} t=a,\quad y-\mathrm {M} t=b,\quad z-\mathrm {N} t=c,$

et l’équation

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$

aura cette primitive

$z-\mathrm {N} t=\varphi (x-\mathrm {L} t,y-\mathrm {M} t).$

Il est bon de remarquer que les équations

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c,\quad \ldots ,$

où $a,b,c,\ldots$ sont des constantes arbitraires, donnent chacune une solution particulière de l’équation proposée, ce qui est évident par la forme même de la solution générale

$\Phi (\mathrm {P,Q} )=0\quad {\text{ou}}\quad \Phi (\mathrm {P,Q,R} )=0\,;$

car, puisque la fonction désignée par $\Phi$ est arbitraire, on peut toujours réduire ces équations à

$\mathrm {P} -a=0,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {Q} -b=0,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {R} -c=0,\quad \ldots .$

Ainsi il est facile de voir que l’équation

$z-\mathrm {N} x=b$

satisfait à l’équation dérivée

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

car elle donne

$z=\mathrm {N} x+b\,;$

donc

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=\mathrm {N} ,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=0.$

Mais, si l’on prenait l’autre équation

$y-\mathrm {M} x=a,$

on ne verrait pas d’abord comment elle y peut satisfaire, puisque la variable $z$ n’y entre pas. Comme cette équation ne donne qu’un rapport entre $x$ et $y,$ par lequel $x$ est fonction de $y,$ ou y fonction de $x,$ il faudra changer l’équation dérivée de manière qu’au lieu des fonctions dérivées de $z,$ par rapport à $x$ et $y,$ elles contiennent les fonctions dérivées de $x$ par rapport à $y$ et $z,$ ou de $y$ par rapport à $x$ et $z,$ ce qu’on obtiendra par les substitutions que nous avons indiquées plus haut.

Nous allons donner ici cette transformation pour servir d’exemple dans les cas semblables.

On mettra donc à la place de $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ les quantités

${\frac {1}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}},\quad -{\frac {\left({\dfrac {x'}{y'}}\right)}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}},$

et l’équation dérivée ci-dessus deviendra, en multipliant tous les termes par $\left({\frac {x'}{z'}}\right),$

$1-\mathrm {M} \left({\frac {x'}{y'}}\right)=\mathrm {N} \left({\frac {x'}{z'}}\right),$

dans laquelle $x$ est maintenant censée fonction de $y$ et $z.$

Or l’équation

$y-\mathrm {M} x=a$

donne

$x={\frac {y-a}{\mathrm {M} }},$

d’où l’on tire

$\left({\frac {x'}{y'}}\right)={\frac {1}{\mathrm {M} }},\quad \left({\frac {x'}{z'}}\right)=0,$

valeurs qui satisfont évidemment à l’éduation précédente.

Nous venons de voir, dans les exemples précédents, que l’équation primitive renferme, dans le cas de trois variables, une fonction arbitraire d’une quantité composée de ces variables, et, dans le cas de quatre variables, une fonction arbitraire de deux quantités composées de ces variables.

Nous allons démontrer que cette proposition est générale, quelle que soit la forme de l’équation dérivée du premier ordre.

En appliquant aux équations à trois variables la théorie que nous avons donnée, dans la Leçon XII, sur les équations dérivées à deux variables, il est aisé de voir que, puisqu’une équation à trois variables a deux équations dérivées, on pourra, par le moyen de ces trois équations, qui ont lieu simultanément, éliminer deux constantes à volonté, et parvenir ainsi à une équation du premier ordre, qui contiendra deux constantes de moins que l’équation primitive.

D’où il suit réciproquement que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables doit contenir deux constantes de plus que l’équation du premier ordre, et que ces constantes seront nécessairement arbitraires.

Prenons pour équation primitive l’équation à trois variables

$z=ax+by\,;$

en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ on aura ces deux dérivées, l’une relative à $x$ et l’autre relative à $y,$

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=b.$

Éliminant, par le moyen de ces trois équations, les constantes $a$ et $b,$ on aura l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right),$

à laquelle répondra l’équation primitive

$z=ax+by,$

les constantes $a$ et $b$ demeurant arbitraires.

Mais il n’en est pas ici comme dans les équations à deux variables, où, dès qu’on a trouvé une équation primitive avec une constante arbitraire, on est assuré qu’elle a toute la généralité que l’équation du premier ordre peut comporter ; car on peut trouver une infinité d’équations à trois variables qui, par l’élimination de deux constantes au moyen de leurs dérivées, donnent la même équation du premier ordre.

Par exemple, l’équation

$z=ay+{\frac {bx^{2}}{y}}$

donne ces deux dérivées

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)={\frac {2bx}{y}},\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=a-{\frac {bx^{2}}{y^{2}}},$

d’où l’on tire, par l’élimination de $a$ et $b,$ la même équation

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

On pourra trouver autant d’autres équations primitives qu’on voudra qui redonneront la même équation du premier ordre ; mais, dès qu’on en a une avec deux constantes arbitraires, on peut en déduire la formule générale de toutes les autres par des principes analogues à ceux qui nous ont conduits aux équations primitives singulières, et que nous avons exposés dans la Leçon XV.

En effet, si l’on considère une équation primitive à trois variables, telle que

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

dans laquelle il y a deux constantes $a$ et $b,$ qu’on se propose de faire disparaître au moyen de ses deux dérivées, il est visible que le résultant de l’élimination de ces constantes sera toujours le même, soit que les constantes $a$ et $b$ soient constantes ou non, pourvu que les deux dérivées soient les mêmes, ce qui aura nécessairement lieu lorsqu’en regardant les quantités $a$ et $b$ comme variables, les termes provenant de leur variation, dans les deux équations dérivées, seront nuls.

Or, tant que $a$ et $b$ sont constants, l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0$

donne, comme on l’a vu plus haut, ces deux dérivées, l’une par rapport à $x$ et l’autre par rapport à y,</math>

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0.\end{aligned}}$

Mais, en regardant $a$ et $b$ comme fonctions de $x$ et $y,$ ces dérivées deviendront

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)+\left({\frac {a'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)+\left({\frac {a'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0.\end{aligned}}$

Et il est clair qu’elles se réduiront aux précédentes, en déterminant $a$ et $b$ de manière que l’on ait les deux équations

${\begin{aligned}\left({\frac {a'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0,\\\left({\frac {a'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0.\end{aligned}}$

Il est d’abord visible qu’on peut satisfaire à ces deux conditions, en faisant

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

ce qui donne deux équations par lesquelles on pourra déterminer $a$ et $b$ en fonctions de $x,y,z.$

Cette solution répond évidemment à celle qui donne les équations primitives singulières des équations à deux variables, comme nous l’avons vu dans la Leçon XV.

Ainsi on pourra appeler aussi équation primitive singulière l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

dans laquelle on aura substitué pour $a$ et $b$ les valeurs tirées des deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0.$

Mais il y a une manière plus générale de satisfaire aux mêmes conditions.

Supposons que $b$ soit une fonction quelconque de $a,$ que nous désignerons par $\varphi (a),$ alors $b'$ deviendra $\varphi '(a).a'\,;$ par conséquent $\left({\frac {b'}{x'}}\right)$ deviendra $\varphi '(a).\left({\frac {a'}{x'}}\right),$ et $\left({\frac {b'}{y'}}\right)$ deviendra $\varphi '(a).\left({\frac {a'}{y'}}\right).$ Faisant ces substitutions dans les deux équations de condition, elles deviendront

${\begin{aligned}\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{x'}}\right)=&0,\\\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{y'}}\right)=&0,\end{aligned}}$

et l’on y satisfera par cette équation unique

$\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)=0,$

laquelle servira à déterminer la valeur de $a,$ et la fonction $\varphi (a)$ demeurera arbitraire.

En effet, si dans l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0$

on fait

$b=\varphi (a),$

elle deviendra

$\operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0,$

et, si l’on désigne par $\operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]$ la fonction dérivée de $\operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right],$ prise relativement à $a$ seul, il est facile de voir qu’en faisant

$\operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0,$

les équations dérivées de la proposée, prises relativement à $x$ et à $y,$ seront les mêmes, $a$ étant variable, que si elle ne variait pas ; que, par conséquent, l’équation du premier ordre, déduite de celle-ci par l’élimination de $a$ et $\varphi (a),$ sera encore la même.

Il est visible que l’équation

$\operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0$

n’est autre chose que l’équation ci-dessus

$\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)=0,$

en faisant

$b=\varphi (a).$

De cette manière, on aura donc aussi une espèce d’équations primitives singulières, mais plus générales que l’équation primitive proposée, à raison de la fonction arbitraire qu’elles contiendront.

Si donc on a une équation du premier ordre à trois variables, telle que

$f\left(x,y,z,\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right)=0,$

on peut supposer qu’elle ait pour équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

où $a$ et $b$ soient deux constantes arbitraires.

Nous appellerons celle-ci équation primitive complète, à raison des deux constantes arbitraires qu’elle contient, et qui ne peuvent disparaître que par le moyen de ses deux dérivées. S’il arrivait que les deux constantes s’en allassent à la fois au moyen d’une seule de ces dérivées, elles ne pourraient alors tenir lieu que d’une seule constante, et l’équation primitive ne serait pas complète.

Dès qu’on aura trouvé une équation primitive complète, on en pourra déduire une autre plus générale, et qui contiendra une fonction arbitraire.

Car il n’y aura qu’à faire

$b=\varphi (a)$

et à déterminer ensuite $a$ par la condition

$\operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0.$

Nous nommerons celle-ci équation primitive générale, pour la distinguer de la précédente.

Enfin, la même équation primitive complète donnera encore l’équation primitive singulière, en déterminant $a$ et $b$ en fonction de $x,y,z$ par les deux conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0.$

Par exemple, nous avons vu plus haut que l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)$

a pour équation primitive complète

$z=ax+by.$

Pour en déduire l’équation primitive générale, on fera

$b=\varphi (a),$

et l’on prendra les fonctions dérivées par rapport à $a$ seul ; on aura les deux équations

$z=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0,$

d’où il faudra éliminer $a\,;$ comme la fonction $\varphi (a)$ est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d’équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires.

Soit, par exemple,

$\varphi (a)=\mathrm {A} -{\frac {a^{2}}{4\mathrm {B} }},$

les deux équations deviendront

$z=ax+y\left(\mathrm {A} -{\frac {a^{2}}{4\mathrm {B} }}\right),\quad x-{\frac {ya}{2\mathrm {B} }}=0\,;$

la seconde donne

$a={\frac {2\mathrm {B} x}{y}},$

et cette valeur, substituée dans la première, la réduit à

$z=\mathrm {A} y+{\frac {\mathrm {B} x^{2}}{y}},$

qui est l’autre forme d’équation primitive que nous avions trouvée.

On pourra, de la même manière, en trouver tant d’autres qu’on voudra ; mais il est remarquable que la première équation primitive complète, d’ôù l’équation primitive générale a été déduite, n’y est jamais comprise.

Ainsi, il est impossible de déterminer la fonction $\varphi (a)$ de manière que les deux équations

$z=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0$

donnent celle-ci

$z=\mathrm {A} x+\mathrm {B} y,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes arbitraires.

Car supposons la chose possible ; en substituant dans la première la valeur de $z,$ on aura à satisfaire à ces deux équations

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} y=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0.$

La seconde donne

$x=-y\varphi '(a)\,;$

cette valeur, substituée dans la première, la rend divisible par $y,$ et il en résulte

$\mathrm {B-A} \varphi '(a)=\varphi (a)-a\varphi '(a),$

d’où l’on tire

$\varphi '(a)={\frac {\varphi (a)-\mathrm {B} }{a-\mathrm {A} }}\,;$

divisant par $\varphi (a)-\mathrm {B} ,$ on a l’équation

${\frac {\varphi '(a)}{\varphi (a)-\mathrm {B} }}={\frac {1}{a-\mathrm {A} }},$

dont chaque membre est une fonction dérivée exacte.

La fonction primitive du premier membre est $l\left[\varphi (a)-\mathrm {B} \right],$ et celle du second membre est $l(a-\mathrm {A} ),$ la caractéristique $l$ dénotant le logarithme hyperbolique (Leçon IV) ; donc, prenant les fonctions primitives et ajoutant la constante arbitraire $lk,$ on aura

$l[\varphi (a)-\mathrm {B} ]=l(a-\mathrm {A} )+lk,$

d’où l’on tire

$\varphi (a)-\mathrm {B} =k(a-\mathrm {A} )$

et, par conséquent,

$\varphi (a)=\mathrm {B} +k(a-\mathrm {A} ).$

Telle devrait donc être la forme de la fonction $\varphi (a)\,;$ d’où l’on déduit

$\varphi '(a)=k.$

Ces valeurs étant maintenant substituées dans les deux équations ci-dessus, elles deviendront

$(a-\mathrm {A} )(x+ky)=0,\quad x+ky=0,$

auxquelles on ne peut satisfaire qu’en faisant

$x+ky=0,$

ce qui ne donne rien.

Jusqu’à présent on avait cru que toute équation primitive qui satisfait à une équation du premier ordre à trois variables, avec une fonction arbitraire, est aussi générale que celle-ci peut le comporter. L’exemple précédent met cette proposition en défaut, et nous prouverons plus bas la même chose d’une manière générale et directe.

Il est vrai que, dans le cas que nous venons d’examiner, on peut donner à l’équation primitive une forme plus simple et plus générale.

Car, en considérant les deux équations

$z=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0,$

on voit que la seconde donne

$\varphi '(a)=-{\frac {x}{y}}\,;$

d’où il résulte que $a$ est une fonction de ${\frac {x}{y}}$

Faisons donc

$a=\psi \left({\frac {x}{y}}\right),$

nous aurons

$\varphi (a)=\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\,;$

mais il faudra qu’il y ait entre les fonctions $\psi \left({\frac {x}{y}}\right)$ et $\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)$ une relation dépendante de l’équation

$\varphi '(a)=-{\frac {x}{y}}.$

En effet, si, en regardant a comme une variable, on prend les fonctions dérivées relativement à la quantité ${\frac {x}{y}},$ les équations

$a=\psi \left({\frac {x}{y}}\right),\quad \varphi (a)=\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)$

donneront

$a'=\psi '\left({\frac {x}{y}}\right),\quad a'\varphi '(a)=\Phi '\left({\frac {x}{y}}\right)\,;$

donc, substituant dans la seconde, pour $a'$ et pour $\varphi '(a),$ leurs valeurs, on aura l’équation de condition

${\frac {x}{y}}\psi '\left({\frac {x}{y}}\right)+\Phi '\left({\frac {x}{y}}\right)=0.$

Maintenant la première équation devient, par la substitution des valeurs de $a$ et de $\varphi (a),$

$z=x\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+y\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\,;$

et, si l’on met cette équation sous la forme

$z=x\left[\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+{\frac {y}{x}}\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\right],$

il est visible qu’elle se réduit à celle-ci

$z=x\Psi \left({\frac {y}{x}}\right).$

La fonction $\Psi \left({\frac {y}{x}}\right)$ demeure absolument arbitraire, puisque les deux fonctions $\psi \left({\frac {x}{y}}\right)$ et ${\frac {y}{x}}\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)$ ne forment qu’une fonction de ${\frac {y}{x}}\,;$ en sorte que la relation trouvée entre ces fonctions devient ici inutile.

Et il est bon de remarquer que cette dernière solution est précisément celle que l’on trouve directement par la méthode générale exposée plus haut pour les équations du premier ordre de la forme

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} .$

Car l’équation proposée

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right),$

étant divisée par $x$ et comparée à la formule précédente, donne

$\mathrm {M} ={\frac {y}{x}},\quad \mathrm {N} ={\frac {z}{x}},$

de sorte que les deux-équations particulières

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0$

deviennent

$y'-{\frac {yx'}{x}}=0,\quad z'-{\frac {zx'}{x}}=0.$

Chacune de ces deux équations, étant divisée par $x,$ devient une dérivée exacte, et l’on a les deux primitives

${\frac {y}{x}}=a,\quad {\frac {z}{x}}=b.$

On a ainsi

$\mathrm {P} ={\frac {y}{x}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {z}{x}}\,;$

d’où résulte l’équation primitive

${\frac {z}{x}}=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right),$

qui s’accorde avec celle que nous venons de trouver.

On voit aussi que cette forme renferme l’équation complète

$z=ax+by\,;$

car il n’y a qu’à supposer

$\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)=a+b{\frac {y}{x}}.$

Si l’on avait l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right],$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque donnée des deux fonctions dérivées $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ on trouverait aisément pour son équation primitive complète l’équation

$z=ax+by+f(a,b),$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires.

En effet, en prenant les deux dérivées de cette équation par rapport à $x$ et à $y,$ on a

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=b,$

et, substituant ces valeurs de $a$ et $b,$ il vient l’équation proposée.

Maintenant, pour trouver l’équation primitive générale, il n’y aura qu’à faire

$b=\varphi (a),$

et déterminer ensuite $a$ par la dérivée, prise relativement à $a$ seul.

Ainsi on aura le système des deux équations

$z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],\quad x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0.$

Enfin, pour avoir l’équation primitive singulière, on éliminera $a$ et $b$ au moyen des deux dérivées, l’une par rapport à $a,$ et l’autre par rapport à $b.$ Ces dérivées sont

$x+f'(a)=0,\quad y+f'(b)=0.$

Comme l’élimination de $a$ et $b$ est impossible tant qu’on ne particularise pas la fonction $f(a,b),$ si à la place des variables $x$ et $y$ on introduit les deux variables $a$ et $b,$ on aura

$x=-f'(a),\quad y=-f'(b),$

et de là

$z=f(a,b)-af'(a)-bf'(b)$

pour l’équation primitive singulière.

Si l’on considère ces trois espèces d’équations primitives, il est facile de voir qu’elles sont essentiellement distinctes l’une de l’autre, et que chacune d’elles ne peut être renfermée dans aucune des deux autres, ni les renfermer ; car, dans la première, les quantités $a$ et $b$ sont constantes, au lieu qu’elles deviennent, dans la seconde et dans la troisième, des fonctions différentes des variables $x,y,z.$

Mais on peut s’en convaincre d’une manière plus sensible, par la considération des surfaces représentées par ces différentes équations primitives. Pour cela, je considère d’abord l’équation générale du plan

$z=ax+by+c,$

dont la position par rapport aux trois plans rectangulaires des $x,y,$ des $x,z$ et des $y,z$ est déterminée par les constantes $a,b,c.$

Car il est facile de prouver que $a$ est la tangente de l’angle que l’intersection de ce plan avec le plan des $x$ et $z$ fait avec l’axe des $x\,;$ que $b$ est la tangente de l’angle que l’intersection du même plan avec l’autre plan des $y$ et $z$ fait avec l’axe de $y\,;$ enfin que ce plan passe par le point de l’axe des $z,$ qui est éloigné de l’origine commune des trois axes de la quantité $c.$ Ainsi on peut regarder $a,b,c$ comme les éléments du plan, puisque sa position par rapport aux axes des $x,y,z$ en dépend entièrement.

Si l’on combine l’équation du plan avec ses deux dérivées, prises séparément par rapport à $x$ et $y,$ on peut déterminer les valeurs des trois éléments $a,b,c$ en fonctions de $x,y,z,$ et l’on trouve

$a=\left({\frac {z'}{x'}}\right),\quad b=\left({\frac {z'}{y'}}\right),\quad c=z-x\left({\frac {z'}{x'}}\right)-y\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

Or nous avons démontré rigoureusement, dans la Théorie des fonc- tians analytiques^[3], que, par rapport à une surface quelconque dont on a l’équation en $x,y,z$ les expressions précédentes des quantités $a,b,c$ donnent également les éléments du plan tangent de la surface au point qui répond aux coordonnées $x,y,z\,;$ d’où il suit que deux surfaces qui, pour les mêmes coordonnées, auront aussi les mêmes valeurs des fonctions dérivées $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ se toucheront nécessairement au point qui répond à ces coordonnées, puisqu’elles auront l’une et l’autre le même plan tangent.

Cela posé, l’équation primitive complète

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

dans laquelle $a$ et $b$ sont des constantes arbitraires, représente une surface dont la nature et la position dépendent de ces constantes ; en sorte qu’en faisant varier ces constantes la surface variera aussi successivement.

Or, si l’on fait

$b=\varphi (a)$

et qu’on détermine $a$ en fonction de $x,y,z,$ de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si $a$ ne variait pas, ce qui donne l’équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité $a$ demeurait constante, puisque les expressions des quantités $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ restent les mêmes. Donc cette surface sera touchée en chaque point par la surface de l’équation primitive complète qui répond à

$b=\varphi (a),$

et où $a$ aura une valeur constante déterminée par l’équation

$\operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]=0,$

qui est la condition de l’équation primitive générale, les valeurs de $x,$

$y,z,$ dont $a$ devient fonction, répondant au point de contact des deux surfaces, et étant censées constantes par rapport aux surfaces touchantes.

Mais, en regardant $a$ comme constante, l’équation

$\operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]=0$

représente aussi une surface ; et son intersection avec la surface représentée par

$\operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0$

sera une ligne tracée sur cette même surface, dont chaque point sera, par conséquent, un point de contact des deux surfaces dont il s’agit.

D’où l’on peut conclure que la surface représentée par l’équation primitive générale sera touchée, dans toute l’étendue d’une ligne, par une des surfaces représentées par l’équation primitive complète, dans laquelle on supposera l’une des constantes.

$b=\varphi (a)\,;$

de manière que l’équation primitive complète

$\operatorname {F} [x,y,z,a,\varphi (a)]=0,$

où $a$ est constante, donnera, en faisant varier successivement la valeur de $a,$ une infinité de surfaces successives dont chacune aura une ligne d’attouchement avec la surface représentée par l’équation primitive générale, et il est aisé de concevoir que ces lignes ne pourront être que les intersections mutuelles des mêmes surfaces ; que, par conséquent, la surface représentée par l’équation primitive générale ne sera formée elle-même que par toutes ses intersections successives.

Maintenant il est évident que la nature de cette surface est subordonnée à la fonction $\varphi (a),$ et qu’elle n’a de contact qu’avec celles des surfaces de l’équation primitive complète

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0$

pour lesquelles

$b=\varphi (a).$

Mais, si, en regardant $a$ et $b$ comme variables, on les détermine par les

deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

ce qui donne alors l’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera aussi touchée par la surface de l’équation primitive complète, dans laquelle $a$ et $b$ auront des valeurs constantes, puisque les valeurs des expressions $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ sont encore les mêmes, soit que $a$ et $b$ soient constantes ou variables, et les points d’attouchement pour des valeurs données de $a$ et $b$ seront déterminés par les deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

combinées avec l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0\,;$

de sorte que, pour chaque valeur de $a$ et $b,$ il n’y aura qu’un point de contact déterminé ; d’où il est aisé de conclure que la surface représentée par l’équation primitive singulière ne sera touchée en chacun de ses points que par une des surfaces de l’équation primitive complète

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

mais qu’elle sera touchée par toutes celles qui peuvent être représentées par cette équation, en donnant à $a$ et $b$ des valeurs constantes quelconques ; de sorte qu’on pourra regarder cette même surface comme formée par l’intersection mutuelle et continuelle de toutes les surfaces dont nous parlons, en faisant varier successivement les valeurs des constantes $a$ et $b.$

Cette théorie n’est, comme l’on voit, qu’une généralisation de celle que nous avons donnée dans la Leçon XVIII, sur les courbes représentées par les équations primitives ordinaires ou singulièresdes équations du premier ordre à deux variables.

L’équation primitive complète

$z=ax+by+f(a,b),$

que nous avons traitée plus haut, représente, comme l’on voit, un plan dont la position dépend des deux constantes $a$ et $b.$

Si l’on fait

$b=\varphi (a)$

et qu’on détermine $a$ par l’équation

$x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0$

pour avoir l’équation primitive générale, la surface représentée par cette équation sera touchée et formée par l’intersection mutuelle et successive de tous les plans représentés par l’équation

$z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],$

en donnant successivement à $a$ toutes les valeurs possibles, et cette surface sera développable dans le sens le plus étendu.

Mais, si l’on détermine $a$ et $b$ par les deux équations

$x+f'(a)=0,\quad y+f'(b)=0,$

ce qui donne l’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera formée et touchée par tous les plans qui peuvent être représentés par l’équation

$z=ax+by+f(a,b),$

en donnant successivement à $a$ et $b$ toutes les valeurs successives possibles.

Et toutes ces différentes surfaces seront représentées à la fois par l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right].$

On peut voir, dans les écrits de Monge, la théorie de la génération des surfaces et des équations qui peuvent les représenter, développée dans toute son étendue, et avec des considérations particulières et ingénieuses qui lui appartiennent.

Lorsque l’équation du premier ordre renfermera plus de trois variables, on pourra aussi la supposer déduite d’une équation entre ces mêmes variables, et autant de constantes arbitraires qu’il y aura de variables moins une ; car alors cette équation fournira autant d’équations dérivées qu’il y aura de constantes, par lesquelles on pourra, en éliminant ces constantes, parvenir à l’équation du premier ordre.

L’équation avec les constantes arbitraires sera donc l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre ; et l’on en pourra déduire des équations primitives plus ou moins générales par la variation de ces constantes, en supposant l’une, ou quelques-unes d’entre elles, fonctions de toutes les autres, et les déterminant par les équations dérivées prises par rapport à chacune de celles-ci.

Enfin si, sans établir aucun rapport entre ces constantes, on les détermine toutes par les équations dérivées prises par rapport à chacune d’elles en particulier, on aura l’équation primitive singulière ; car, par ces déterminations, les équations dérivées resteront les mêmes, et le résultat de l’élimination sera, par conséquent, le même que si les variables étaient demeurées constantes.

Ainsi l’équation entre quatre variables $t,x,y,z$ et trois constantes $a,b,c,$

$\operatorname {F} (t,x,y,z,a,b,c)=0,$

sera la primitive complète de l’équation du premier ordre entre $t,x,y,z$ et les trois fonctions dérivées $\left({\frac {z'}{t'}}\right),\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ déduites des trois dérivées prises par rapport à $t,x,y,$

$\operatorname {F} '(t)+\left({\frac {z'}{t'}}\right)\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)=0,$

en éliminant, par leur moyen, les trois constantes $a,b,c.$

De là, en regardant $a,b,c$ comme variables, et faisant

$c=\varphi (a,b),$

on aura l’équation primitive générale par les deux équations dérivées

relatives à $a$ et $b,$

$\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)\operatorname {F} '(c)=0,\quad \operatorname {F} '(b)+\varphi '(b)\operatorname {F} '(c)=0,$

et, si l’on fait à la fois

$c=\varphi (a),\quad b=\psi (a),$

on aura une autre équation primitive moins générale, en déterminant $a$ par l’équation relative à $a$

$\operatorname {F} '(a)+\psi '(a)\operatorname {F} '(b)+\varphi '(a)\operatorname {F} '(c)=0.$

Enfin on aura l’équation primitive singulière par les trois équations dérivées relatives à $a,b,c,$,

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,\quad \operatorname {F} '(c)=0.$

On voit par là qu’en général toute équation du premier ordre entre trois variables, dont une est censée fonction des deux autres, peut avoir pour équation primitive une équation entre ces mêmes variables, contenant une fonction arbitraire ; que toute équation du premier ordre entre quatre variables, dont une sera censée fonction des trois autres, pourra avoir pour équation primitive une équation entre ces quatre variables, contenant une fonction arbitraire de deux quantités formées de ces variables, et ainsi de suite l’introduction de ces fonctions arbitraires dans les équations primitives et leur évanouissement dans les équations dérivées sont le vrai caractère qui distingue les équations dérivées à plusieurs variables de celles qui n’ont que deux variables, et où l’équation primitive n’admet que des constantes arbitraires.

Nous avons donné plus haut une méthode directe pour trouver l’équation primitive de toute équation du premier ordre à un nombre quelconque de variables, lorsque les fonctions dérivées n’y passent pas le premier degré. On peut, par une considération fort simple, que j’ai proposée il y a longtemps [Mémoires de Berlin de 1772^[4]], rendre toute équation du premier ordre à trois variables susceptible de cette méthode. Mais il se présente alors, dans l’application de la même méthode, des difficultés qui ont échappé à ceux qui ont déjà fait cette application, et que je n’ai pas cherché à résoudre dans la Théorie des fonctions^[5], en traitant le même sujet, parce que je n’avais encore rien trouvé de satisfaisant. C’est ce qui m’engage à revenir sur cet objet pour n’y plus rien laisser à désirer.

Faisons, pour plus de simplicité,

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=p,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=q\,;$

toute équation du premier ordre à trois variables sera représentée par

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0,$

et l’on aura la formule

$z'=px'+qy',$

à laquelle il faudra satisfaire par le moyen de l’une des indéterminées $p$ et $q,$ l’autre étant donnée par l’équation du premier ordre.

Comme les quantités $p$ et $q$ ne peuvent être que des fonctions de $x,y,z,$ si l’on suppose

$p=\psi (x,y,z),\quad q=\varphi (x,y,z),$

on aura l’équation

$z'=x'\psi (x,y,z)+y'\varphi (x,y,z),$

qui ne peut avoir une équation primitive qu’autant que les fonctions désignées par $\psi$ et $\varphi$ satisferont à la condition

$\psi '(y)+\psi '(z)\varphi (x,y,z)=\varphi '(x)+\varphi '(z)\psi (x,y,z),$

comme nous l’avons vu dans la Leçon précédente.

Or, puisque

$\psi (x,y,z)=p\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y,z)=q,$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\psi '(y)=&\left({\frac {p'}{y'}}\right),\qquad &\psi '(z)=&\left({\frac {p'}{z'}}\right),\\\varphi '(x)=&\left({\frac {q'}{x'}}\right),&\varphi '(z)=&\left({\frac {q'}{z'}}\right)\,;\end{alignedat}}$

donc, faisant ces substitutions, on aura, pour l’équation de condition, celle-ci du premier ordre

$\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left({\frac {p'}{z'}}\right)q=\left({\frac {q'}{x'}}\right)+\left({\frac {q'}{z'}}\right)p$

ou bien

$\left({\frac {q'}{x'}}\right)-\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left({\frac {q'}{z'}}\right)p-\left({\frac {p'}{z'}}\right)q=0.$

L’équation donnée

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0$

fournit ces trois dérivées, relatives à $x,y,z,$

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{x'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {q'}{x'}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {q'}{y'}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '(z)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{z'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {q'}{z'}}\right)=&0,\end{aligned}}$

par le moyen desquelles on pourra éliminer les fonctions dérivées de $p$ ou de $q.$

Éliminons celles de $q\,;$ on aura, par la première et la troisième,

${\begin{aligned}\left({\frac {q'}{x'}}\right)=&-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(q)}}-{\frac {\operatorname {F} '(p)}{\operatorname {F} '(q)}}\left({\frac {p'}{x'}}\right),\\\left({\frac {q'}{z'}}\right)=&-{\frac {\operatorname {F} '(z)}{\operatorname {F} '(q)}}-{\frac {\operatorname {F} '(p)}{\operatorname {F} '(q)}}\left({\frac {p'}{z'}}\right),\end{aligned}}$

et, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus du premier ordre, elle deviendra

$\operatorname {F} '(x)+p\operatorname {F} '(z)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{x'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]\left({\frac {p'}{z'}}\right)=0,$

où l’on voit que les fonctions dérivées de l’inconnue $p$ ne sont qu’à la première dimension, la quantité $q$ étant d’ailleurs une fonction de $p,x,y,z,$ donnée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0.$

Lorsqu’on aura déterminé, par ces équations, les fonctions $p$ et $q,$ l’équation

$z'=px'+qy'$

aura nécessairement une équation primitive, qui sera en même temps l’équation primitive de la proposée du premier ordre

$\operatorname {F} \left[x,y,z,\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right]=0.$

Comparons maintenant l’équation ci-dessus, qui contient les fonctions dérivées de $p$ relativement aux trois variables $x,y,z,$ avec la formule

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

que nous avons déjà traitée dans cette Leçon, et dont nous avons vu que l’équation primitive dépend des trois équations particulières

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0\,;$

nous aurons, en prenant respectivement les variables $x,y,z,p$ à la place des variables $t,x,y,z,$ les valeurs

$\mathrm {L} ={\frac {\operatorname {F} '(q)}{\operatorname {F} '(p)}},\quad \mathrm {M} ={\frac {p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)}{\operatorname {F} '(p)}},\quad \mathrm {N} =-{\frac {\operatorname {F} '(x)+p\operatorname {F} '(z)}{\operatorname {F} '(p)}},$

de sorte que les trois équations particulières deviendront

${\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(p)-x'\operatorname {F} '(q)=&0,\\z'\operatorname {F} '(p)-x'\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]=&0,\\p'\operatorname {F} '(p)+x'\left[\operatorname {F} '(x)\ \ +p\operatorname {F} '(z)\right]=&0.\end{aligned}}$

Comme ces trois équations ne renferment que quatre variables $x,y,z,p,$ on pourra les réduire à une seule entre deux variables ; ainsi la difficulté est rabaissée aux équations de ce genre.

Supposons donc qu’on ait trouvé leurs équations primitives qui renfermeront nécessairement trois constantes arbitraires $a,b,c\,;$ on pourra en tirer les valeurs de ces trois constantes en $x,y,z$ et $p\,;$ et, si l’on dénote ces valeurs par $\mathrm {P,Q,R} ,$ on aura sur-le-champ, comme nous l’avons démontré, l’équation

$\mathrm {R=\varphi (P,Q)}$

pour l’équation primitive de l’équation du premier ordre en $x,y,z$ et $p,$ la fonction $\varphi (\mathrm {P,Q} )$ étant une fonction arbitraire quelconque de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q} .$

Cette équation, combinée avec l’équation donnée

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0,$

donnera les valeurs de $p$ et $q$ en $x,y,z,$ qui, étant substituées dans l’équation

$z'=px'+qy',$

la rendront susceptible d’une équation en $x,y,z,$ qui sera l’équation cherchée.

Comme jusqu’ici rien ne limite la fonction $\varphi (\mathrm {P,Q} ),$ il s’ensuivrait que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux quantités, tandis que, dans les cas que nous avons examinés, nous n’avons jamais trouvé que des fonctions arbitraires d’une seule quantité ; il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’il est impossible de faire disparaître d’une équation à trois variables une fonction arbitraire de deux quantités, par le moyen de ses deux équations dérivées.

Cette difficulté, je l’avoue, m’a longtemps tourmenté ; enfin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes.

Je remarque d’abord que, comme les trois équations

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c$

satisfont, par l’hypothèse, aux trois équations du premier ordre

${\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(p)-x'\operatorname {F} '(q)=&0,\\z'\operatorname {F} '(p)-x'\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]=&0,\\p'\operatorname {F} '(p)+x'\left[\operatorname {F} '(x)\ \ +p\operatorname {F} '(z)\right]=&0.\end{aligned}}$

avec les constantes arbitraires $a,b,c$, si l’on tire de ces mêmes équations

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c$

les valeurs de $x,y,z$ en fonction de $p,$ et qu’on les substitue dans les équations précédentes, elles deviendront nécessairement identiques ; de sorte que, par ces substitutions, les premiers membres des équations dont il s’agit deviendront identiquement nuls, quelles que soient les valeurs de $p,a,b,c.$ En général, comme les variables $x,y,z,p$ sont regardées comme indépendantes, il sera indifférent de substituer les valeurs de trois de ces variables exprimées en fonctions de $a,b,c$ et de la quatrième variable.

Or le premier membre de la première, étant multiplié par $q$ et retranché du premier membre de la seconde des mêmes équations, donne

$\operatorname {F} (p).(z'-px'-qy').$

Donc, si dans la formule $z'-px'-qy'$ on fait les mêmes substitutions des valeurs de $x,y,z$ en $p,$ le résultat sera encore identiquement nul.

À la place des variables $x,y,z$ on peut, sans nuire à la généralité, introduire les quantités $a,b,c,$ regardées comme variables, en conservant les mêmes expressions de $x,y,z$ en $a,b,c.$ Alors, dans la formule $z'-px'-qy',$ les termes provenant de la variabilité de $p$ se détruiront mutuellement, puisque ces mêmes expressions rendent cette formule nulle dans le cas où $a,b,c$ sont constantes ; elle deviendra donc de la forme $\mathrm {A} a'+\mathrm {B} b'+\mathrm {C} c',$ dans laquelle $\mathrm {A,B,C}$ seront des fonctions de $p,a,b,c.$

Donc l’équation

$z'-px'-qy'=0$

deviendra

$\mathrm {A} a'+\mathrm {B} b'+\mathrm {C} c'=0\,;$

et la condition qui doit la rendre susceptible d’une équation primitive sera, par ce que nous avons trouvé,

$c=\varphi (a,b),$

puisque la substitution des valeurs de $x,y,z$ en $p,a,b,c$ donne

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c,$

d’où ces valeurs sont supposées tirées.

Or, en prenant les fonctions dérivées, on a

$c'=a'\varphi '(a)+b'\varphi '(b).$

Donc, faisant ces substitutions, l’équation

$\left[\mathrm {A+C} \varphi '(a)\right]a'+\left[\mathrm {B+C} \varphi '(b)\right]b'=0$

aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la variable $p$ disparaîtra d’elle-même de l’équation, puisque sa fonction dérivée $p'$ a déjà disparu.

Alors l’équation sera entre les deux seules variables $a$ et $b,$ et amura toujours une équation primitive, par laquelle $b$ deviendra fonction de $a$ seul ; et cette fonction sera arbitraire, à cause de la fonction arbitraire $\varphi (a,b).$

Ainsi les deux quantités $b$ et $c$ seront nécessairement, l’une et l’autre, fonctions de $a$ seul ; mais il faudra qu’elles satisfassent à l’équation

$\mathrm {A} a'+\mathrm {B} b'+\mathrm {C} c'=0.$

Soient donc

$b=\psi (a),\quad c=\varphi (a)\,;$

en les substituant dans cette équation, on aura

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \psi '(a)+\mathrm {C} \varphi '(a)=0\,;$

ce qui donne une relation entre les deux fonctions $\varphi (a)$ et $\psi (a),$ et il en restera une d’arbitraire.

Maintenant, si l’on remet pour $a,b,c,$ leurs valeurs $\mathrm {P,Q,R} ,$ on aura, pour l’équation primitive cherchée, le système des deux équations

$\mathrm {Q=\psi (P),\quad R=\varphi (P)} \,;$

d’où, en éliminant $p,$ on aura une équation en $x,y,z,$ avec une fonction arbitraire.

Telle est la solution directe et complète du problème ; mais nous verrons qu’on peut la simplifier dans plusieurs cas.

Prenons pour exemple l’équation du premier ordre

$z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

On aura ici

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=z-pq=0\,;$

donc

$\operatorname {F} '(x)=0,\quad \operatorname {F} '(y)=0,\quad \operatorname {F} '(z)=1,\quad \operatorname {F} '(p)=-q,\quad \operatorname {F} '(q)=-p\,;$

et les trois équations du premier ordre en $x,y,z,p$ deviendront

$-qy'+px'=0,\quad -qz'+2pqx'=0,\quad -qp'+px'=0.$

Or l’équation

$z=pq$

donne

$q={\frac {z}{p}}\,;$

donc les trois équations dont il s’agit deviendront

$zy'-p^{2}x'=0,\quad z'-2px'=0,\quad zp'-p^{2}x'=0,s$

et l’on pourrait faire l’une des fonctions dérivées $x',y',z',p'$ égale à l’unité.

La première et la dernière donnent

$y'=p'\,;$

d’où l’on tire l’équation primitive

$y=p+a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Ensuite la seconde et la troisième donnent

$pz'=2z'p',$

savoir

${\frac {z'}{z}}={\frac {2p'}{p}}\,;$

les fonctions primitives logarithmiques sont

$lz=lp^{2}+lb,$

d’où l’on tire

$z=bp^{2},$

$b$ étant une constante arbitraire.

Enfin, si dans la première on substitue $p'$ pour $y'$ et $bp^{2}$ pour $z,$ on a, en divisant par $p^{2},$

$bp'-x'=0\,;$

d’où l’on déduit, en prenant les fonctions primitives,

$x=bp+c,$

$c$ étant la troisième constante arbitraire.

Ainsi on aura, en dégageant les valeurs de ces constantes,

$a=y-p=\mathrm {P} ,\quad b={\frac {z}{p^{2}}}=\mathrm {Q} ,\quad c=x-{\frac {z}{p}}=\mathrm {R} .$

Maintenant, si dans l’équation

$z'-px'-qy'=0$

on substitue pour $q$ la valeur ${\frac {z}{p}},$ elle devient

$z'-px'-{\frac {zy'}{p}}=0$

Et si, à la place de $x,y,z,$ on y met les expressions trouvées ci-dessus en $p,a,b,c,$ en regardant les quantités $a,b,c,$ comme variables, on a la transformée

$p^{2}b'+2bpp'-p^{2}b'-bpp'-pc'-bpp'-bpa'=0,$

qui, en effaçant ce qui se détruit et divisant ensuite par $p,$ se réduit à

$c'+ba'=0.$

Donc, faisant

$b=\psi (a),\quad c=\varphi (a),$

on aura

$\varphi '(a)+\psi (a)=0\,;$

ce qui donne

$\psi (a)=-\varphi '(a).$

Ainsi on aura le système de ces deux équations

$\mathrm {R=\varphi (P),\quad Q=-\varphi '(P)} ,$

savoir,

$x-{\frac {z}{p}}=\varphi (y-p),\quad {\frac {z}{p^{2}}}=-\varphi '(y-p),$

d’où il faudra éliminer $p,$ et la fonction $\varphi (y-p)$ demeurera arbitraire.

Nous ferons ici une remarque importante : lorsqu’on a trouvé deux équations primitives renfermant deux constantes arbitraires, comme

$y=p+a\quad {\text{et}}\quad z=bp^{2},$

on pourrait croire qu’en éliminant $p$ on aurait une équation primitive avec deux constantes arbitraires, qui serait, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée, et d’où l’on pourrait ensuite tirer l’équation primitive générale avec une fonction arbitraire.

On aurait, de cette manière, l’équation

$z=b(y-a)^{2}.$

Mais il est facile de se convaincre qu’elle ne satisfait pas à la proposée

$z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right)\,;$

car elle donne

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=0.$

Il en serait de même si l’on employait, pour chasser $p,$ la seconde et la troisième équation ; on aurait alors

$c=x-{\sqrt {bz}},$

savoir,

$z={\frac {(x-c)^{2}}{b}},$

ce qui donnerait

$\left({\frac {z'}{y'}}\right)=0.$

Mais, si l’on employait la première et la dernière, on aurait, par l’élimination de $p,$

$c=x-{\frac {z}{y-a}},$

d’où l’on tire

$z=(x-c)(y-a)\,;$

cette expression donne

$\left({\frac {z'}{y'}}\right)=y-a,\quad \left({\frac {z'}{x'}}\right)=x-c,$

valeurs qui satisfont à la proposée.

La raison de cette espèce de bizarrerie se trouve dans l’équation donnée plus haut

$c'+ba'=0.$

Elle fait voir que les deux quantités $a$ et $c$ peuvent être constantes ensemble ; que, par conséquent, les deux équations

$\mathrm {P} =a\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} =c$

ont lieu à la fois, de sorte qu’en éliminant $p$ on a une équation en $x,y,z$ et les deux constantes arbitraires $a,c,$ qui sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Mais l’équation ne serait pas satisfaite par la simple supposition de $a$ et $b,$ ou de $b$ et $c,$ constantes ensemble ; d’où il suit que les deux équations

$\mathrm {P} =a\ \ et\ \ \mathrm {Q} =b,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {Q} =b\ \ et\ \ \mathrm {R} =c,$

prises ensemble, ne satisfont pas à la proposée.

Au reste, on peut trouver l’équation primitive complète, au moyen d’une seule de ces équations ; car elle donne une valeur de $p$ en $x,y,z$ et une constante arbitraire ; et, comme cette valeur satisfait à l’équation du premier ordre en $x,y,z$ et $p,$ elle rendra l’équation

$z'-px'-qy'=0$

susceptible d’une équation primitive ainsi il n’y aura qu’à chercher cette équation en $y$ ajoutant une constante arbitraire, et l’on aura l’équation primitive complète avec les deux constantes.

Ou bien on tirera de l’équation trouvée la valeur de $p$ en $x,y,z\,;$ et, comme

$p=\left({\frac {z'}{x'}}\right),$

on cherchera l’équation primitive, en ne regardant que $z$ et $x$ comme variables. Cette équation pourra alors renfermer une fonction arbitraire de $y,$ qu’on déterminera aisément par l’équation proposée ; et, comme celle-ci est du premier ordre, la fonction de $y$ renfermera au moins une constante arbitraire, de sorte qu’on aura de nouveau une équation primitive complète avec les deux constantes.

Prenons dans l’exemple précédent la première équation $\mathrm {P} =a,$ savoir,

$y-p=a.$

Elle donne

$p=y-a\,;$

et, comme on a

$q={\frac {z}{p}},$

on aura

$q={\frac {z}{y-a}}.$

Ces deux valeurs, étant substituées dans l’équation

$z'-px'-qy'=0,$

donnent

$z'-(y-a)x'-{\frac {zy'}{y-a}}=0.$

équation qui, étant divisée par $y-a,$ a pour primitive

${\frac {z}{y-a}}-x+c=0,$

où $c$ est la nouvelle constante arbitraire.

Or cette équation est la même que nous avons trouvée ci-dessus par l’élimination de $p.$

La même équation

$p=y-a$

devient, en substituant pour $p$ sa valeur $\left({\frac {z'}{x'}}\right),$

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=y-a.$

Comme il n’y a ici que la fonction dérivée de $z$ relativement à $x,$ on peut ôter les parenthèses et mettre l’équation sous la forme

$z'=(y-a)x',$

dont l’équation primitive, en regardant $y$ comme constante, est

$z=(y-a)(x-\mathrm {Y} ),$

$\mathrm {Y}$ étant une fonction quelconque de $y.$

Cette valeur donne, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $x$ et $y,$

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=y-a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=x-\mathrm {Y} -(y-a)\mathrm {Y} '.$

Substituant ces expressions dans la proposée

$z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right),$

on a

$(y-a)(x-\mathrm {Y} )=(y-a)(x-\mathrm {Y} )-(y-a)^{2}\mathrm {Y} ',$

d’où l’on tire

$\mathrm {Y} '=0$

et, par conséquent,

$\mathrm {Y} =c,$

en prenant $c$ pour une constante arbitraire.

Ainsi l’équation primitive devient, comme ci-dessus,

$z=(y-a)(x-c).$

Ayant cette équation primitive complète, pour en tirer l’équation primitive générale, on fera

$c=\varphi (a),$

et l’on prendra la dérivée par rapport à $a$ seul ; on aura ainsi le système

des deux équations

$z=(y-a)\left[x=\varphi (a)\right],\quad x-\varphi (a)+(y-a)\varphi '(a)=0,$

d’où il faudra éliminer $a.$

Pour les comparer aux équations trouvées ci-dessus par la méthode générale, il n’y a qu’à les mettre sous la forme

$x-{\frac {z}{y-a}}=\varphi (a),\quad {\frac {z}{(y-a)^{2}}}=\varphi '(a).$

Comme la quantité $a$ doit être éliminée, on peut mettre à sa place une quantité quelconque. Si l’on y met sa valeur $y-p,$ on a les mêmes équations déjà trouvées, d’où il faut ensuite éliminer $p.$

La théorie des équations à plusieurs variables des ordres supérieurs au premier est encore très imparfaite.

Lorsque ces équations admettent une équation primitive de l’ordrc immédiatementinférieur, on peut les regarder comme provenant d’une équation primitive complète de ce dernier ordre avec deux constantes arbitraires, ainsi que nous l’avons démontré pour les équations du premier ordre ; et, lorsqu’on connaît, d’une manière quelconque, cette équation primitive, on peut, par les mêmes principes, en tirer les équations primitives générales et singulières ; mais on sait que, dès le second ordre, il y a une infinité d’équations qui ne sont point susceptibles d’une équation primitive du premier ordre, et qui admettent néanmoins une équation primitive absolue sans fonctions dérivées. Nous n’entrerons point ici dans ce détail qui nous mènerait trop loin, et nous renvoyons, pour ce qui regarde les équations de ce genre, aux Traités connus de Calcul différentiel.

1. Œuvres de Lagrange, t. IX.
2. ibid., t. IV, p. 585.
3. Œuvres de Lagrange, t. IX.
4. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 549.
5. Œuvres de Lagrange, t. IX.