Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Isochrone
Trouver une ligne de descente dans laquelle le corps pesant descende uniformément et approche egalement de l’horizon en temps égaux.
Si l’on vouloit, que le corps pesant commençast à descendre dans cette ligne depuis le repos, elle seroit impossible.
Mais si le corps est supposé avoir quelque moment, quelque petit qu’il soit, comme par ex. celui qu’il aquiert en tombant de la hauteur perpendiculaire AB (fig. 117), alors la ligne courbe BC qui est telle que le cube de CD perpendiculaire sur AB prolongée, soit egal au solide du quarré de BD et de la hauteur de 9/4 AB, satisfera au Probleme.
Mais outre cette ligne BC il y en aura une infinité d’autres du même genre et aisées à trouver, qui feront le même effet, c’est à dire, que le corps pesant apres la chute par AB descendant par ces lignes, approchera encore egalement de l’horizon en temps égaux, mais plus lentement, que par BC. Que si BD est double de BA, le temps de la descente par la portion de courbe BC sera egal au temps de la chute par AB.
Je n’avois garde de proposer ce problème à des Geometres du premier rang, tels que Monsieur H. D. Z.[3], ils doivent plustost juger des prix, à peu prés comme les quarante Académiciens. Cependant puisque M. H. a trouvé ce problème digne de le résoudre luy même, je tacheray d’adjouter quelque chose.
On demande une ligne BD(D) tracée sur quelque plan, dans laquelle un corps pesant puisse descendre uniformément, et approcher egalement de l'horison en temps égaux, c’est à dire que les temps des descentes par BD, B(D) (fig. 118) soient comme les hauteurs perpendiculaires BC, (BC) et si les hauteurs C(C) et (C)[C] estoient égales, les temps des descentes par D(D) et par (D)[D] seroient aussi egales entre elles.
Je dis que la Paraboloeide Quadrato-Cubique BD(D)[D] satisfera à la question et sera la Ligne Isochrone demandée dont le sommet sera B, et les quarrés des ordonnées CD comme les cubes des abscisses (de la touchante du sommet) BC. Par exemple les abscisses BC, B(C) estant 1 et 4, les ordonnées CD, (C)(D) pourront estre 2/3 et 16/13, car les cubes de 1 et 4 sont 1 et 64, et 2/3 estant à 16/3 comme 1 à 8, leurs quarrés seront aussi comme 1 à 64. Cette ligne qu’on pourra maintenant appeller Isochrone (apres la decouverte de cette propriété) est assez connue d’ailleurs aux Geometres, et a esté la première de toutes les lignes courbes de la Geometrie ordinaire, à qui on ait donné une droite exactement egale. Or il est manifeste que le corps pesant ne sçauroit descendre uniformément dans la ligne BD depuis le repos, car s’il commencoit par le repos, cette même uniformité le feroit continuer ce repos, c’est à dire il n’y auroit point de mouvement. Mais avec quelque vistesse ou tardité qu’il tende de descendre, il y aura moyen de luy assigner une infinité de ces Paraboloeides Quadrato-Cubiques, l’une au sommet B, les autres dans quelque autre point, comme D, depuis lequel ce corps continuera de descendre et d’approcher de l’horison avec cette même vistesse ou tardité. Si la descente uniforme doit commencer depuis lesommet B, le paramétré de nostre Paraboloeide isochrone sera 9/4 de la hauteur ou cheute perpendiculaire AB, qui a pu donner au corps pesant la vistesse qu’il a au sommet B.
Pour donner une regle de ce mouvement, supposons que le corps pesant ait acquis la vistesse qu’il a au ppint B en descendant par la perpendiculaire AB, et pour représenter le temps de cette descente, menons à discrétion BE normale à AB ; puis traçons la parabole AEG dont l’axe soit ABC. De plus soit menée une droite FEH, qui touche la parabole en E et coupera l’axe en F ; on sçait que FB est double d’AB. Continuons CG jusqu’en H, et menons EL parallele à BC, coupant CH en L, je dis que LH représentera le temps de la descente par BD. On peut se passer de la parabole, si prenant FA egale à AB, on mene FEH, mais la parabole sert à rendre raison de cette operation, car ses ordonnées représentent les temps de la cheute droite AC.
Voicy donc la regle : Le temps LH de la descente uniforme sur une portion BD de la ligne isochrone est au temps BE de la descente perpendiculaire AB, qui a pû donner la vistesse acquise au commencement B de la ligne isochrone qu’elle touche, comme la hauteur BC de la descente isochrone au double de la hauteur AB de la descente perpendiculaire. Car à cause des triangles semblables ELH et FBE, il est visible que LH est à BE, comme EL ou BC est à FB double d’AB.
Corollaire. Si la hauteur BC de la descente uniforme est double de la hauteur AB de la descente perpendiculaire, les temps LH et BE seront égaux, ce qui convient avec la remarque de Mons. H. Mais si le temps de la dite descente perpendiculaire estoit double de celuy de la descente uniforme, leurs hauteurs seroient egales. Et on peut résoudre de même tous les cas particuliers donnés.
Mais si on ne demande pas que la descente uniforme commence au sommet, alors la vistesse du commencement, ou bien la hauteur de la cheute de cette vistesse aussi bien que la paraboloeide isochrone estant données, il s’agit de trouver le point D où le corps pesant arrivant avec cette vistesse et continuant son mouvement dans la ligne D(D) descendra uniformément.
En voicy la regle generale : « Lorsque le corps pesant tombe de quelque hauteur ou horisontale qui passe par A, sur quelque point D que ce soit de la ligne isochrone BD qui est touchée au sommet B par AB perpendiculaire à l’horisontale et egale à 4/9 du parametrée de la ligne isochrone ; il commencera de descendre uniformement dans la dite ligne depuis ce point D. » Ce qui suffit à determiner ces questions et à construire aussi les lignes mentionnées dans la figure de Monsieur H., appliquant les points convenables des autres lignes isochrones comme ßBδ du sommet B de la principale BD, en sorte qu’A et α points pris au dessus des sommets B et ß et déterminants la hauteur de la cheute tombent dans une même horisontale Aa. C’est pourquoy le poids tombant d’A sur B pourra depuis B descendre dans toutes les isochrones qui se coupent en B, dont les points α tombent dans l’horisontale Aα. Mais BD à l’egard de la hauteur AB, est la principale des Isochrones, qui sert icy depuis le sommet et dans laquelle le poids arrivant de la hauteur AB descendra uniformément avec le plus de vistesse qu’il pourra, et la perpendiculaire AB elevée sur le point de rencontre du poids et de la ligne isochrone touche la principale BD au lieu qu’elle coupe les autres comme ßδ.
Il est aisé de donner la démonstration de toutes ces choses, lorsqu’elles sont deja trouvées, c’est pourquoy je ne veux pas m’arrester.