Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Ozanam
ELEMENS D'ALGEBRE DE Mr. OZANAM.
L’Algèbre de Mr. Ozanam, que je viens de recevoir, me paroit bien meilleure que la plûpart de celles qu’on a vûes depuis quelque temps, qui ne font que copier Descartes et ses Commentateurs. Je suis bien aise qu’il fasse revivre une partie des préceptes de Viete, inventeur de la Spécieuse, qui méritoient de n’être point oubliés. On y trouve de plus quelques adresses très utiles dans les problèmes à la mode de Diophante. C’est fort bien fait aussi qu’il cherche de pousser les divisions, qui se doivent faire par des Polynômes irrationels, ou d’ôter l’asymmetrie du Dénominateur d’une fraction, en le multipliant aussi-bien que le Numerateur, par une formule, laquelle, avec le Dénominateur, fait un produit rationel, et par conséquent de résoudre ce problème très utile : Trouver une formule, par laquelle multipliant un Polynome irrationel donné, le produit devienne rationel. Mais il s’est arrêté en beau chemin, ayant crû (p. 77) que cela n’allait que jusqu’aux Quadrinomes dans les racines quarrées. C’est pourquoi je veux en donner la solution dans le Pentanome ou Quinome, comme il l’appelle, afin de l’encourager, ou quelqu’autre qui en aura le loisir à achever cette recherche qui le mérite assez.
Soit un Quinome où j’entends par ces lettres des quantités dont les quarrés sont rationels, par exemple Multiplions le Quinome proposé par et il vient supposant mm = aa + bb+ cc — dd — ee. Il est vrai que ce produit est encore un Quinome en effet ; mais nous corrigerons ce défaut dans la suite. Multiplions ce produit par 2ab 4-2ac + 2hc + 2de—mm, et il proviendra —n4 + 4mmde+8abc(a+b 4 c), supposant n4—m4 —4aal)b—4aacc ibbcc-f 4d<lee. Ainsi ce produit nous est venu en multipliant le Quinome proposé par a+b + c—d—e, et en multipliant ce qui en vient, encore par 2ab + 2ac + 2bc+2de—mm, ou en multipliant le Quinome proposé tout d’un coup par (a + b + c —d—e) (2ab + 2ac + 2bc + 2de—mm). Mais si au lieu de cela on multiplîoit le Quinome proposé par (a + b + c—d—e) (2ab+-2ac + 2bc+2de—mm)—8abc, il est visible qu’il proviendroit —n4 + 4mmde + 8abc(a + b + c) — 8abc(a + b+c+d +e), c’est-à-dire —n4 + 4mmde 8abc(< !+e). Ce qui est un Quadrinome, et nous avons gagné. Mais qui plus est, ce Quadrinome a l’avantage de pouvoir être réduit d’abord au binôme, en employant la seule multiplication par son contraire, sans passer par le trinôme : et ainsi nous ratlrappons ce que nous avions été obligés de perdre au commencement par une multiplication qui n’avançait pas d’abord. Car multipliant ce produit par —n*+4mmde+8abc(d+e), il nous viendra p8~8qede, supposant p8=n8+16m4ddee—64aabbcc(dd+eé) ? et q6- mmn4 4- I ôaabbcc. Et ce produit élanL enfin multiplié par p8+8q6de, nous aurons une quantité délivrée de J’asymmetrie, qui est p8—64q12ddee. Ce qu’il fallait faire. Et ce produit nous vient en multipliant le Quinome a+b+c+d+e par le produit de ces trois quantités : (a+b+c—d—e), (2ab + 2ac + 2bc + 2de—mm) —8abc, - n4+ 4mmde + 8abc(d+e), p8+8q5de.
Il y a démonstration que tout polynôme, quelque puisse être
le nombre et quelle que puisse être l’espèce des racines, pourra
toûjours être multiplié par une telle formule, que le produit soit
rationel. El en poussant le calcul des canons, on y trouvera une
progression réglée qui nous épargnera la peine d’aller plus loin. J’appelle
Canons, des formules générales, qui donnent d’abord ce qu’on
demande. Par exemple, à l’égard des racines quarrées, il y aura
dans le Binome a+b, a—b — aa—bb
dans le Trinôme a+b+c, a3—aab + 2abc=a4—2aabb
- b3 abb b4 2aacc
- c3 aac c4 2bbcc
- acc
- bbc
- bcc
Et non pourra calculer des canons semblables pour le Quadrinome, Quinome etc., ce qui donnera enfin la règle de la progression, qui est le canon des canons. J’ai coutoume de me servir d’expressions abrégées ; par exemple, en disant dans le trinôme a, a3 — aab + 2abc = a4 — 2aabb.