Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Quadrature.Roulette

Leibniz (et ses correspondants)

Une propriété des nombres premiers^[1]

Texte établi par C.I. Gerhardt, 1850-1863 (GM5, p. 116-117).

1. Source : Leibnizens mathematische Schriften, tome 5, pp. 116-117.

V.

EXTRAIT D’UNE LETTRE DE M. LEIBNIZ ÉCRITE D’HANOVRE
A L’AUTEUR DU JOURNAL TOUCHANT LA QUADRATURE
D’UNE PORTION DE LA ROULETTE.^[1]

Il n’y a que deux portions purement cycloidales et simples, c’est à dire segmens compris entre la courbe de la cycloide et une droite, dont on ait trouvé jusqu’icy la quadrature absolue, sans supposer celle du cercle. La première quadrature est de l’invention de Mons. Hugens, sçavoir que (fig. 21) la droite KGE (parallele au plan MI, sur lequel le cercle générateur ACHNA roule, et éloignée du sommet A de la distance AG, quatrième partie du diametre AH) retranche de la cycloide MIEAK le segment horizontal KEAK égal à AOPH, demyhexagone inscrit dans le cercle générateur. L'autre quadrature m’est venue dans l’esprit à l’occasion d’un theoreme fort general que je donneray ailleurs. Je l’ay communiquée à plusieurs à Paris : mais comme je puis juger de ce que Mons. de la Hire n’en fait point de mention, qu’elle n’est pas encor assez connue, je vous la donne icy énoncée et demonstrée.

Theoreme.

AFEA segment incliné de la cycloide, compris entre AEF portion de la courbe cycloidale et AF droite menée du sommet A au point F qui répond à B, centre du cercle générateur ACHNA, est égal au Triangle rectangle ABC, c’est à dire au demyquarré du rayon.

Pour en donner la démonstration, je suppose

1) que le triangle ACF est égal au quadrant ABCDA, parce que la base de ce triangle CF est égale à ADC aro du quadrant et sa hauteur est le rayon AB ;

2) que la Retorte ADCFEA est égale au quarré du rayon, ou au double triangle ABC, ce qui se trouve chez les Peres Fabry et Lalouere, chez Mons. Wallis, Mons. de la Hire et autres.

Demonstration.^[2]

segment cycloidal triligne triangle + ACFEA .... — ABCDA par la 1. supposit triligne quadrant 4- ADCFEA ?.. -|- ACDA.. — ABCDA par la figure retorte segment de cercle quadrant 4- 2 ABC + ACDA.. — ABCDA par la 2. supposit. triangles segment de cercle quadrant 4- ABC4-ABC... 4- ACDA.. — ABCDA cela s’entend 4-ABC + ABCDA. — ABCDA par la figure triangle quadrant quadrant donc AFEA égal à ABC +rien 4-rien

segment cycloidal       triangle

ce qu’il falloit demonstrer.

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1. Journal des Sçavans de l’an 1678 p. 219 sq.
2. [ Voir l'original. ]