Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Rolle
M. Rolle avoit fait des objections contre le calcul des différences, M. Varignon m’a fait communiquer ses responses, ou j’ay annoté ce qui suit Avril 1701.
Voyant que les objections qu’on a faites à M. de Varignon, ne demandent pas une grande attention apres la peine que M. de Varignon a prise de les si bien résoudre, je me suis laissé aller à les considerer et à adjouter quelques petites remarques. Il est étonnant qu’une personne qui paroist versée dans la Geometrie et dans l’Analyse, reprend une methode, qu’elle n’a pas assez pénétrée, comme il est aisé de voir par les objections mêmes. Car quant à l’objection première prise de l’equation a [3] (y - b) = [2] (xx - 2ax + aa - bb) pour trouver la plus grande (ou la plus petite) ordonnée, on objecte que le calcul des différences qui fait dy = 4dx(x - a) : 3 √(a [2] (x - a) - bb) mettant dy = 0, ne donne qu’une seule valeur de la grandeur x qui convient à y qu’on cherche, sçavoir x = a, au lieu que le calcul de M. Hudde donne x3 - 3axx + 3aax - a3 - bbx + abb = 0, dont les racines sont x - a, x - a + b et x - a - b. Ainsi il croit que chacune donne un cas de la plus grande x. Mais cela ne suit point de cette équation, qui est résolue lorsqu’une seule racine satisfait, comme fait x - a = 0. Car en divisant l’equation x3 - 3axx + 3aax - a3 - bbx + abb = 0 par la formule xx - 2ax + aa - bb (qui n’a point besoin d’estre egale à rien, pour estre un diviseur) il provient x - a = 0. Il est vray que les deux autres racines sont justement celles qui viennent quand on cherche x la plus grande ou la plus petite, ou pour le dire en un mot, la monadique ou les "geminatae" se réduisent en une. Mais c’est par accident par ce que lorsque dx = 0, il vient y - b = 0 ce qui fait xx - 2 ax + aa — bb = 0, car si l’equation avoit esté a [3](y - b) = [2](xx - 2ax + aa — bb) + b4, on trouvera selon la methode de Mons. Hudde que cette équation formée expressément x4 - 4ax3 + 2aaxx - 4a{{exp|3}x :xp|3}
- - 2b:bxx + 4abbx - 2aabb
- + 4aaxx + 2b4
- et multipliée par 4, 3, 2, 1, 0, donne la même équation
- x3 - 3axx + 3aax - a3 = 0
- - bbx + abb
- - bbx + abb
et cependant au cas de dx = 0 les deux racines x - a + b et x - a - b ne servent point et par conséquent l’equation faite par leur multiplication, sçavoir xx - 2ax + aa - bb, sert point non plus. Car dans ce cas il y a aussi y - b = 0, mais cela donne icy non pas xx - 2ax + aa - bb = 0, c’est à dire x - a = 0 ou x - a - b√2 = 0. Cependant revenant à la première courbe dont il s’agit et dont l’equation est a [3] (y - b) = [2] (xx - 2ax + xx - bb) ou bien faisant x - a = z et y — b = v, av2 = [2] (zz — bb ) ou v 3√aa = [2/3] (zz - bb) et dv = 4 zdz : 3 3√(azz - abb), on peut satisfaire à dv (ou dy) = 0, non seulement en faisant z = 0 (ou x = a), mais encor dans nostre cas, en faisant dz = O, comme en effect cela se peut prendre ainsi dans nostre courbe (fig. 146) ou DP sont minimae, comme (D) (P) maxima, puisqu’il se trouve que les y, qui sont designées par DP, DP, sont les plus petites quand dz = 0, et (D)(P) est la plus grande quand z est 0 ; car des racines d’une équation on employe celles qui servent, et icy des deux racines de l’equation zdz = 0, sçavoir de z ou dz, l’une et l’autre sert, et en quelque sens il est vray que la droite parallele à l’axe AP, qui passe par D, touche la courbe. Aussi peut on concevoir la sinuosité de la recourbure (qui enferme une touchante parallele à l’axe) reduite au cas ou elle evanuoit. Mais dans les méthodes qui en cherchant y la plus grande ou la plus petite, suppriment dx ou dz comme celle ou on multiplie l’equalion selon x par des nombres de progression arithmétique, il y a cette imperfection que le cas de dz = 0 est supprimé aussi. Car j’ay dit déjà que c’est par accident qu’il vient icy.
La seconde objection n’est qu’une méprise, et la troisième n’est pas une objection, car ce qu’on prend pour un inconvénient n’en est point et quoyque la grandeur x reelle ne monstre point d’impossibilité, il faut considerer que le calcul n’est pas encor fini et que pour s’en servir, il faut la substituer dans l’equation locale de la courbe. Quant à l’equation y = 2 + √(4 + 2x) + √4x, elle est doublement ambigue, car les racines quarrées sont toujours ambiguës et on peut dire ainsi qu’il y a 4 courbes differentes de position, selon qu’on varie les signes sans qu’il soit necessaire de dire à mon avis, quelles composent de differens rameaux d’une meme courbe. De l’equation ad maximam aut minimam selon laquelle on trouve icy y = √(⅔x - (4/3)) resulte √(4 + 2x) + √4x = √(⅔x - (4/3)), la quelle se trouve impossible. Mais quand on cherche dx = 0, on trouve 4√x, √(2 + x) = 0, c’est à dire x = 0, car x = — 2 qu’on pourroit tacher d’en tirer, aussi se trouve exclue, car x negative donne l’impossible. Ainsi il est manifeste que le seul cas qui sert, est x = 0, se qui s’accorde avec la figure que M. Varignon a tracée.