Mémoire sur la théorie des ondes

Siméon Denis Poisson

Mémoire sur la théorie des ondes

Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1, année 1816, 1818 (p. 71-186).

MÉMOIRE
SUR LA THÉORIE DES ONDES ;

Par M. POISSON.

Lu le 2 octobre et le 18 décembre 1815.

Lorsqu’on agite l’eau en un endroit de sa surface, on voit aussitôt se former des ondes qui se propagent circulairement autour d’un centre commun, et qui sont dues aux élévations et aux abaissemens successifs du fluide, au-dessus et au-dessous de son niveau naturel. Ce phénomène est un des cas les plus simples du mouvement des fluides, et l’un des premiers qui se présente aux recherches des géomètres ; cependant on n’est point encore parvenu à déterminer d’une manière satisfaisante, les lois de ces oscillations qu’on a si souvent l’occasion d’observer.

Newton, dans le livre des Principes^[1], les compare aux oscillations de l’eau dans un syphon renversé ; de cette comparaison, il conclut que la vîtesse de la propagation des ondes doit être proportionnelle à la racine quarrée de leur largeur, et que chaque onde doit parcourir sa largeur entière dans un temps égal à celui des oscillations d’un pendule simple qui aurait, pour longueur, le double de cette même largeur. On entend ici par largeur des ondes, l’intervalle compris entre les sommets de deux ondes consécutives, l’une saillante et l’autre tracée en creux à la surface du fluide ; il resterait donc à déterminer cet intervalle, pour un ébranlement donné de la masse fluide, et à reconnaître s’il demeure constant ou s’il varie pendant la durée du mouvement ; mais en y réfléchissant avec toute l’attention que le nom de Newton commande, on ne trouve pas une analogie suffisante entre ces deux mouvemens, dont ce grand physicien supposait l’identité ; et son hypothèse ne paraît pas assez fondée, pour servir de base à une détermination exacte de la vîtesse des ondes.

M. Laplace est le premier qui ait cherché à soumettre cette question à une analyse régulière. Cet essai est imprimé à la suite des recherches sur les oscillations de la mer et de l’atmosphère, qui se trouvent dans le volume de l’Académie des sciences, pour l’année 1776. On y forme les équations différentielles du mouvement des fluides incompressibles et pesans, modifiées par la seule hypothèse que les vîtesses et les oscillations des molécules restent toujours assez petites pour qu’on puisse négliger leurs produits et leurs puissances supérieures à la première ; supposition permise, et sans laquelle ce problême deviendroit si compliqué qu’on n’en pourrait espérer aucune solution. Celle que M. Laplace donne de ces équations différentielles, convient au cas où le fluide n’a reçu primitivement aucune vîtesse, et où il a été dérangé de son état d’équilibre, en faisant prendre à sa surface, dans toute son étendue, la forme d’une throchoïde, c’est-à-dire d’une courbe serpentante ; dont l’ordonnée verticale est exprimée par le cosinus d’un arc proportionnel à l’abscisse horizontale ; mais dans la théorie des ondes, le cas qu’on doit avoir en vue, est, au contraire, celui où la surface n’a été déformée que dans une petite étendue ; et la solution dont nous parlons, ne saurait s’y appliquer, lors même que, dans cette étendue, la surface aurait reçu la figure d’une portion de trochoïde.

Environ dix ans après, Lagrange, dans les Mémoires de Berlin, et ensuite dans la mécanique analytique, traita directement le cas où la profondeur du fluide est supposée très-petite et constante. Il démontre qu’alors la propagation des ondes a lieu suivant les mêmes lois que celle du son ; en sorte que leur vîtesse est constante et indépendante de l’ébranlement primitif ; et de plus, il la trouve proportionnelle à la racine quarrée de la profondeur du fluide, lors qu’il est contenu dans un canal qui a la même largeur dans toute son étendue. Il suppose ensuite que le mouvement excité à la surface d’un fluide incompressible, d’une profondeur quelconque, ne se transmet qu’à de très-petites distances au-dessous de cette surface ; d’où il conclut que son analyse donne encore la solution du problême, quelque grande que soit la profondeur du fluide que l’on considère ; de manière que si l’observation faisait connaître la distance à laquelle le mouvement est insensible, la vîtesse de la propagation des ondes à la surface, serait proportionnelle à la racine quarrée de cette distance ; et réciproquement, si cette vîtesse est mesurée directement, on en pourra déduire la petite profondeur à laquelle le mouvement parvient. Mais qu’il nous soit permis d’exposer ici quelques observations fort simples, qui prouvent que cette extension donnée à la solution de Lagrange, ne peut pas être légitime, et que les choses ne se passent pas ainsi, lorsque l’on a égard à la transmission du mouvement dans le sens vertical.

En effet le mouvement dans ce sens n’est pas brusquement interrompu ; les vîtesses et les oscillations des molécules diminuent à mesure que l’on s’enfonce au-dessous de la surface ; et la distance à laquelle on peut les regarder comme insensibles, en admettant même, pour un moment, qu’elle soit très-petite, n’est pas une quantité déterminée qui puisse entrer, comme on le suppose, dans l’expression de la vîtesse à la surface. Pour fixer les idées, supposons la profondeur et les autres dimensions du fluide, infinies ou assez grandes pour qu’elles ne puissent avoir aucune influence sur les lois de son mouvement ; supposons aussi la masse que entière n’a reçu primitivement aucune vîtesse, et que l’ébranlement a été produit de la manière suivante, qui est la plus facile à se représenter. On plonge dans l’eau, en l’enfonçant très-peu, un corps solide d’une forme connue ; on donne au fluide le temps de revenir au repos, puis on retire subitement le corps plongé : il se produit, autour de l’endroit qu’il occupait, des ondes dont il s’agit de déterminer la propagation. Or, il est évident que la profondeur du fluide ayant disparu, les seules lignes qui soient comprises parmi les données de la question, sont les dimensions du corps plongé, et l’espace que parcoure un corps pesant dans un temps déterminé ; par conséquent l’espace parcouru par chaque onde à la surface de l’eau ne peut être qu’une fonction de ces deux sortes de lignes. Si donc la vîtesse des ondes est indépendante de l’ébranlement primitif, c’est-à-dire de la forme et des dimensions du corps plongé, il faudra, d’après le principe de l’homogénéité des quantités, que l’espace qu’elles parcourent dans.un temps quelconque, soit égal à l’espace parcouru dans le même temps par un corps pesant, multiplié par une quantité abstraite, indépendante de toute unité de ligne ou de temps ; donc alors le mouvement des ondes sera semblable à celui des corps graves, avec une accélération qui sera un certain multiple, ou une certaine fraction de l’accélération de la pesanteur. Si, au contraire, le mouvement des ondes est uniforme, il faut, d’après le même principe de l’homogénéité, que leur vîtesse dépende de l’ébranlement primitif ; de manière que l’espace parcouru dans un temps donné, soit une moyenne proportionnelle entre deux lignes, savoir : la ligne décrite dans le même temps par un corps grave, et l’une des dimensions, ou plus généralement, une fonction linéaire des dimensions du corps plongé. Il pourrait encore arriver que le mouvement des ondes füt accéléré, et que l’accélération dépendit du rapport numérique qui existe entre ces dimensions : c’est au calcul à décider lequel de ces mouvemens doit avoir effectivement lieu ; mais on voit, à priori, qu’ils sont l’un et l’autre également contraires au résultat de la mécanique analytique.

Telles étaient, à ma connaissance, les seules recherches théoriques, publiées sur le problême des ondes, lorsque l’Institut le proposa pour sujet du prix de 1816. Long-temps auparavant, je m’étais occupé de cette importante question ; mais ce n’est que dans ces derniers temps que j’en ai obtenu une solution qui m’a complettement satisfait, sous le rapport de la rigueur, et sous celui de la simplicité. La première partie de mon Mémoire a été déposée au bureau de l’Institut avant qu’aucune pièce destinée au concours, y fut parvenue ; j’en ai fait lecture le à octobre 1815, époque de l’expiration du concours ; elle contenait les formules générales en intégrales définies qui renferment implicitement la solution du problême, et, comme conséquence de ces formules, la théorie des ondes qui se propagent d’un mouvement uniformément accéléré. Au mois de décembre suivant, j’ai lu la deuxième partie, ou plutôt un second Mémoire sur le même sujet ; celui-ci renfermait la théorie des ondes qui se propagent avec une vîtesse constante : elles sont, comme on le verra, beaucoup plus sensibles que les ondes accélérées, et, pour cette raison, beaucoup plus importantes à considérer.

Enfin, depuis cette époque, j’ai tâché de perfectionner ces recherches, sur-tout sous le rapport de la propagation du mouvement dans le sens vertical. M. Biot a fait autrefois des expériences sur le mouvement des ondes produites par l’immersion de différens solides de révolution, et même par des cônes et des cylindres. Il a reconnu que leur vîtesse ne dépend ni de la figure de ces corps, ni de la quantité dont ils sont enfoncés dans le fluide, mais qu’elle varie avec le rayon de leur section à fleur d’eau ; ce qui est conforme à la théorie qu’on trouvera dans mon Mémoire, et suivant laquelle la vîtesse des ondes est proportionnelle à la racine quarrée de ce rayon. On y trouvera aussi l’application de cette théorie à quatre expériences dont M. Biot avait conservé la note : l’accord satisfaisant que l’on remarquera entre le calcul et l’observation, fournirait, s’il en était besoin, une vérification de l’analyse dont j’ai fait usage, et du résultat principal auquel j’ai été conduit.

Les oscillations verticales des molécules, qui produisent l’apparence des ondes qui se propagent à la surface du fluide, diminuent de grandeur à mesure que l’on s’éloigne du lieu de l’ébranlement primitif : leur amplitude suit la raison inverse de la racine quarrée des distances à ce point, quand le fluide est contenu dans un canal d’une largeur constante ; elle suit la raison inverse de ces distances, lorsque le fluide est libre de toutes parts, et que les ondes se propagent circulairement autour d’un centre commun. Les espaces que parcourent les molécules de l’intérieur du fluide, situées au-dessous de l’ébranlement primitif, décroissent suivant une loi plus rapide : suivant la raison inverse de la profondeur ou de son quarré, selon que le fluide est contenu ou non dans un canal ; en sorte qu’à de très-grandes distances du lieu de l’ébranlement, le mouvement doit être plus sensible à la surface que dans l’intérieur de la masse fluide. Néanmoins cette loi de décroissement dans le sens de la profondeur, que j’ai conclue de mon analyse, n’est pas tellement rapide que le mouvement ne puisse encore se faire sentir à d’assez grandes profondeurs ; résultat qui suffirait pour détruire l’hypothèse de Lagrange, dont il a été question plus haut, lors même que nous n’aurions pas prouvé, à priori, que la solution qu’il a donnée du problême des ondes, ne saurait s’étendre au cas d’un fluide d’une profondeur quelconque.

Cette transmission du mouvement à de grandes profondeurs, a été remarquée, ce me semble pour la première fois, par l’ingénieur Brémontier, dans un ouvrage sur le mouvement des ondes, publié en 1809. À la vérité les raisonnemens qu’il emploie pour établir son opinion, sont loin d’être satisfaisans ; mais les faits qu’il cite ne permettent pas de douter que le mouvement produit à la surface de l’eau, ne soit encore sensible à de grandes distances au-dessous de cette surface ; et l’on peut regarder ce résultat de l’analyse comme étant aussi confirmé par l’observation. Il serait à desirer que quelque habile observateur entreprit de vérifier, par de nouvelles expériences, tous les points de la théorie que je vais exposer dans ce Mémoire : l’accord que présenteraient, sans doute, le calcul et l’observation, ne serait pas sans intérêt pour les physiciens ; et les géomètres ne verraient pas non plus sans plaisir réaliser, pour ainsi dire, les diverses circonstances du mouvement des fluides qui sont contenues dans leurs formules.

Les intégrales relatives au problême des ondes, que l’on trouvera dans ce Mémoire, conviennent au cas où le fluide a une profondeur quelconque ; mais on s’est spécialement attaché à traiter le cas le plus ordinaire, celui où cette profondeur devient très-grande et comme infinie par rapport à l’étendue des oscillations des molécules, Dans un autre Mémoire, je me propose de considérer l’influence que peut avoir le plus ou moins de profondeur du fluide, sur les mouvemens de ses molécules, c’est-à-dire la réflexion du mouvement dans le sens vertical, due au fond sur lequel le fluide repose ; en même temps, j’essaierai de déterminer les lois de la réflexion des ondes à sa surface, produite par les parois latérales et fixes qui le contiennent.

§. I^er.

Équations différentielles du probléme.

(1) La théorie des oscillations d’un fluide incompressible et homogène, soumis à l’action de la pesanteur et un tant soit peu écarté de son état d’équilibre, est comprise dans ces deux équations^[2] :

${\begin{array}{lr}{\frac {p}{\rho }}-gz+{\frac {d\varphi }{dt}}=0,&(1)\\{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad \qquad &(2)\end{array}}$

La variable $t$ représente le temps ; $g$ la pesanteur, et $\rho$ la densité du fluide ; $x,\,y,\,z,$ sont les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque du fluide ; $x$ et $y$ sont horizontales ; $z$ est verticale et comptée dans le sens de la pesanteur ; enfin $p$ et $\varphi$ sont deux fonctions inconnues de $x,\,y,\,z$ et $t\,:$ la première représente la pression qui a lieu, au bout du temps $t,$ au point dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z\,;$ les différences partielles de la seconde, relatives à $x,\,y,\,z,$ expriment, pour le même instant et pour le même point, les vîtesses du fluide suivant ces coordonnées, c’est-à-dire que l’on a

${\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {dx}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {dz}{dt}}.$

Ces vîtesses, et les distances des molécules à leurs positions initiales, sont regardées comme très-petites pendant toute la durée du mouvement ; on en néglige, dans le calcul, les produits et les puissances supérieures à la première ; d’où il résulte que dans les quantités ${\frac {d\varphi }{dx}},\,{\frac {d\varphi }{dy}},\,{\frac {d\varphi }{dz}},$ on devra considérer $x,\,y,\,z,$ comme constantes et se rapportant à la position initiale de chaque molécule.

À la surface, la pression $p$ est indépendante de $x,\,y,\,z\,;$ pour plus de généralité, on peut supposer qu’elle soit une fonction quelconque de $t,$ que nous représenterons par $\mathrm {P} \,;$ or, en remplaçant, dans les équations précédentes, $p$ par $p+\mathrm {P} ,$ et $\varphi$ par $\varphi -{\frac {1}{\rho }}\int \mathrm {P} dt,$ la fonction $\mathrm {P}$ disparaît, et ces équations conservent identiquement la même forme ; ce qui prouve que la pression à la surface n’a aucune influence sur le mouvement du fluide. De cette manière, $p$ ne représentera plus que l’excès de la pression intérieure, sur la pression extérieure $\mathrm {P} \,;$ si donc on désigne par $z',$ l’ordonnée verticale d’un point quelconque de la surface, on aura, à-la-fois, $z=z'$ et $p=0\,;$ et l’équation de la surface fluide à un instant quelconque, déduite de l’équation (1), sera

$gz'-{\frac {d\varphi }{dt}}=0.\qquad$(3)

(2) Pour fixer les idées, nous prendrons pour le plan des $x,\,y,$ celui du niveau du fluide dans l’état d’équilibre, auquel cas $z'$ sera une très-petite quantité, et par conséquent aussi la valeur de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ qui se rapporte à la surface. On devra donc faire $z=0,$ dans cette valeur, et regarder, dans l’équation (3), $x$ et $y$ comme constantes ; de sorte qu’en la différenciant par rapport à $t,$ on aura simplement

$g{\frac {dz'}{dt}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=0.\qquad$(3)

Dans cette équation, $dz'$ représente l’abaissement vertical de la surface pendant l’instant $dt,$ à l’endroit qui répond aux coordonnées $x$ et $y\,;$ en supposant donc que, pendant la durée de cet instant, la même molécule fluide demeure à la surface, ${\frac {dz'}{dt}}$ sera la vîtesse verticale de cette molécule, ou la valeur de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ qui répond à $z=0\,;$ par conséquent l’équation précédente se changera en celle-ci :

$g{\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=0,\qquad$(4)

qui n’aura lieu que pour la valeur particulière $z=0.$

Afin de ne pas compliquer la question, nous regarderons la profondeur du fluide comme constante : nous la représenterons par $h,$ en sorte que le fluide soit terminé dans le sens vertical par un plan fixe et horizontal, correspondant à $z=h.$ Si l’on suppose, comme pour les molécules situées à la surface extérieure, que celles qui touchent ce plan fixe y restent adjacentes pendant toute la durée du mouvement, il faudra que leur vîtesse verticale soit constamment nulle ; on aura donc, quelque soit $t,$

${\frac {d\varphi }{dz}}=0,\qquad$(5)

pour la valeur particulière $z=h.$

(3) Telles sont les diverses équations différentielles, relatives au problême que nous nous proposons de résoudre. On voit que celles du numéro précédent, qui se rapportent à la surface et au fond du fluide, résultent de conditions que l’on a coutume de regarder comme nécessaires à la continuité de la masse fluide ; continuité sans laquelle il serait impossible de soumettre son mouvement au calcul. Nous les admettrons, avec celles du n^o i^er, comme bases de notre analyse ; et la question qui va nous occuper consistera d’abord à satisfaire simultanément et de la manière la plus générale, aux équations (2), (4) et (5), et ensuite à remplir les conditions relatives à l’état initial du fluide.

Nous distinguerons deux cas que nous examinerons successivement : celui où l’on fait abstraction d’une dimension horizontale du fluide, et le cas où l’on a égard à ses trois dimensions. Dans le premier cas, le fluide est censé réduit à un plan ; mais on peut aussi le supposer contenu dans un canal vertical d’une largeur quelconque, pourvu qu’elle soit constante dans toute la longueur du canal, et que les molécules fluides n’aient aucun mouvement dans le sens de cette largeur.

§. II.

Intégration des équations précédentes, dans le cas où l’on
fait abstraction d’une dimension horizontale du fluide.

(4) En prenant le plan des $x,\,z,$ parallèle au fluide, ou aux parois verticales du canal qui le renferme, la fonction $\varphi$ sera indépendante de $y,$ et l’équation (2) se réduira à

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad$(6)

Comme elle est linéaire et à coefficiens constans, on y peut satisfaire par une valeur de o composée d’exponentielles, de sinus et cosinus, et, sous cette forme, la solution la plus générale est celle-ci :

$\varphi =\sum \left(\mathrm {A} e^{-az}+\mathrm {A} 'e^{az}\right)cos.(ax+a')\,;$

$e$ représentant la base des logarithmes dont le module est l’unité ; $\mathrm {A,\,A'} ,\,a,\,a',$ étant des quantités indépendantes de $x$ et $z\,;$ et la caractéristique $\sum$ indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de ces quatre quantités.

Différenciant cette valeur de $\varphi$ par rapport à $z,$ et faisant ensuite $z=h,$ on aura, en vertu de l’équation (5),

$\sum \left(\mathrm {A} e^{-ah}-\mathrm {A} 'e^{ah}\right)a.cos.(ax+a')=0\,;$

or, cette équation ayant lieu pour toutes les valeurs de $x,$ elle doit subsister séparément pour chaque terme de la somme $\sum \,;$ on aura donc généralement

$\mathrm {A} e^{-ah}-\mathrm {A} 'e^{ah}=0\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {A=T} e^{ah},\qquad \mathrm {A'=T} e^{-ah}\,;$

$\mathrm {T}$ étant une nouvelle indéterminée.

La valeur de $\varphi$ devient alors

$\varphi =\sum \mathrm {T} \left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a')\,;$

les trois indéterminées $\mathrm {T} ,a$ et $a'$ qu’elle renferme, pourraient être regardées comme des fonctions de $t\,;$ mais pour satisfaire à l’équation (4), quelle que soit la valeur de $x,$ il est aisé de voir qu’il faut supposer $a$ et $a'$ constante, et $\mathrm {T}$ seule dépendante de $t.$ Prenant, dans cette hypothèse, les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ et ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},$ et y faisant $z=0,$ on aura, en vertu de cette équation (4),

$\sum \left[g\mathrm {T} a\left(e^{-ah}-e^{ah}\right)-{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\left(e^{-ah}+e^{ah}\right)\right].cos.(ax+a')=0\,;$

et à cause qu’elle doit subsister pour toutes les valeurs de $x,$ on en conclura

${\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}+c^{2}\mathrm {T} =0,$

en faisant, pour abréger,

$ga\left(e^{ah}-e^{-ah}\right)=c^{2}\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).\qquad$(7)

On tire de-là, en intégrant

$\mathrm {T} =\mathrm {B} .sin.c\,t+\mathrm {B} '.cos.c\,t\,;$

$\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ étant les deux constantes arbitraires. Substituant cette valeur de $\mathrm {T} ,$ dans celle de $\varphi ,$ il vient

$\left.{\begin{aligned}\varphi &=\sum \mathrm {B} \left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').sin.c\,t,\\&+\sum \mathrm {B} '\left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').cos.c\,t\,;\end{aligned}}\right\}\quad (8)$

expression dans laquelle les sommes $\sum$ s’étendent à toutes les valeurs possibles des constantes $\mathrm {B,\,B'} ,\,a$ et $a'.$

Nous pouvons regarder cette valeur de $\varphi$ en série d’exponentielles^[3], comme la solution la plus générale des équations simultanées (4), (5) et (6) ; mais pour en pouvoir faire usage, lorsque la masse fluide n’a été primitivement ébranlée que dans une petite étendue, ainsi qu’il arrive dans la production des ondes, il est nécessaire d’y introduire des fonctions arbitraire sque l’on puisse supposer discontinues ; or, c’est à quoi nous allons parvenir au moyen d’un théorême général sur la transformation des fonctions, qui pourra encore être utile dans beaucoup d’autres occasions.

(5) Quelle que soit la fonction $fx,$ continue ou discontinue, pourvu qu’elle ne devienne infinie pour aucune valeur réelle de $x,$ on aura, pour toutes les valeurs réelles de cette variable,

$fx={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha ).e^{-ak}da\,d\alpha \,;\qquad$(9)

cette intégrale double étant prise depuis $\alpha =-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha =+{\frac {1}{0}},$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}\,;$ $\pi$ représentant le rapport de la circonférence au diamètre, et $k,$ une quantité positive qu’on devra supposer infiniment petite ou nulle après l’intégration.

En effet, entre les limites $a=0$ et $a={\frac {1}{0}},$ on a

$\int cos.(ax-a\alpha ).e^{-ak}da={\frac {k}{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}\,;$

d’où il suit

$\iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha x).e^{-ak}da\,d\alpha =\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.$

Or, $f\alpha$ ne devenant jamais infinie, il est évident que cette intégrale simple, sera infiniment petite en même temps que $k,$ excepté dans l’étendue des valeurs de $\alpha$ qui different infiniment peu de $x\,;$ il suffira donc d’intégrer depuis $\alpha =x-u,$ jusqu’à $\alpha =x+u,$ $u$ étant une quantité positive et infiniment petite entre ces limites, $f\alpha$ sera censée constante et égale à $fx\,;$ par conséquent on aura

$\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.\int {\frac {k.d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.arc\left(tang.={\frac {\alpha -x}{k}}\right)\,;$

intégrale qui devient, entre les limites qu’on vient d’assigner,

$2fx.arc\left(tang.={\frac {u}{k}}\right),$

et qui est égale à $\pi \,fx,$ lorsqu’on y fait $k=0.$ Donc enfin, comme nous l’avons annoncé, l’intégrale double ci-dessus représente la valeur de $fx,$ pour chaque valeur donnée de la variable $x.$

Si la fonction $fx$ était discontinue, qu’elle n’ait de valeurs que pour celles de $x$ qui sont comprises entre $x=-l$ et $x=+l,$ et qu’elle fût nulle pour toute valeur de $x,$ prise hors de ces limites, l’équation (9) subsisterait toujours ; mais alors l’intégrale relative à $\alpha$ ne devrait être prise que depuis $\alpha =-l,$ jusqu’à $\alpha =+l.$ Il faut aussi observer que, dans ce cas, l’intégrale double ne représenterait que la moitié des valeurs de $fx$ qui répondent aux termes extrêmes $x=-l$ et $x=+l.$ C’est ce qu’il est aisé de voir en observant que si l’on suppose, par exemple, $x=+l,$ l’intégrale relative à $\alpha ,$ que nous venons d’évaluer, n’aura de valeurs que depuis $\alpha =l-u,$ jusqu’à $\alpha =l,$ et qu’elle sera égale à ${\frac {\pi }{2}}fl,$ au lieu de $\pi \,fl,$ lorsqu’on y fera $k=0.$

On voit sans peine que notre théorême s’étend aux fonetions de deux ou d’un plus grand nombre de variables ; par exemple, pour deux variables $x$ et $y,$ on démontrera, par les considérations précédentes, que l’on a

$f(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta ).cos.(ax-a\alpha ).cos.(by-b\beta ).e^{-ka-k'b}da\,db\,d\alpha \,d\beta \,;$

l’intégrale quadruple étant prise entre les limites $\alpha =-{\frac {1}{0}},\alpha =+{\frac {1}{0}},$ $\beta =-{\frac {1}{0}},\beta =+{\frac {1}{0}}\,;$ $a=0,a={\frac {1}{0}}\,;$ $b=0,b={\frac {1}{0}}\,;$ la fonction $f(x,y)$ ne devenant infinie pour aucune valeur réelle de $x$ ou de $y\,;$ et $k,\,k'$ étant des quantités positives qu’on devra faire égales à zéro après les intégrations.

(6) Maintenant, pour appliquer ce théorême à la valeur de o donnée par l’équation (8), supposons que les valeurs de cette fonction et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ qui répondent à $z=0$ et $t=0,$ soient connues, et représentons-les par

$\varphi =\operatorname {F} x,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}=fx.$

Il s’agira de faire coïncider ces expressions avec celles qu’on déduit de l’équation (8) et de sa différentielle par rapport à $t,$ en y faisant aussi $z=0$ et $t=0\,:$ on a, de cette manière,

${\begin{aligned}\varphi =&\operatorname {F} x=\sum \mathrm {B} '\ \left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a'),\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\ fx\ =\sum \mathrm {B} c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a')\,;\end{aligned}}$

or, en comparant ces formules à l’équation (9), on voit qu’il faut prendre

${\begin{aligned}a'&=-a\,\alpha ,\\\mathrm {B} '&={\frac {\operatorname {F} \alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\\\mathrm {B} \;&={\frac {f\alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \,c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\end{aligned}}$

et changer le signe $\sum$ en une intégrale double relative à $a$ et $\alpha .$ Au moyen de ces valeurs l’équation (8) deviendra

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.c\,t}{c}}.da\,d\alpha \,;\\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.c\,t.da\,d\alpha \,;\end{aligned}}$

en supprimant, ce qui est permis, l’exposant infiniment petit $-ka,$ qui devrait s’ajouter aux exposans $a(h-z)$ et $-a(h-z).$

La valeur de $\varphi$ étant ainsi exprimée sous forme finie, on pourra faire telles suppositions qu’on voudra sur les fonctions $f\alpha$ et $\operatorname {F} \alpha$ qui se rapportent à l’état initial du fluide. Cette formule renferme la solution complète du problême qui nous occupe ; car les différences partielles de $\varphi$ par rapport à $x,\,z$ et $t$ feront connaître, au bout du temps $t,$ les vîtesses et la pression qui ont lieu en un point quelconque du fluide (n^o 1) ; et au moyen de l’équation (3), on déterminera, au même instant, la figure de sa surface.

(7) Lorsque la profondeur $h$ est très-petite et qu’on néglige les puissances de $h$ supérieures à la première, les intégrales disparaissent dans la valeur de $\varphi ,$ qui devient alors beaucoup plus simple. En effet l’équation (7) se réduit alors à $c^{2}=ga^{2}h\,;$ d’où l’on tire $c=a{\sqrt {gh}}\,;$ substituant cette valeur dans celle de $\varphi ,$ il vient

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.a\,t{\sqrt {gh}}}{a{\sqrt {gh}}}}.da\,d\alpha \\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.a\,t{\sqrt {gh}}.da\,d\alpha .\end{aligned}}$

En réduisant en série suivant les puissances de $e^{-ah},$ aura une expression de cette forme :

${\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}=\sum \mathrm {A} e^{-ak}\,;$

$k$ étant une quantité positive du même ordre de petitesse que $z$ et $h\,;$ $\mathrm {A}$ désignant un coëfficient indépendant de $\alpha$ et $\sum ,$ la somme d’une série infinie de termes semblables à $\mathrm {A} e^{-ak}.$ La seconde partie de la valeur de $\varphi$ deviendra donc

${\begin{aligned}\varphi ={\frac {1}{2\pi }}.\sum \mathrm {A} \iint &\operatorname {F} \alpha {\Big (}cos.\left(ax+at{\sqrt {gh}}-a\alpha \right){\Big .}\\&{\Big .}+cos.\left(ax-at{\sqrt {gh}}-a\alpha \right){\Big )}e^{-ak}da\,d\alpha \,;\end{aligned}}$

et à cause que $k$ doit être traitée comme une quantité infiniment petite, cette valeur se changera, en vertu du théorême du n^o 5, en

$\varphi ={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+\operatorname {F} \left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}\sum \mathrm {A} \,;$

mais en faisant $a=0$ dans la valeur de $\sum \mathrm {A} e^{-ak},$ on a $\sum \mathrm {A} =1\,;$ on aura donc enfin

$\varphi ={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+\operatorname {F} \left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}.$

Quant à la première partie de la valeur de $\varphi ,$ elle se déduit évidemment de la seconde en la multipliant par $dt,$ intégrant par rapport à $t,$ et remplaçant la fonction $\operatorname {F}$ par $f\,;$ si donc on fait, pour abréger, $\int fx\,dx=f_{1}x,$ cette seconde partie transformée sera

$\varphi ={\frac {1}{2{\sqrt {gh}}}}{\Big (}f_{1}\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)-f_{1}\left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}.$

En l’ajoutant à la précédente et observant que $f$ et $\operatorname {F}$ désignent des fonctions arbitraires, on aura, pour la valeur complète de $\varphi ,$ dans le cas d’une profondeur considérée comme infiniment petite,

$\varphi =fonct.(x+t{\sqrt {gh}})+Fonct.(x-t{\sqrt {gh}}).$

Ce résultat coïncide avec la solution du problême des ondes que M. Lagrange a donnée à la fin de la mécanique analytique, et suivant laquelle les ondes se propagent dans un filet d’eau d’une largeur verticale constante, avec une vîtesse indépendante de l’ébranlement primitif et proportionnelle à la racine quarrée de cette largeur. Mais ce cas n’est pas celui qu’il importe de considérer, et pour nous rapprocher des observations les plus communes, nous allons, au contraire, supposer la profondeur du fluide trèsgrande et comme infinie par rapport à l’étendue des oscillations de ses molécules.

(8) En faisant $h$ infinie, l’équation (7) donne $c={\sqrt {ag}},$ et la valeur générale de $\varphi$ devient

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha .e^{-az)}.cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {ga}}}.da\,d\alpha \\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha .e^{-az}.cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da\,d\alpha .\end{aligned}}$

Avant d’aller plus loin, on peut remarquer que cette formule satisfait à l’équation (4), non-seulement pour la valeur particulière $z=0,$ mais même pour une valeur quelconque de $z,$ ainsi qu’il est facile de le vérifier. Or, en différenciant la valeur de $p$ du n^o 1, par rapport à $t,$ on a

${\frac {1}{\rho }}.{\frac {dp}{dt}}=g{\frac {dz}{dt}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=g{\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,;$

quantité nulle en vertu de l’équation (4) ; il s’ensuit donc que quand la profondeur est infinie, la pression $p$ est indépendante du temps ; c’est-à-dire que la même molécule éprouve la même pression pendant toute la durée du mouvement ; propriété qui n’aurait pas lieu dans le cas d’une profondeur finie quelconque.

(9) Pour pouvoir faire usage de cette valeur de $\varphi ,$ il faut connaître les deux fonctions désignées par $f$ et $\operatorname {F}$ qu’elle renferme. On a supposé ${\frac {d\varphi }{dt}}=fx,$ quand $z=0$ et $t=0\,;$ si donc on compte le temps $t$ à partir de l’origine du mouvement, l’équation de la surface à cette origine sera, d’après l’équation (3), $gz'-fx=0\,;$ et comme elle doit être donnée dans chaque cas particulier, il s’ensuit que $fx$ sera aussi connue. Quant à $\operatorname {F} x,$ elle représente la valeur de $\varphi$ qui répond à $t=0\,;$ il serait aisé de prouver que cette quantité exprime la percussion qui a lieu à la surface du fluide, et qui imprime à ses molécules leurs vîtesses initiales : on pourrait donc aussi la supposer donnée en fonction de $x\,;$ mais pour éviter quelques difficultés que présente le cas des vîtesses initiales, nous nous bornerons à considérer celui où le fluide part du repos, et où par conséquent ces vîtesses sont nulles dans toute l’étendue de la masse fluide.

Dans ce cas, la fonction désignée par $\operatorname {F}$ sera nulle, ce qui fera disparaître la seconde partie de la valeur de $\varphi \,;$ de plus, nous mettrons $gfx$ à la place de $fx,$ afin que l’équation de la surface initiale soit $z'=fx,$ et que $fx$ représente l’ordonnée verticale d’un point quelconque de cette surface. Nous aurons alors

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\iint f\alpha .e^{-az}cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t.{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da\,d\alpha .\qquad$(10).

Ainsi que nous l’avons expliqué au commencement de ce Mémoire, les ondes dont nous aurons à examiner la propagation seront censées produites par l’immersion d’un corps d’une forme donnée. Le fluide étant contenu dans un canal vertical, et les molécules ne devant pas avoir de vîtesse dans le sens de sa largeur, il faudra que ce corps soit un cylindre horizontal perpendiculaire aux parois du canal, et qui en occupe la largeur entière : on l’enfonce dans le fluide jusqu’à une certaine profondeur, et après avoir donné au fluide le temps de revenir à l’état de repos,. on retire subitement le cylindre et l’on abandonne le fluide à l’action de la pesanteur. L’immersion du cylindre détermine la figure initiale du fluide, en sorte que $fx,$ dans la partie où elle n’est pas nulle, est égale à l’ordonnée du contour de la partie plongée de la base, l’axe des $x$ étant la section à fleur d’eau de cette même base. Nous fixerons l’origine de ces abscisses, au milieu de cette section dont nous représenterons la largeur totale par $2l\,;.$ de cette manière $fx$ sera nulle pour toutes les valeurs positives ou négatives de $x,$ qui tomberont hors des limites $x=\pm l,$ et l’intégrale relative à $\alpha ,$ ne devra être prise que depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l$ (n^o 5).

Avant de développer les lois de la propagation de cet ébranlement, soit à la surface, soit dans l’intérieur du fluide, nous allons donner diverses transformations de l’équation (10), qui nous seront utiles dans cette discussion.

(10) Si nous mettons pour le cosinus compris sous l’intégrale double, son expression en exponentielles imaginaires, et que nous fassions

$a=u^{2},\qquad z+(x-\alpha ){\sqrt {-1}}=k,\qquad z-(x-\alpha ){\sqrt {-1}}=k',$

nous aurons

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\iint f\alpha \left(e^{-ku^{2}}+e^{-k'u^{2}}\right).sin.ut{\sqrt {g}}.du\,d\alpha ,$

et les limites relatives à $u$ seront encore zéro et l’infini ;

Soit, pour abréger,

$\int e^{-ku^{2}}.sin.ut{\sqrt {g}}.du=y,\qquad \int e^{-k'u^{2}}.sin.ut{\sqrt {g}}.du=y'\,;$

il en résultera

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\int f\alpha .(y+y')d\alpha \,;$

et il suffira de transformer l’expression de $y\,;$ celle de $y'$ s’en déduira en y changeant $k$ en $k'.$

Or, en différenciant par rapport à $t,$ on a

${\frac {dy}{dt}}={\sqrt {g}}.\int e^{-ku^{2}}.cos.ut{\sqrt {g}}.du\,;$

intégrant par parties, et ayant égard aux limites $u=0$ et $u={\frac {1}{0}},$ il vient

${\frac {dy}{dt}}={\frac {\sqrt {g}}{2k}}-{\frac {gt}{2k}}.\int e^{-ku^{2}}.sin.tu{\sqrt {g}}.du\,:$

pour déterminer $y,$ on aura donc

${\frac {dy}{dt}}+{\frac {gt}{2k}}.y={\frac {\sqrt {g}}{2k}}.$

J’intègre cette équation, ce qui donne

$y={\frac {\sqrt {g}}{2k}}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}.\int e^{\frac {gt^{2}}{4k}}dt\,;$

et l’intégrale devra être prise de manière qu’elle s’évanouisse quand $t=0,$ puisqu’alors on doit avoir $y=0.$ En mettant $tv$ à la place de $t,$ cette valeur de $y$ devient

$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k}}}dv\,;$

l’intégrale étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ On aura semblablement

$y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k'}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k'}}}dv\,;$

substituant ces expressions dans celle de $\varphi ,$ remettant pour $k$ et $k'$ leurs valeurs, et faisant disparaître les imaginaires, il nous vient, toutes réductions faites,

${\begin{aligned}\varphi ={\frac {gt}{\pi }}.\iint &{\frac {f\alpha }{z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{-{\frac {gt^{2}z\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}}\left(z.cos.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right.\\&\left.+(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right)dv\,d\alpha .\qquad \quad (11)\end{aligned}}$

(11) Les valeurs de $y$ et $y'$ se réduisent facilement en séries ordonnées suivant les puissances de $t^{2}.$ Si l’on fait généralement

$\int (1-v^{2})^{n}dv=\mathrm {A} _{n},$

on aura

$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {gt^{2}}{4k}}.\mathrm {A} _{1}+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{2}.{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}-\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{3}.{\frac {\mathrm {A} _{3}}{2.3}}\right.$

$\left.+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{4}.{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}-{\text{etc}}.\right)\,;$

en intégrant par parties, et ayant égard aux limites $v=0$ et $v=1,$ on trouve

$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n}{2n+1}}.A_{n-1}\,;$

et comme on a $\mathrm {A} _{0}=1,$ on en conclut

$\mathrm {A} _{n}={\frac {2^{n}.(1.2.3\ldots n)}{1.3.5.7\ldots 2n+1}}\,;$

d’où il résulte

$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(1-{\frac {1}{1.3}}.{\frac {gt^{2}}{2k}}+{\frac {1}{1.3.5}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{2}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{3}\right.$

$\left.+{\frac {1}{1.3.5.7.9}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{4}-{\text{etc}}.\right).$

En changeant $k$ en $k',$ on aura de même le développement de $y',$ et par suite celui de la fonction $\varphi .$ Cette série sera d’autant plus convergente, que la variable $t$ sera plus petite ; mais quelque petit que soit le temps, il est important d’observer que ce développement de $\varphi$ suivant les puissances de $t,$ sera en défaut relativement aux points de la surface fluide, compris dans l’étendue de l’ébranlement primitif. En effet on aura, par rapport à ces points, $z=0,$ $k=(x-\alpha ){\sqrt {-1}},$ $k'=-(x-\alpha ){\sqrt {-1}}\,;$ de plus, l’abscisse $x$ sera comprise entre les limites $\pm l$ de l’intégrale relative à $\alpha \,;$ par conséquent, les puissances de $x-\alpha ,$ qui seront aux dénominateurs dans les valeurs de $y$ et $y'$ en séries, deviendront nulles entre ces limites, et en même temps les intégrales des termes de ces séries substituées dans la valeur de $\varphi ,$ deviendront infinies. Relativement à ces points particuliers, la fonction $\varphi$ n’est pas susceptible de se développer suivant les puissances de $t,$ non plus que les différences partielles ${\frac {d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}\,;$ et si l’on veut connaître, à un instant quelconque, la vîtesse horizontale ou verticale d’un de ces points, on ne pourra en déterminer la valeur numérique que par la méthode des quadratures, au moyen de l’équation (10) différenciée par rapport à $x$ ou à $z.$

Si, au contraire, on suppose qu’il s’agisse d’un point très-éloigné de l’ébranlement primitif, et si l’on néglige en conséquence $\alpha$ par rapport à $x$ et $z,$ dans les valeurs de $k$ et $k',$ elles se réduiront à $k=z+x{\sqrt {-1}},$ $k'=z-x{\sqrt {-1}},$ et en faisant la somme des valeurs de $y$ et $y'$ en séries, on aura

$y+y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\left(k+k'-{\frac {k^{2}+k_{'2}}{1.3}}.{\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right.$

$\left.+{\frac {k^{3}+k_{'3}}{1.3.5}}.\left({\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right)^{2}-{\frac {k^{4}+k_{'4}}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).$

Donc, en faisant $\int f\alpha \,d\alpha =\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {A}$ soit l’aire du segment plongé qui a produit l’ébranlement, nous aurons

$\varphi ={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi }}.\left({\frac {z}{z^{2}+x^{2}}}-{\frac {\left(z^{2}-x^{2}\right)gt^{2}}{6\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\left(z^{3}-3zx^{2}\right)g^{2}t^{4}}{60\left(z^{2}+x^{2}\right)^{3}}}-{\text{etc}}.\right).$

De-là on tirera des séries semblables et qu’il est inutile d’écrire, pour les valeurs des vîtesses ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}.$ On aurait obtenu la même valeur de $\varphi ,$ au moyen de l’équation (10), en remplaçant, sous le signe intégral, $x-\alpha$ par $x,$ et développant $sin.t{\sqrt {gu}}$ suivant les puissances de $t.$

(12) Ces résultats montrent que dans un fluide incompressible, comme celui que nous considérons, l’ébranlement produit en un point quelconque se transmet instantanément dans toute l’étendue de la masse ; car quelque petit que soit $t,$ et, au contraire, quelque grandes que soient les coordonnées $x$ et $z,$ les vîtesses ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}$ auront toujours des valeurs finies et assignables. Si l’on veut savoir suivant quelles lois le mouvement commence, ou quelles sont les valeurs de ces vîtesses dans le premier moment, il suffira de conserver les premiers termes des séries qui les représentent, et l’on aura simplement

${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {2gt\mathrm {A} }{\pi }}.{\frac {2x}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi }}.{\frac {x^{2}-z^{2}}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}}.$

Appelant $r$ la distance d’une molécule au centre de l’ébranlement, et $\theta$ l’angle que ce rayon $r$ fait avec la verticale menée par ce centre, c’est-à-dire supposant

$z=r.cos.\theta ,\qquad x=r.sin.\theta \,;$

ces vîtesses deviendront

${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {gt\mathrm {A} .sin.2\theta }{\pi \,r^{2}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {gt\mathrm {A} .cos.2\theta }{\pi \,r^{2}}}\,;$

et si nous désignons par $\mathrm {V} ,$ leur résultante, nous aurons

$\mathrm {V} ={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi \,r^{2}}}.$

Ainsi les premières vîtesses des molécules sont les mêmes, à distances égales du lieu de l’ébranlement ; elles suivent la raison inverse du quarré de cette distance, et sont proportionnelles au temps et à l’aire $\mathrm {A} .$ On voit aussi, d’après le rapport de la vîțesse verticale à la vîtesse horizontale, que chaque molécule commence à se mouvoir suivant une direction qui fait avec la verticale un angle $2\theta ,$ double de celui qui répond à la direction du rayon $r.$

(13) est bon de connaître, aussi les lois suivant lesquelles le mouvement finit dans la masse fluide, ou les valeurs des vîtesses qui ont lieu au bout d'un temps très-considérable ; pour cela nous allons chercher à développer la fonction suivant les puissances négatives de $t.$

En faisant $1-v^{2}=u,$ la valeur de $y$ du n^o 10 devient

$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}.\int {\frac {e^{-{\frac {gt^{2}x}{4k}}}du}{\sqrt {1-u}}}\,;$

l'intégrale doit encore être prise depuis $u=0$ jusqu'à $u=1\,;$ mais nous la partagerons en deux portions : la première depuis $u=0$ jusqu'à $u=1-a,$ et la seconde depuis $u=1-a$ jusqu'à $u=1\,;$ la quantité $a$ étant une indéterminée dont nous nous réservons de disposer convenablement.

Par le procédé de l'intégration par parties, on réduit la première portion en cette double série :

${\begin{aligned}&{\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)\\-&{\frac {1}{t{\sqrt {ga}}}}e^{-{\frac {gt^{2}(x-a)}{4k}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}a}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$

La secondę portion sera exprimée par l'intégrale

${\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}\int e^{-{\frac {gt^{2}a}{4k}}}{\frac {da}{\sqrt {a}}},$

qui devra être prise depuis

$a=0$ jusqu’à la valeur indéterminée de $a.$ Or, en faisant

$arc\left(cos.={\frac {z}{\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}}\right)=\psi ,$

la valeur de $k$ prend la forme :

$k={\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{\psi {\sqrt {-1}}}\,;$

et si l’on fait en même temps

$a={\frac {2{\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}}{gt^{2}}}.b^{2},$

on aura, pour la valeur complète de $y,$

$y={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$

$\left.+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)+{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt[{4}]{4x^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}},$

en posant, pour abréger,

$\mathrm {B} =e^{-\psi {\sqrt {-1}}}\int db\,e^{{\frac {b^{2}}{2}}\left(cos.\psi -sin.\psi .{\sqrt {-1}}\right)}$

$+{\frac {1}{b}}e^{{\frac {b^{2}}{2}}\left(cos.\psi -sin.\psi .{\sqrt {-1}}\right)}\left(1+{\frac {e^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {1.3.e^{-2\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{4}}}+{\frac {1.3.5.e^{-3\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{6}}}+{\frac {1.3.5.7.e^{-4\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{8}}}+etc.\right)\,;$

l’intégrale relative à $b$ devant s’évanouir quand $b=0,$ et s’étendre à une valeur indéterminée de cette quantité.

Maintenant on peut prendre $b$ de manière que la série contenue dans $\mathrm {B}$ soit aussi convergente que l’on voudra dans ses premiers termes, ce qui suffit pour en pouvoir calculer la valeur approchée : par la méthode des quadratures, on obtiendra la valeur de l’intégrale relative à $b,$ contenue également dans $\mathrm {B} \,;$ on pourrait donc calculer par approximation la valeur complète de cette quantité ; mais ici, il nous suffira d’observer qu’elle est indépendante de $t\,;$ d’où il résulte que quand $t$ est supposé très-grand, il est permis, en général, de supprimer le terme qui renferme $\mathrm {B}$ dans la valeur de $y,$ à cause du facteur exponentiel $e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}$ qui devient alors extrêmement petit. Je dis en général, parce qu’en remettant pour $k$ sa valeur $z+(x-\alpha ){\sqrt {-1}},$ on a

$e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}=e^{-{\frac {gt^{2}z}{4z^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}}\left(cos.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )}{4z^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}-sin.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )}{4z^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}{\sqrt {-1}}\right).$

Or, en même temps que $gt^{2}$ est très-grand par rapport à $x,$ si cette abscisse est aussi très-grande par rapport à l’ordonnée $z,$ de telle sorte que ${\frac {x}{z}}$ soit du même ordre de grandeur que ${\frac {gt^{2}}{x}},$ il arrivera, que l’exposant négatif du facteur exponentiel cessera d’être très-grand, et le facteur d’être très-petit ; par conséquent il ne sera plus permis de supprimer le terme multiplié par ce facteur. Cette exception aura lieu pour les points de la surface, et généralement pour les points qui sont tels que la droite qui les joint au centre de l’ébranlement primitif fait un très-petit angle avec le niveau du fluide ; en convenant donc de ne pas les considérer, nous pouvons supprimer le terme qui renferme $\mathrm {B} .$ dans la valeur de $y,$ et nous aurons simplement

$y={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$

$\left.+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right).$

Changeant $k$ en $k'$ pour avoir $y',$ l’ajoutant ensuite à $y,$ et remettant pour $k$ et $k',$ leurs valeurs, il vient

$y+y'={\frac {2}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2z}{gt^{2}}}+{\frac {12\left(z^{2}-(x-\alpha )^{2}\right)}{g^{2}t^{4}}}+{\frac {120\left(z^{3}-3z(x-\alpha )^{2}\right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}.\right).$

Si donc on fait

$\int f\alpha .d\alpha =\mathrm {A} ,\qquad \int f\alpha .\alpha d\alpha =\mathrm {A} ',\qquad \int f\alpha .\alpha ^{2}d\alpha =\mathrm {A} '',{\text{ etc}}.,$

la valeur de $\varphi$ du n^o 10 deviendra

$\varphi ={\frac {2}{\pi \,t}}\left(\mathrm {A} +{\frac {2z\mathrm {A} }{gt^{2}}}+{\frac {12\left(\mathrm {A} z^{2}-\mathrm {A} x^{2}+2\mathrm {A} 'x-\mathrm {A} ''\right)}{g^{2}t^{4}}}\right.$

$\left.+{\frac {120\left(\mathrm {A} z^{3}-3\mathrm {A} zx^{2}+6\mathrm {A} 'zx-3\mathrm {A} ''z\right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}\right).$

On déduira de-là pour ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}},$ des valeurs en séries qui seront d’autant plus exactes que le temps sera plus considérable.

En s’en tenant au premier terme de chacune de ces valeurs, afin de connaître les dernières vîtesses des molécules, on aura

${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {48(\mathrm {A} x-\mathrm {A} ')}{\pi \,g^{2}t^{5}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {4\mathrm {A} }{\pi \,gt^{3}}}.$

On voit donc que, vers la fin du mouvement, les vîtesses horizontales sont insensibles par rapport aux vîtesses verticales, puisque celles-ci sont en raison inverse du cube du temps, et les autres en raison inverse de sa cinquième puissance. La valeur de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ étant positive et indépendante des cordonnées $x$ et $z,$ il s’ensuit que le mouvement final est le même pour toutes les molécules que nous considérons, et qu’il se fait dans le sens de la pesanteur.

(14) Il est important d’observer, pour l’exactitude de notre analyse, que le corps dont l’immersion produit l’ébranlement du fluide ne doit jamais être très-enfoncé, c’est-à-dire, que la flèche du segment plongé doit toujours être assez petite par rapport à sa section à fleur d’eau ; car si le contraire avait lieu il est évident que, dans le premier moment, les mêmes molécules ne pourraient plus rester à la surface du fluide ; ce qui détruirait l’hypothèse du n^o 2 sur laquelle est fondée l’une des équations différentielles dont nous sommes partis. Or, quelle que soit la forme du corps, si on le suppose très-peu enfoncé, la courbe qui termine le segment plongé se confondra sensiblement avec sa parabole osculatrice au point le plus bas ; dans ce cas,, on pourra donc prendre pour $fx,$ qui représente l’ordonnée verticale de cette courbe, une valeur de cette forme :

$fx={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}}\,;$

$h$ étant la flèche du segment plongé, et $l$ représentant, comme dans le n^o 9, la demi-largeur de sa base. Au moyen de cette valeur, l’équation (10) du même numéro devient

$\varphi ={\frac {h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\iint \left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)e^{-az}.cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t{\sqrt {g\alpha }}}{\sqrt {a}}}da\,d\alpha \,;\quad$(12)

et l’on devra se rappeler que l’intégrale relative à $\alpha$ doit être prise seulement depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l.$

Cette intégration peut s’effectuer par les règles ordinaires : en ayant égard à ses limites, on trouve

$\varphi ={\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{3}}}.e^{-az}.cos.ax.{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da.$

On déduit de-là, pour l’ordonnée $z'$ de la surface, en vertu de l’équation (3) du n^o 1,

$z'={\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{3}}}.e^{-az}.cos.ax.cos.t{\sqrt {ga}}.da\,;$

et pour l’expression des vîtesses horizontale et verticale d’une molécule quelconque

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dx}}&=-{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{2}}}.e^{-az}.sin.ax.{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da,\\{\frac {d\varphi }{dz}}&=-{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{2}}}.e^{-az}.cos.ax.{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da.\end{aligned}}$

Ces diverses intégrales relatives, à $a$ ne peuvent pas s’obtenir sous forme finie ; mais on peut assigner des limites à leurs valeurs qui auront l’avantage de prouver que cette ordonnée et ces vîtesses demeurent toujours très-petites et de l’ordre de la quantité $h\,;$ ce qui est aussi très-important pour l’exactitude de notre analyse ; car si les vîtesses des molécules pouvaient cesser d’être très-petites pour certaines valeurs de $x,\,z$ et $t,$ les équations différentielles des n^os1 et 2 ne seraient plus exactes, et l’on serait fondé à douter des résultats qui s’en déduisent, même pour d’autres valeurs de ees variables.

(15) Pour obtenir les limites dont nous parlons, j’observe que chaque intégrale devant être prise depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ on peut la partager en deux portions : l’une depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{l}},$ et l’autre depuis $a={\frac {1}{l}}$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ Dans la première partie, on a

$sin.al-al.cos.al<{\frac {a^{3}l^{3}}{3}},$

comme on peut s’en assurer par le développement en série ; dans la seconde, on pourra supposer

$sin.al-al.cos.al<1+al\,;$

d’ailleurs l’exponentielle $e^{-az}$ et les sinus et cosinus de $ax$ et de $t{\sqrt {ag}},$ sont toujours moindres que l’unité ; mettant donc l’unité à la place de chacune de ces quantités, et remplaçant le facteur $sin.al-al.cos.al,$ par les limites de sa valeur, on en conclura, abstraction faite du signe,

${\begin{aligned}z'<&{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}da}{3}}+{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}}},\\{\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}&{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}{\sqrt {a}}da}{3}}+{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}$

les intégrales indiquées par $\int '$ devant être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{l}},$ et les autres, depuis $a={\frac {1}{l}}$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ En effectuant le calcul, on trouve

$z'<{\frac {22h}{3\pi }},\qquad {\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {104h}{9\pi \,l}}.{\sqrt {gl}},$

pour les limites demandées.

(16) Il est encore bon de vérifier que la valeur de $z'$ qui répond à $t=0,$ coïncide avec la valeur initiale de cette ordonnée, savoir :

$z'={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}},\qquad {\text{ou}}\qquad z'=0,$

selon que la variable $x$ est comprise entre $-l$ et $+l,$ ou qu’elle tombe hors de ces limites.

Pour cela, après avoir fait $t=0$ dans l’expression générale de $z',$ j’observe qu’on peut l’écrire sous cette forme :

${\begin{aligned}z'&={\frac {2h}{\pi \,l^{2}}}\left[\int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a.^{3}}}da\right.\\&-x\int {\frac {1-cos.a(l+x)}{a^{2}}}.da+\int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a.^{3}}}.da\\&+\left.x.\int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da\right]\,;\end{aligned}}$

ces quatre intégrales étant toujours prises depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ Or, d’après une formule connue, on a, entre ces limites,

$\int {\frac {sin.ay}{a}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}},$

en prenant le signe $+$ ou le signe $-,$ suivant que la quantité $y$ est positive ou négative ; si donc, pour fixer les idées, on suppose $x$ positive ; que l’on multiplie cette équation par $dy,$ et qu’on intègre ensuite par rapport à $y,$ depuis $y=0$ jusqu’à $y=l+x,$ on en conclura

$\int {\frac {1-cos.a(1+x)}{a^{2}}}.da={\frac {\pi }{2}}(l+x).$

De même, si l’on change la formule citée, en celle-ci :

$\int {\frac {a^{2}y.sin.ay}{a^{3}}}.da={\frac {\pi \,y}{2}}\,;$

qu’on la multiplie encore par $dy,$ et qu’on intègre depuis $y=0$ jusqu’à $y=l+x,$ on aura

$\int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a^{3}}}.da={\frac {\pi }{4}}(x+l)^{2}.$

On trouvera de même, en intégrant ces formules depuis $y=0$ jusqu’à $y=l-x,$

$\int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}}(l-x),$

$\int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a^{3}}}.da=\pm {\frac {\pi }{4}}(l-x)^{2}\,;$

pourvu que l’on prenne les signes supérieurs, quand $l-x$ est positive, et les inférieurs, dans le cas contraire.

Je substitue les valeurs de ces quatre intégrales, dans $z'\,;$ en faisant les réductions, il vient

$z'={\frac {h}{2l^{2}}}\left[l^{2}-x^{2}\pm \left(l^{2}-x^{2}\right)\right]\,;$

le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, suivant qu’on a $x<l$ ou $x>l\,:$ on aura donc, dans le premier cas, $z'={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}},$ et dans le second, $z'=0\,;$ ce qu’on se proposait effectivement de vérifier.

§ III.

Propagation des ondes à la surface, dans le cas d’un canal vertical, d’une largeur constante et d’une très-grande profondeur.

(17) En supposant le corps qui a produit les ondes, très-peu enfoncé dans le fluide, les lois de leur propagation apparente à sa surface, dépendent, dans le cas que nous considérons, de la valeur de $z',$ déduite immédiatement de l’équation (12). Nous aurons de cette manière

$z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint \left(l^{2}-x^{2}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da\,d\alpha \,;$

l’intégrale double étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ et depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l.$

Il est aisé de voir, d’après cette expression, que les valeurs de $z'$ seront égales et de mêmes signes, pour des valeurs de x égales et de signes contraires ; la propagation des ondes est donc semblable de part et d’autre de l’ébranlement primitif, et il nous suffira, par exemple, d’examiner ce qui a lieu dans le sens des $x$ positives. Relativement aux points voisins de cet ébranlement, les valeurs de $z'$ ne présentent rien de remarquable ; ce n’est que dans la partie qui en est éloignée, que la propagation se fait suivant des lois régulières qui méritent d’être déterminées : nous supposerons donc, dans ce qui va suivre, la variable $x$ positive et très-grande par rapport à la demi-largeur $l$ de l’ébranlement primitif, et, par conséquent aussi, très-grande par rapport à la variable $\alpha .$

(18) Cela posé, voici comment on peut transformer l’intégrale relative à $a,$ dont les limites sont zéro et l’infini, en une autre plus simple dont les limites seront zéro et l’unité.

En faisant $a=v^{2},$ les limites relatives à $v$ restent les mêmes que part rapport à $a,$ et l’on a

${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da&=\int cos.\left(v^{2}(x-\alpha )+vt{\sqrt {g}}\right)dv\\&+\int cos.\left(v^{2}(x-\alpha )-vt{\sqrt {g}}\right).dv.\end{aligned}}$

Dans la première de ces deux intégrales relatives à $v,$ faisons

$v{\sqrt {x-\alpha }}+{\frac {t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}={\frac {v't{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}},$

et dans la seconde

$v{\sqrt {x-\alpha }}-{\frac {t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}={\frac {v''t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}\,;$

nous aurons

${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha )&.cos.t.{\sqrt {ga}}.da=\\&\quad {\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(v^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(v'-1)dv'\\&+{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(v^{''2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(v''-1)dv''\,;\end{aligned}}$

et comme à $v=0$ répondent $v'=1$ et $v''=-1,$ et que pour $v={\frac {1}{0}},$ on a $v'={\frac {1}{0}},$ $v''={\frac {1}{0}},$ il s’ensuit que la première de ces deux nouvelles intégrales sera prise depuis $v'=1$ jusqu’à $v'={\frac {1}{0}},$ et la seconde, depuis $v''=-1$ jusqu’à $v''={\frac {1}{0}}.$ Or, en considérant ces limites avec un peu d’attention, il est facile de voir que la somme de ces deux intégrales définies est équivalente à celle-ci :

${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t&{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(u^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'\\&+{\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(1-u)du\end{aligned}}$

l’intégrale relative à $u'$ étant prise depuis $u'=0$ jusqu’à $u'={\frac {1}{0}},$ et l’autre, depuis $u=0$ jusqu’à $u=1.$ Mais par rapport à ces limites, on a

${\begin{aligned}&\int cos.\left({\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'=0,\quad \int sin.{\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}.u'du'={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}},\\&\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u\,du={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}}.sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\,;\end{aligned}}$

et, en substituant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient ce résultat remarquable :

$\int cos.(ax-a\alpha ).sin.t{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du,\quad (13)$

au moyen duquel la valeur de $z'$ devient

$z'={\frac {hgt^{2}}{2\pi \,l^{2}}}.\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du\,da.\qquad (14)$

Pour qu’il ne puisse rester aucun doute sur cette transformation, il est bon d’observer que cette valeur de $z'$ résulte immédiatement de l’équation (11) du n^o 10, еn y faisant

$f\alpha ={\frac {h\left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)}{l^{2}}}.$

En effet, en vertu de l’équation (3) du n^o 1, on en déduit

$z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}\left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right.$

$\left.+{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv\,d\alpha \,;$

mais on a identiquement

$\int \left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}-{\frac {gt^{2}v^{2}}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv$

$=(x-\alpha )v.\sin .{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\,;$

et comme cette quantité est nulle aux deux limites $v=0$ et $v=1,$ la nouvelle valeur de $z'$ devient la même que la précédente, en y mettant $u$ à la place de $v.$

(19) Lorsque $x$ est très-grande par rapport à $\alpha ,$ nous venons de le supposer, on peut remplacer, hors du cosinus, $x-a$ par $x\,;$ et si, en même temps, la quantité $gt^{2}$ n’est pas très-grande par rapport à $x,$ on peut aussi mettre $x$ à la place de $x-\alpha ,$ sous le cosinus. De cette manière, l’intégration relative à $\alpha$ s’effectue immédiatement : entre les limites $\alpha =-l$ et $\alpha =+l,$ on a $\int \left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)dl={\frac {4l^{3}}{3}}\,;$ et il en résulte pour $z',$ cette valeur approchée :

$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4x}}.du.\qquad$(15)

Elle se réduit sans difficulté en série suivant les puissances de $gt^{2}\,:$ si l’on fait généralement

$\int \left(1-u^{2}\right)^{n}du=\mathrm {A} _{2},$

on aura d’abord

$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{4}\right.$

$\left.-{\frac {\mathrm {A} _{6}}{2.3.4.5.6}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right)\,;$

on trouvera, comme dans le n^o 11,

$\mathrm {A} _{2n}={\frac {4^{n}(1.2.3\ldots 2n)}{1.3.5.7\ldots 4n+1}}\,;$

par conséquent on aura

$z'={\frac {4hl}{3\pi \,x}}\left({\frac {gt^{2}}{2x}}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.3.5.7.9.11}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{5}\right.$

$\left.-{\frac {1}{1.3.5.7.9.11.13}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{7}+{\text{etc}}.\right)\,;$

série que l’on déduirait aussi très-aisément des séries trouvées dans ce même numéro.

En s’en tenant à son premier terme, on aurait

$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}\,;$

valeur positive, qui montre qu’à une distance sensible du lieu de l’ébranlement, le fluide commence par s’abaisser au-dessous de son niveau primitif, et que cet abaissement est d’abord proportionnel au quarré du temps, et en raison inverse du quarré de cette distance.

Si l’on égale à zéro la différentielle de $z',$ prise par rapport à $x,$ on déterminera, pour un instant donné, les points les plus élevés et les plus abaissés de la surface fluide, lesquels seront les sommets des ondes apparentes qui se propageront à cette surface. En faisant, pour abréger,

$\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{2}=p,$

cette équation ${\frac {dz'}{dx}}=0,$ sera

$1-{\frac {2p}{1.3.5}}+{\frac {3p^{2}}{1.3.5.7.9}}-{\frac {4p^{3}}{1.3.5.7.9.11.13}}$

$+{\frac {5p^{4}}{1.3.5.7.9.11.13.15.17}}-{\text{etc}}.=0.\qquad$(16)

Ses racines réelles et positives feront connaître les points dont nous parlons ; elles seront en nombre infini, et formeront une suite continuellement croissante ; mais on devra rejeter toutes les valeurs très-grandes de $p,$ parce que l’équation (15) dont nous sommes partis, suppose que le rapport de $gt^{2}$ à $x,$ et par conséquent $p,$ n’est pas devenu une très-grande quantité.

Relativement à une racine quelconque de cette équation, on aura

$x={\frac {gt^{2}}{2{\sqrt {p}}}},$

où l’on voit que le mouvement apparent de chaque ordonnée maxima ou minima, est analogue à celui des corps pesans dans le vide, avec une vîtesse indépendante de l’ébranlement primitif, et qui sera à celle de ces corps, comme l’unité est à ${\sqrt {p}}.$ Chacune de ces ordonnées ayant ainsi sa vîtesse particulière, les sommets des ondes s’écarteront les uns des autres, à mesure qu’ils s’éloigneront du lieu de l’ébranlement ; et les intervalles entre deux sommets, successifs, qu’on peut prendre pour largeurs des ondes, croîtront en raison directe du quarré du temps. Au contraire, leurs hauteurs, ou les ordonnées de leurs sommets, suivront la

raison inverse de ce quarré, ou, ce qui est la même chose, la raison inverse de leur distance au lieu de l’ébranlement ; car si l’on met dans la valeur de $z'$ en série, une des valeurs de

${\frac {gt^{2}}{2x}},$ que donne l’équation précédente, on aura évidemment un résultat de cette forme :

${\overline {z}}'={\frac {hl}{gt^{2}}}.\mathrm {P} \quad {\text{ou}}\quad z'={\frac {hl}{x}}.\mathrm {P} '\,;$

$\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ désignant des quantités numériques, indépendantes de $x$ et de $t.$

(20) Parmi ces ondes successives, la plus importante à considérer, est celle dont le mouvement est le plus rapide, ou qui précède toutes les autres, parce qu’encore bien que le mouvement se transmette instantanément dans toute la masse fluide, cependant c’est à cette onde qu’on peut rapporter le premier ébranlement sensible de la surface aux points où elle parvient. Elle répond à la plus petite racine de l’équation (16) ; or, après un très-petit nombre d’essais, on trouve que cette racine est comprise, entre $9{,}4$ et $9{,}5\,;$ et, par la méthode ordinaire, on obtient, pour sa valeur approchée, $p=9{,}4482.$ On aura donc, pour le mouvement du sommet de la première onde,

$x={\frac {gt^{2}}{2}}(0{,}3253)\,;$

ce qui montre que ce point se propage avec une vîtesse qui est un peu moindre que le tiers de celle des corps pesans. On trouve pour son ordonnée, calculée au moyen de la série précédente et correspondante à cette racine de l’équation (16),

$z'={\frac {hl}{gt^{2}}}(3{,}6777),\quad {\text{ou}}\quad z'={\frac {hl}{x}}(0{,}5982).$

La seconde racine de cette équation est comprise entre $71$ et $72\,;$ en prenant $p=71{,}5,$ on a, pour le mouvement de la deuxième onde, rapporté à son sommet,

$x={\frac {gt^{2}}{2}}(0{,}1183),$

et pour l’ordonnée verticale de ce point,

$z'=-{\frac {hl}{gt^{2}}}.(25{,}114),\quad {\text{ou}}\quad z'=-{\frac {hl}{x}}(1{,}4512).$

(21) La variable $x$ étant toujours très-grande par rapport à $\alpha ,$ lorsque ${\frac {gt^{2}}{4}}$ est aussi devenue très-grande relativement à $x,$ de manière que le rapport ${\frac {gt^{2}}{4x}}$ soit du même ordre que ${\frac {x}{\alpha }},$ il n’est plus permis de remplacer, dans l’équation (14), $x-\alpha$ par $x$ sous le cosinus qu’elle renferme ; car on a, à très-peu près,

${\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}={\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4x}}+{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)u}{4x^{2}}}\,;$

et quelque grand que soit le premier terme, si l’on en retranche la somme des circonférences entières qu’il contient, il devient du même ordre que le second ; par conséquent, celui-ci ne peut plus être négligé par rapport au premier. Pour effectuer, dans ce cas, l’intégration relative à $u,$ nous allons d’abord intégrer depuis $u=0$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}}\,;$ ensuite depuis $u=1$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}}\,;$ puis nous retrancherons le second

résultat du premier, ce qui donnera l’intégrale prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$

Or, relativement aux limites $u=0$ et $u={\frac {1}{0}},$ on a, par les formules connues,

${\frac {gt^{2}}{(x-a)^{2}}}\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du=$

${\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\right).$

En intégrant par parties, on aura

${\frac {gt^{2}}{(x-a)^{2}}}\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.{\frac {u\,du}{u}}=-{\frac {2}{(x-\alpha )u}}.sin.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}$

$-{\frac {2}{x-\alpha }}.\int sin.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.{\frac {du}{u^{2}}},$

Si l’on continue de même et qu’on passe ensuite aux limites, $u=1$ et $u={\frac {1}{0}},$ on obtiendra une série ordonnée suivant les puissances négatives de $gt^{2}\,;$ en la retranchant de la première portion de notre intégrale, il vient, pour sa valeur complète,

$\left.{\begin{aligned}{\frac {gt^{2}}{(x-a)^{2}}}&\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du=\\&\quad {\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\right)\\&-{\frac {4}{gt^{2}}}-{\frac {3.5.16(x-\alpha )^{2}}{g^{3}t^{6}}}-{\frac {3.5.7.9.64(x-\alpha )^{4}}{g^{5}t^{1}0}}-{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}$(17)

On vérifie, par ce résultat, la nécessité de conserver $x-\alpha$ sous les cosinus et sinus ; car si l’on y mettait $x$ à la place de $x-\alpha ,$ la valeur de $z',$ donnée par l’équation (14), deviendrait infinie pour $t$ infini, ee qui serait une absurdité.

Après qu’on aura substitué cette valeur de l’intégrale relative à $u,$ dans l’équation (14), il restera à effectuer l’intégration relative à $\alpha ,$ dont les limites seront $\pm l.$ Pour cela, je fais

$\alpha =lv,\qquad {\frac {gt^{2}l}{4x^{2}}}=k\,:$

dans le cas que nous examinons, $k$ sera une quantité qui pourra avoir une valeur quelconque, puisque ${\frac {gt^{2}}{4x}}$ est supposée très-grande et du même ordre que ${\frac {x}{l}}.$ Nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {t{\sqrt {g}}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {l}}}\left({\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {3}{2}}.{\frac {lv}{x{\sqrt {x}}}}+{\text{etc}}.\right),\\{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}&={\frac {gt^{2}}{4x}}+kv+{\frac {klv^{2}}{x}}+{\text{etc}}.,\\{\frac {4}{gt^{2}}}&={\frac {l}{kx^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et si nous supposons la fraction ${\frac {l}{x}}$ assez petite pour qu’on puisse négliger tous les termes dont elle est facteur, l’équation précédente se réduira à

$z'={\frac {h{\sqrt {kl}}}{\sqrt {2\pi \,x1}}}.\left[\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right).\int \left(1-v^{2}\right).cos.kv.dv\right.$

$\left.\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}-sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right).\int \left(1-v^{2}\right).sin.kv.dv\right]\,;$

les intégrales étant prises depuis $v=-1$ jusqu’à $v=1.$ Mais entre ces limites, l’intégrale $\int \left(1-v^{2}\right).sin.kv.dv$ est nulle, parce qu’elle est la somme d’élémens deux à deux égaux et de signes contraires ; d’ailleurs, par les méthodes connues, on trouve

$\int \left(1-v^{2}\right).cos.kv.dv.={\frac {4}{k^{3}}}(sin.k-k.cos.k)\,;$

on aura donc enfin

$z'={\frac {4h{\sqrt {kl}}}{k^{3}{\sqrt {2\pi \,x}}}}.(sin.k-k.cos.k)\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right)\,;$

expression qui devient nulle, comme cela doit être, lorsque $t$ et par suite $k$ deviennent infinies.

Pour une valeur donnée de cette quantité $k,$ l’ordonnée $z'$ diminue à mesure que $x$ augmente, mais seulement dans le rapport de ${\sqrt {l}}$ à $\sqrt{x};$