Mémoire sur les lois du mouvement des fluides/II

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Académie des sciences (France)

II. Équations de l’équilibre des fluides.

Pour exprimer les conditions de l’équilibre d’une portion de fluide conformément aux notions établies ci-dessus, on considérera une molécule placée au point dont les coordonnées sont et une molécule placée au point très voisin du premier, dont les coordonnées sont On nommera la distance des deux points, en sorte que La force répulsive qui s’établit entre ces deux molécules dépend de la situation du point puisqu’elle doit balancer la pression, qui peut varier dans les diverses parties du fluide. Elle dépend de la distance et, comme toutes les actions moléculaires, décroît très rapidement quand cette distance augmente. On désignera cette force par la fonction à laquelle on attribuera cette propriété, et qui doit être regardée aussi comme dépendante des coordonnées Cela posé, chaque molécule du fluide est sollicitée par des forces semblables, émanant de toutes les molécules qui l’entourent. Nous supposons également cette molécule sollicitée par des forces accélératrices dont les composantes, dans le sens de chaque axe, seront désignées par ces lettres représentant les valeurs des forces, données en unités de poids, et rapportées à l’unité de volume. Il s’agit de trouver les conditions de l’équilibre entre toutes ces forces, et pour cela d’exprimer la somme de leurs moments, et d’égaler cette somme à zéro.

Si, le fluide étant supposé en équilibre, on imprime au système un mouvement très petit, par l’effet duquel la molécule soit déplacée dans le sens de chaque axe des quantités que nous regardons comme des fonctions de la molécule sera déplacée dans les mêmes directions des quantités


Par conséquent, désignant les accroissements des distances qui ont lieu par l’effet de ce mouvement, on a


Mais on a


donc

Le produit représente le moment de la force agissant entre les deux molécules considérée comme étant appliquée au point plus le moment de la même force, considérée comme étant appliquée au point Nous prendrons d’abord la somme des produits semblables, donnés par les forces qui agissent entre la molécule et toutes celles qui l’entourent ; et nous remarquerons qu’il existe autour du point huit points, situés tous à la même distance et pour lesquels les coordonnées relatives ont des valeurs qui diffèrent deux à deux seulement par le signe de l’une des coordonnées. Donc, en ajoutant d’abord les huit valeurs du produit qui répondent à ces huit points, il viendra


Il ne reste plus qu’à intégrer par rapport à dans l’étendue du huitième de sphère où ces quantités n’ont que des valeurs positives. Pour cela on changera ces coordonnées en coordonnées polaires, et désignant par l’angle du rayon avec sa projection sur le plan des par l’angle que forme cette projection avec l’axe des on aura


Substituant ces valeurs dans l’expression précédente ; multipliant par l’élément de volume et intégrant entre les limites convenables, il vient


ou bien, parce que

Posant maintenant en désignant par une quantité qui ne dépend pas de la distance mais seulement des coordonnées qui déterminent la situation de la molécule et qui mesure la résistance opposée à la pression qui tend à rapprocher les parties du fluide, on aura définitivement


pour l’expression de la somme des moments des forces agissant entre la molécule et toutes celles qui l’entourent.

Pour obtenir maintenant l’expression de la somme des moments de toutes les forces répulsives existantes entre les molécules du fluide, on devra multiplier l’expression précédente par l’élément de volume et intégrer par rapport à dans toute l’étendue du fluide. Il suit de là que l’équation exprimant les conditions de l’équilibre du système est


Nous remarquerons ici que, par le calcul précédent, on prend deux fois la somme des mêmes moments des forces intérieures ; puisque la somme des moments des deux forces agissant suivant la ligne représentée par est comptée par rapport à la molécule et par rapport à la molécule Mais cela est indifférent pour le résultat, puisque le facteur qu’il faudrait appliquer au premier terme de l’équation, peut être supposé compris dans la quantité dont la valeur absolue dépend toujours de la grandeur des forces appliquées au fluide.

En intégrant par parties le premier terme de l’équation précédente, elle se changera en


en marquant d’un et de deux accents les lettres représentant les quantités appartenant aux limites des intégrales.

On a donc en premier lieu, pour les conditions de l’équilibre d’un point quelconque de l’intérieur du fluide, les équations indéfinies


qui signifient que les expressions des forces données en fonction de doivent être respectivement les différentielles partielles prises par rapport à à à d’une même fonction de ces coordonnées. La différentielle complète de cette fonction est donc

et l’on a par conséquent

formule où la fonction sous le signe doit être nécessairement susceptible d’une intégration exacte, pour que le fluide soumis à l’action des forces représentées par puisse demeurer en équilibre. Si aucune force n’était appliquée aux points intérieurs du fluide, la valeur de devrait être constante dans toute l’étendue de ce corps.

En second lieu, à l’égard des points appartenant à la surface, si l’on désigne par les angles que forme un plan tangent à la surface mené au point dont les coordonnées sont avec les plans des des et des et par l’élément différentiel de la surface, on pourra remplacer par par et par (Voyez la Mécanique analytique, 1re partie, section VII, art. 29 et 30). La partie de l’équation qui est relative à ces points devient donc


On en conclut que dans la partie de la surface qui est libre, où les variations des coordonnées de chaque point sont entièrement indéterminées, on doit avoir Ainsi, la figure que doit affecter cette partie de la surface est donnée en termes finis par l’équation


l'équation différentielle est

en sorte que la résultante des forces agissant sur chaque molécule du fluide placée à la surface libre, doit être dirigée suivant la normale à cette surface.

Dans la partie où la surface du fluide est formée par une paroi solide et fixe, les molécules qui s’y trouvent placées ne pouvant se mouvoir dans le sens de la paroi, on a entre les variations la relation


en vertu de laquelle les termes de l’équation précédente disparaissent d’eux-mêmes en sorte qu’il n’existe aucune condition particulière relative à cette partie de la surface.

Les lois de l’équilibre des fluides, énoncées ci-dessus, sont conformes à celles que les géomètres ont établies d’après le principe de l’équilibre des canaux, ou en supposant le fluide décomposé en éléments rectangulaires infiniment petits, et exprimant que chacun de ces éléments, soumis à l’action des pressions exercées sur ses faces, et des forces accélératrices appliquées aux molécules, doit être en équilibre. La considération des forces répulsives que la pression développe entre les molécules, dont M. de Laplace avait déjà déduit les équations générales du mouvement des fluides, dans le XIIe livre de la Mécanique céleste, paraît dépendre plus immédiatement des notions physiques que l’on peut se former sur la nature de ces corps.