Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Recherches sur les suites récurrentes dont les termes varient de plusieurs manières différentes

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur les suites récurrentes dont les termes varient de plusieurs manières différentes, ou sur l’Intégration des équations linéaires aux différences finies et partielles ; et sur l’usage de ces équations dans la théorie des hasards

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 151-251).

RECHERCHES

SUR

LES SUITES RÉCURRENTES

DONT LES TERMES VARIENT DE PLUSIEURS MANIÈRES DIFFÉRENTES,
OU SUR L’INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENCES FINIES PARTIELLES ;
ET SUR L’USAGE DE CES ÉQUATIONS DANS LA THÉORIE DES HASARDS^[1].

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1775.)

J’ai donné, dans le premier volume des Mémoire de la Société des Sciences de Turin, une méthode nouvelle pour traiter la théorie des suites récurrentes, en la faisant dépendre de l’intégration des équations linéaires aux différences finies^[2]. Je me proposais alors de pousser ces Recherches plus loin, et de les appliquer principalement à la solution de plusieurs Problèmes de la théorie des hasards ; mais d’autres objets m’ayant depuis fait perdre celui-là de vue, M. de Laplace m’a prévenu, en grande partie, dans deux excellents Mémoires sur les suites récurro-récurrentes, et sur l’intégration des équations différentielles finies et leur usage dans la théorie des hasards, imprimés dans les volumes VI et VII des Mémoires présentés à l’Académie des Sciences de Paris. Je crois cependant qu’on peut encore ajouter quelque chose au travail de cet illustre Géomètre, et traiter le même sujet d’une manière plus directe, plus simple et surtout plus générale c’est l’objet des Recherches que je vais donner dans ce Mémoire ; on y trouvera des méthodes nouvelles pour l’intégration des équations linéaires aux différences finies et partielles, et l’application de ces méthodes à plusieurs Problèmes intéressants du Calcul des probabilités ; mais il n’est question ici que des équations dont les coefficients sont constants, et je réserve pour un autre Mémoire l’examen de celles qui ont des coefficients variables.

Article I^er. — Des suites récurrentes simples, ou de l’intégration des équations linéaire aux différences finies entre deux variables.

Quoique la théorie des suites récurrentes ordinaires soit assez connue, je crois devoir commencer par la traiter en peu de mots pour servir comme d’introduction à celle des suites récurro-récurrentes qui fait le principal objet de ce Mémoire. D’ailleurs j’aurai soin de n’employer, autant qu’il sera possible, que des méthodes nouvelles et plus simples que celles qu’on a déjà.

1. Soit la série

$y_{0},\ y_{1},\ y_{2},\ y_{3},\ldots ,y_{x},\ y_{x+1},\ y_{x+2},\ldots ,$

dans laquelle on ait constamment cette équation linéaire entre $n$ termes successifs

(A)

$\mathrm {A} y_{x}+\mathrm {B} y_{x+1}+\mathrm {C} y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x+n}=0,$

$\mathrm {A,B,C,\ldots ,N}$ étant des coefficients constants quelconques ; ce sera une série récurrente simple de l’ordre $n,$ et l’équation (A) sera l’équation différentielle finie qu’il s’agit d’intégrer pour avoir l’expression du terme générale $y_{x}$ de la série proposée.

Pour cela je suppose

$y_{x}=a\alpha ^{x},$

$a$ et $\alpha$ étant des constantes indéterminées ; j’aurai donc

$y_{x+1}=a\alpha ^{x+1},\quad y_{x+2}=a\alpha ^{x+2},\ldots ,$

et les substitutions étant faites dans l’équation (A), elle deviendra divisible par $a\alpha ^{x}\,;$ et l’on aura après cette division

(B)

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {C} \alpha ^{2}+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}=0.$

On voit par cette équation : 1^o que, puisque le coefficient $a$ ne s’y trouve pas, ce coefficient demeure arbitraire ; 2^o que l’équation étant par rapport à du degré $n,$ elle fournira, en général, $n$ valeurs différentes de $\alpha ,$ que je dénoterai par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ On aura donc ainsi, en prenant aussi différents coefficients $a,b,c,\ldots ,n$ valeurs différentes de $y_{x},$ savoir $a\alpha ^{x},b\beta ^{x},c\gamma ^{x},\ldots \,;$ et, comme l’équation (A) est linéaire, il est facile de voir que la somme de ces différentes valeurs de $y_{x}$ y satisfera aussi. De sorte qu’on aura, en général,

$y_{x}=a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+\ldots \,;$

et comme cette valeur de $y_{x}$ contient $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots ,$ elle sera l’intégrale complète de l’équation (A) du $n$^ième ordre.

2. Si l’on suppose que les $n$ premiers termes de la suite proposée soient donnés, on pourra par leur moyen déterminer les $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots \,;$ il n’y aura pour cela qu’à résoudre les $n$ équations

${\begin{aligned}&y_{0}=a+b+c+\ldots ,\\&y_{1}=a\alpha +b\beta +c\gamma +\ldots ,\\&y_{2}=a\alpha ^{2}+b\beta ^{2}+c\gamma ^{2}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&y_{n+1}=a\alpha ^{n-1}+b\beta ^{n-1}+c\gamma ^{n-1}+\ldots .\end{aligned}}$

Dans le cas de $n=1,$ on a

$a=y_{0}\,;$

dans le cas de $n=2,$ on aura

$a={\frac {y_{1}-\beta y_{0}}{\alpha -\beta }},\quad b={\frac {y_{1}-\alpha y_{0}}{\beta -\alpha }}\,;$

dans le cas de $n=3,$ on aura

$a={\frac {y_{2}-(\beta +\gamma )y_{1}+\beta \gamma y_{0}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}},\quad b={\frac {y_{2}-(\alpha +\gamma )y_{1}+\alpha \gamma y_{0}}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )}},$

$c={\frac {y_{2}-(\alpha +\beta )y_{1}+\alpha \beta y_{0}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}\,;$

et ainsi de suite.

De là et de la théorie connue des équations il est facile de conclure que si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {C} \alpha ^{2}+\mathrm {D} \alpha ^{3}+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}=\mathrm {P} ,\\&\mathrm {B} +\mathrm {C} \alpha +\mathrm {D} \alpha ^{2}+\ldots =\mathrm {Q} ,\\&\mathrm {C} +\mathrm {D} \alpha +\ldots =\mathrm {R} ,\\&\mathrm {D} +\ldots =\mathrm {S} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, en général,

$a={\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}},$

et changeant dans cette expression de $a$ la quantité $\alpha$ en $\beta ,\gamma ,\ldots$ on aura les valeurs des autres coefficients $b,c,\ldots .$

S’il arrive que deux ou plusieurs racines soient égales, il n’y aura qu’à supposer leurs différences infiniment petites, et l’on trouvera, dans le cas de $\beta =\alpha ,$ que les deux termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$

de l’expression de $y_{x}$ deviendront de cette forme

$a'\alpha ^{x}+b'x\alpha ^{x-1},$

${\begin{aligned}a'=&{\frac {{\cfrac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}y_{0}+{\cfrac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y_{1}+{\cfrac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}},\\b'=&{\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

et si l’on a $\gamma =\beta =\alpha ,$ alors les trois termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}$

deviendront

$a''\alpha ^{x}+b''x\alpha ^{x-1}+c''{\frac {x(x-1)}{2}}\alpha ^{x-2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}a''=&{\frac {{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\alpha ^{2}}}y_{0}+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\alpha ^{2}}}y_{1}+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {S} }{d\alpha ^{2}}}y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}}},\\b''=&{\frac {{\cfrac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}y_{0}+{\cfrac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y_{1}+{\cfrac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}}},\\c''=&{\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi du reste.

3. Si dans l’équation proposée (A) les coefficients $\mathrm {A,B,C,\ldots ,N} ,$ au lieu d’être constants, sont des fonctions données de $x,$ que nous désignerons par $\mathrm {A} _{x},\mathrm {B} _{x},\mathrm {C} _{x},\ldots ,\mathrm {N} _{x},$ en sorte que l’on ait l’équation

(C)

$\mathrm {A} _{x}y_{x}+\mathrm {B} _{x}y_{x+1}+\mathrm {C} _{x}y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x}y_{x+n}=0,$

on ne pourra, par la méthode précédente ni par aucune autre méthode connue, l’intégrer en général, à moins qu’elle ne soit que du premier ordre ; mais si l’on suppose qu’on connaisse à posteriori $n$ valeurs parti-

culières de $y_{x},$ que nous désignerons par $\alpha _{x},\beta _{x},\gamma _{x},\ldots ,$ il est visible que l’on aura, en général

$y_{x}=a\alpha _{x}+b\beta _{x}+c\gamma _{x}+\ldots ,$

et que cette expression de $y_{x}$ sera complète, puisqu’elle renferme $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots .$

4. De plus on pourra dans ce même cas trouver l’intégrale complète de l’équation

(D)

$\mathrm {A} _{x}y_{x}+\mathrm {B} _{x}y_{x+1}+\mathrm {C} _{x}y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x}y_{x+n}=\mathrm {X} _{x}$

$\mathrm {X} _{x}$ étant une fonction quelconque de $x.$

Car puisque, dans le cas de $\mathrm {X} _{x}=0,$ on a

$y_{x}=a\alpha _{x}+b\beta _{x}+c\gamma _{x}+\ldots$

pour l’intégrale complète, $a,b,c,\ldots$ étant des constantes, supposons maintenant que les quantités $a,b,c,\ldots$ soient, en général, des fonctions de $x$ que nous désignerons par $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots ,$ en sorte que l’intégrale de l’équation (D) soit

(E)

$y_{x}=a_{x}\alpha _{x}+b_{x}\beta _{x}+c_{x}\gamma _{x}+\ldots \,;$

faisant varier $x,$ on aura

$y_{x+1}=a_{x+1}\alpha _{x+1}+b_{x+1}\beta _{x+1}+c_{x+1}\gamma _{x+1}+\ldots ,$

ou bien, en désignant par la caractéristique $\Delta$ les différences finies, en sorte que

$\Delta a_{x}=a_{x+1}-a_{x},$

et ainsi des autres,

${\begin{aligned}y_{x+1}=&a_{x}\alpha _{x+1}+b_{x}\beta _{x+1}+c_{x}\gamma _{x+1}+\ldots \\&+\alpha _{x+1}\Delta a_{x}+\beta _{x+1}\Delta b_{x}+\gamma _{x+1}\Delta c_{x}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, si je fais

(1)

$\alpha _{x+1}\Delta a_{x}+\beta _{x+1}\Delta b_{x}+\gamma _{x+1}\Delta c_{x}+\ldots =0,$

j’aurai

$y_{x+1}=a_{x}\alpha _{x+1}+b_{x}\beta _{x+1}+c_{x}\gamma _{x+1}+\ldots ,$

comme si les quantités $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots$ n’avaient point varié.

Faisant varier de nouveau $x,$ j’aurai donc

${\begin{aligned}y_{x+2}=&a_{x+1}\alpha _{x+2}+b_{x+1}\beta _{x+2}+c_{x+1}\gamma _{x+2}+\ldots \\=&a_{x}\alpha _{x+2}+b_{x}\beta _{x+2}+c_{x}\gamma _{x+2}+\ldots \\&+\alpha _{x+2}\Delta a_{x}+\beta _{x+2}\Delta b_{x}+\gamma _{x+2}\Delta c_{x}+\ldots ,\end{aligned}}$

et, faisant pareillement

(2)

$\alpha _{x+2}\Delta a_{x}+\beta _{x+2}\Delta b_{x}+\gamma _{x+2}\Delta c_{x}+\ldots =0,$

j’aurai

$y_{x+2}=a_{x}\alpha _{x+2}+b_{x}\beta _{x+2}+c_{x}\gamma _{x+2}+\ldots .$

De même, en faisant varier $x$ et supposant

(3)

$\alpha _{x+3}\Delta a_{x}+\beta _{x+3}\Delta b_{x}+\gamma _{x+3}\Delta c_{x}+\ldots =0,$

on aura

$y_{x+3}=a_{x}\alpha _{x+3}+b_{x}\beta _{x+3}+c_{x}\gamma _{x+3}+\ldots .$

Je continue ainsi à faire varier $x$ et à supposer nulle la partie de $y$ dépendante des variations de $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots$ jusqu’aux équations suivantes inclusivement

${\begin{array}{ll}(n-1)\qquad &\alpha _{x+n-1}\Delta a_{x}+\beta _{x+n-1}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n-1}\Delta c_{x}+\ldots =0,\\&y_{x+n-1}=a_{x}\alpha _{x+n-1}+b_{x}\beta _{x+n-1}+c_{x}\gamma _{x+n-1}+\ldots \,;\end{array}}$

et, faisant encore varier $x$ dans cette dernière équation, j’aurai

${\begin{aligned}y_{x+n}=&a_{x}\alpha _{x+n}+b_{x}\beta _{x+n}+c_{x}\gamma _{x+n}+\ldots \\&+\alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots .\end{aligned}}$

Qu’on substitue maintenant ces valeurs de $y_{x},y_{x+1},\ldots ,y_{x+n}$ dans l’équation (D) ; et comme toutes ces valeurs, excepté la dernière, sont les mêmes que si $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots$ n’avaient pas varié, et que la dernière ne dif-

fère de ce qu’elle serait dans cette hypothèse que par les termes

$\alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots$

qui y sont ajoutés ; que d’ailleurs les valeurs de $y_{x},y_{x+1},\ldots ,$ dans le cas de $\alpha _{x},\beta _{x},\gamma _{x},\ldots$ constantes, satisfont par l’hypothèse à l’équation (C), quelles que soient les valeurs de ces constantes ; il s’ensuit que le premier membre de l’équation (D) se réduira à

$\mathrm {N} _{x}\left(\alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots \right),$

en sorte qu’on aura l’équation

$(n)\qquad \qquad \alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots ={\frac {\mathrm {X} _{x}}{\mathrm {N} _{x}}}.$

On a donc ainsi $n$ équations linéaires (1), (2), (3), …, (n-1), (n) entre les $n$ quantités $\Delta a_{x},\ \Delta b_{x},\ \Delta c_{x},\ldots ,$ d’où l’on tirera les valeurs de ces quantités en fonctions de $x,$ que je désignerai par $\mathrm {P} _{x},\mathrm {Q} _{x},\mathrm {R} _{x},\ldots .$ Donc, passant des différences aux sommes et désignant celles-ci par la caractéristique $\sum$ on aura

$a_{x}=\sum \mathrm {P} _{x},\quad b_{x}=\sum \mathrm {Q} _{x},\quad c_{x}=\sum \mathrm {R} _{x},\ldots ,$

ce qui étant substitué dans la formule (E), il viendra

$y_{x}=\alpha _{x}\sum \mathrm {P} _{x}+\beta _{x}\sum \mathrm {Q} _{x}+\gamma _{x}\sum \mathrm {R} _{x},\ldots$

pour l’intégrale complète de l’équation (D).

il s’ensuit de là que l’équation

$\mathrm {A} _{x}y_{x}+\mathrm {B} _{x}y_{x+1}+\mathrm {C} _{x}y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x}y_{x+n}=\mathrm {X} _{x}$

est géneratement intégrable toutes les fois que l’on connait n valeurs particulières de $y_{x}$ dans le cas de $\mathrm {X} _{x}=0\,;$ Théorème analogue à celui que j’ai donné pour les équations différentielles linéaires dans le tome III des

Mémoires de Turin^[3]. M. le Marquis de Condorcet et M. de Laplace avaient déjà remarqué que ce Théorème sur les équations aux différences infiniment petites était aussi applicable aux cas des différences finies ; et ce dernier en a donné une démonstration générale et ingénieuse, mais un peu compliquée (voyez le tome IV des Mémoires de Turin et les Mémoires présentés à l’Académie des Sciences de Paris en 1773). C’est ce qui m’a engagé à traiter ici cette matière par une méthode nouvelle et aussi simple qu’on puisse le désirer.

5. Remarque. — Les principes de la méthode précédenie peuvent s’appliquer aussi aux équations différentielles ordinaires, et sont, en général, d’un très-grand usage dans tout le Calcul intégral. Quoique ce ne soit pas ici le lieu de nous occuper de cette matière, je vais néanmoins en traiter en peu de mots, me réservant de le faire ailleurs avec plus d’étendue.

Et d’abord, si l’on a une équation linéaire de l’ordre $n$ telle que

$\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {R} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots +\mathrm {V} {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=\mathrm {X} ,$

où $\mathrm {P,Q,R,\ldots ,V}$ et $\mathrm {X}$ soient des fonctions données de $x,$ et qu’on connaisse l’intégrale complète de cette équation dans le cas de $\mathrm {X} =0,$ laquelle sera nécessairement de la forme

$y=ap+bq+cr+\ldots ,$

$a,b,c,\ldots$ étant des constantes arbitraires au nombre de $n,$ et $p,q,r,\ldots$ des fonctions de $x$ où les constantes $a,b,c,\ldots$ n’entrent pas, et qui sont autant de valeurs particulières de $y$ dans l’hypothèse de $\mathrm {X} =0,$ on en pourra déduire aisément l’intégrale complète de la proposée. Car en regardant les arbitraires $a,b,c,\ldots$ comme des variables indéterminées, et supposant nulles dans les valeurs de $dy,d^{2}y,d^{3}y\ldots d^{n-1}y$ les parties

qui dépendent de la variabilité de ces quantités $a,b,c,\ldots$ on aura

${\begin{alignedat}{2}dy\ \ =&adp+bdq+cdr+\ldots ,&0=&pda+qdb+rdc+\ldots ,\\d^{2}y=&ad^{2}p+bd^{2}q+cd^{2}r+\ldots ,&0=&dpda+dqdb+drdc+\ldots ,\\d^{3}y=&ad^{3}p+bd^{3}q+cd^{3}r+\ldots ,&0=&d^{2}pda+d^{2}qdb+d^{2}rdc+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\d^{n-1}y=&ad^{n-1}p+bd^{n-1}q+cd^{n-1}r\qquad &0=&d^{n-2}pda+d^{n-2}qdb+d^{n-2}rdc\\&+\ldots ,&&+\ldots ,\end{alignedat}}$

ensuite

$d^{n}y=ad^{n}p+bd^{n}q+cd^{n}r+\ldots +d^{n-1}pda+d^{n-1}qdb+d^{n-1}rdc+\ldots .$

De cette manière on voit que les expressions de $y,dy,d^{2}y,\ldots d^{n-1}y$ ont la même forme que si $a,b,c,\ldots$ étaient constantes, et que celle de $d^{n}y$ ne diffère de ce qu’elle serait dans ce cas que par les termes

$d^{n-1}pda+d^{n-1}qdb+d^{n-1}rdc+\ldots$

qui y sont ajoutés ; or comme dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, les valeurs de $y,dy,d^{2}y,\ldots d^{n}y$ satisfont par l’hypothèse à l’équation proposée lorsqu’on y suppose $\mathrm {X} =0,$ quelles que soient d’ailleurs les valeurs de ces constantes, il est aisé de conclure que si l’on substitue dans cette équation les valeurs ci-dessus de $y,dy,d^{2}y,\ldots d^{n}y$ tous les termes s’y détruiront, à l’exception des termes de la valeur de $d^{n}y$ qui dépendent de la variation des quantités $a,b,c,\ldots$ et du terme $\mathrm {X} ,$ qui avait été supposé auparavant nul. De sorte qu’on aura, en divisant par $\mathrm {V} ,$ l’équation

$d^{n-1}pda+d^{n-1}qdb+d^{n-1}rdc+\ldots =\mathrm {\frac {X}{V}} dx^{n}\,;$

et cette équation étant combinée avec les $n-1$ équations de condition

${\begin{aligned}&pda+qdb+rdc+\ldots =0,\\&dpda+dqdb+drdc+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&d^{n-2}pda+d^{n-2}qdb+d^{n-2}rdc+\ldots =0,\end{aligned}}$

on en tirera par les règles ordinaires de l’élimination les valeurs des

$n$ différentielles $da,db,dc,\ldots \,;$ et de là on aura par l’intégration celles de $a,b,c,\ldots$ qu’on substituera dans l’expression de $y.$ Ce qui est beaucoup plus simple que tout ce que l’on trouve dans les tomes III et IV des Mémoires de Turin sur cette matière.

En général, si l’on connaît l’intégrale complète d’une équation quelconque de l’ordre $n$ telle que

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =0,$

$\mathrm {P}$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$ on pourra faire servir cette intégrale à trouver celle de l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi ,$

$\Pi$ étant aussi une fonction donnée de $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}.$

Car soit $\mathrm {M} =0$ l’intégrale complète dont il s’agit, $\mathrm {M}$ sera une fonction de $x,y$ et de $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots \,;$ en sorte que $y$ sera réciproquement une fonction de $x$ et des mêmes constantes, laquelle satisfera par conséquent à l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =0,$

quelles que soient les valeurs de ces constantes.

Supposons maintenant que $\mathrm {M} =0$ soit également l’intégrale de l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi ,$

mais en y regardant les quantités $a,b,c,\ldots$ comme variables ; dans cette hypothèse, l’expression de $y$ en $x,a,b,c,\ldots$ sera la même que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, mais celles de $dy,d^{2}y,\ldots$, seront diffërentes cependant, si dans les différentiations successives on suppose nulles les parties des différentielles $dy,d^{2}y,\ldots ,d^{n-1}y$ qui résultent de

la variabilité des quantités $a,b,c,\ldots$ on aura ces $n-1$ équations de condition

${\begin{aligned}&{\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db+{\frac {dy}{dc}}dc+\ldots =0,\\&{\frac {d^{2}y}{dxda}}da+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}db+{\frac {d^{2}y}{dxdc}}dc+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-2}da}}da+{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-2}db}}db+{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-2}dc}}dc+\ldots =0,\end{aligned}}$

au moyen desquelles les valeurs de ces différentielles seront encore les mêmes que si $a,b,c,\ldots$ étaient constantes ; de sorte qu’en substituant ces valeurs ainsi que celle de $y$ dans la quantité $\mathrm {P} ,$ on aura encore la même fonction de $x,a,b,c,\ldots$ que dans le cas où les quantités $a,b,c,\ldots$, seraient constantes. Or comme la valeur de ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ est la même que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, il est clair que celle de $d{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ sera égale à ce qu’elle serait dans le même cas, plus à la variation de ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ due aux quantités $a,b,c,\ldots$ laquelle est

${\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}da}}da+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}db}}db+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}dc}}dc+\ldots \,;$

par conséquent, si l’on dénote par $\mathrm {Y} dx$ la première partie de cette valeur, on aura pour la valeur complète de $d{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ la quantité

$\mathrm {Y} dx+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}da}}da+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}db}}db+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}dc}}dc+\ldots ,$

où $\mathrm {Y}$ sera, après les substitutions, la même fonction de $x,a,b,c,\ldots$ que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes ; mais dans ce cas on a, par l’hypothèse,

$\mathrm {Y+P} =0$

quelles que soient les valeurs de ces constantes ; donc la même équation aura encore lieu dans le cas où les quantités $a,b,c,\ldots$ ne sont pas

constantes ; par conséquent dans ce dernier cas l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi$

deviendra, étant multipliée par $dx,$

${\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}da}}da+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}db}}db+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}dc}}dc+\ldots =\Pi dx.$

nette équation étant combinée avec les $n-1$ équations de condition trouvées ci-dessus, on aura, après avoir substitué partout les valeurs de $y$ et de ses différentielles en $x,a,b,c,\ldots$ tirées de l’équation finie $\mathrm {M} =0,$ valeurs qui sont les mêmes que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, on aura, dis-je, $n$ équations différentielles du premier ordre entre les $n$ variables $a,b,c,\ldots$ et la variable $x\,;$ si donc on intègre ces équations, on aura les valeurs de $a,b,c,\ldots$ en $x,$ qui étant ensuite substituées dans l’équation $\mathrm {M} =0$ donneront l’intégrale de l’équation proposée.

J’avoue que l’intégration des équations en $a,b,c,\ldots$ et $x$ sera le plus souvent très-difficile, du moins aussi difficile que celle de l’équation proposée

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi \,;$

et il n’y a peut-être que le seul cas des équations linéaires que nous avons traitées plus haut, où l’intégration des équations dont il s’agit réussisse, en général, à cause que les constantes $a,b,c,\ldots$ sont aussi nécessairement linéaires dans l’intégrale complète $\mathrm {M} =0\,;$ mais le grand usage de la méthode précédente est pour intégrer par approximation les équations dont on connaît déjà l’intégrale complète à peu près, c’est-à-dire en négligeant des quantités qu’on regarde comme très-petites.

Par exemple, si dans l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi ,$

on suppose que la fonction $\Pi$ soit très-petite vis-à-vis de $\mathrm {P} ,$ et qu’on con-

naisse déjà l’intégrale complète $\mathrm {M} =0,$ dans le cas de $\Pi =0,$ en employant la méthode précédente, et tirant des $n$ équations différentielles en $a,b,c,\ldots$ et $x,$ les valeurs de $da,db,dc,\ldots ,$ on aura des équations de cette forme

$da=\mathrm {A} \Pi dx,\quad db=\mathrm {B} \Pi dx,\quad dc=\mathrm {C} \Pi dx,\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,$ étant des fonctions finies de $x,a,b,c,\ldots ,$ et $\Pi$ étant aussi une fonction des mêmes quantités, mais très-petite par l’hypothèse ; d’où l’on voit que les valeurs de ${\frac {da}{dx}},{\frac {db}{dx}},{\frac {dc}{dx}},\ldots$ sont aussi très-petites du même ordre ; ainsi, en regardant d’abord les quantités $a,b,c,\ldots$ comme constantes, on pourra par les méthodes connues approcher de plus en plus des vraies valeurs de ces quantités.

Il n’est pas à craindre que les fonctions $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ deviennent infinies car cette supposition renferme les conditions nécessaires pour que l’intégrale complète $\mathrm {M} =0$ de l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =0$

en devienne une intégrale particulière ; sur quoi on peut voir mon Mémoire sur les intégrales particulières des équations différentielles^[4].

Il est visible au reste que cette méthode, que je ne fais qu’exposer ici en passant, peut s’appliquer également au cas où l’on aurait plusieurs équations différentielles entre plusieurs variables dont on connaîtrait les intégrales complètes approchées, c’est-à-dire en y négligeant des quantités supposées très-petites. Elle sera par conséquent fort utile pour c\delta lculer les mouvements des planètes en tant qu’ils sont altérés par leur action mutuelle, puisqu’en faisant abstraction de cette action la solution complète du Problème est connue ; et il est bon de remarquer que, comme dans ce cas les constantes $a,b,c,\ldots$ représentent ce qu’on nomme les éléments des planètes, notre méthode donnera immédiatement les variations de ces éléments provenantes de l’action que les planètes exercent les unes sur les autres. J’avais déjà donné un essai de cette méthode dans mes Recherches sur la théorie de Jupiter et de Saturne [Mémoires de Turin, tome III^[5]]. Elle est présentée ici d’une manière plus directe et plus générale ; mais je me propose de la développer ailleurs avec plus d’étendue, et de l’appliquer à la solution de quelques Problèmes importants sur le Système du monde.

Article II. — Des suites récurrentes doubles, ou de l’intégration des équations linéaires aux différences finies et partielles entre trois variables.

6. Supposons que l’on ait une série dont les termes varient de deux manières différentes et forment une espèce de Table à double entrée de cette forme

${\begin{array}{llllll}y_{0,0}&y_{1,0}&y_{2,0}&y_{3,0},\ldots ,&y_{x,0}&y_{x+1,0}\\y_{0,1}&y_{1,1}&y_{2,1}&y_{3,1},\ldots ,&y_{x,1}&y_{x+1,1}\\y_{0,2}&y_{1,2}&y_{2,2}&y_{3,2},\ldots ,&y_{x,2}&y_{x+1,2}\\y_{0,3}&y_{1,3}&y_{2,3}&y_{3,3},\ldots ,&y_{x,3}&y_{x+1,3}\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,\\y_{0,t}&y_{1,t}&y_{2,t}&y_{3,t},\ldots ,&y_{x,t}&y_{x+1,t}\\y_{0,t+1}&y_{1,t+1}&y_{2,t+1}&y_{3,t+1},\ldots ,&y_{x,t+1}&y_{x+1,t+1}\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,\\\end{array}}$

et que l’on ait constammententre les termes de cette série une équation linéaire de cette forme

$\left.{\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} y_{x,t}+&\mathrm {B} y_{x+1,t}&+&\mathrm {C} y_{x+2,t}&+&\ldots &+&\mathrm {N} y_{x+n,t}\\+&\mathrm {B} 'y_{x,t+1}&+&\mathrm {C} 'y_{x+1,t+1}&+&\ldots &+&\mathrm {N} 'y_{x+n-1,t+1}\\&&+&\mathrm {C} ''y_{x,t+2}&+&\ldots &+&\mathrm {N} ''y_{x+n-2,t+2}\\&&&&+&\ldots &&\ldots \ldots \ldots \ldots \\&&&&&&+&\mathrm {N} ^{(n)}y_{x,t+n}\end{alignedat}}\right\}=0,$

dans laquelle $\mathrm {A,B,B',C,C',C'',\ldots ,N,N'} ,\ldots$ soient des coefficients constants quelconques ; la série dont il s’agit sera une série récurrente double de l’ordre $n,$ et l’équation précédente sera une équation linéaire aux différences finies et partielles entre trois variables, de l’intégration de laquelle dépendra la recherche du terme général $y_{x,t}$ de la série.

7. Supposons d’abord que l’équation différentielle proposée n’ait que quatre termes et qu’elle soit de la forme

(F)

$\mathrm {A} y_{x,t}+\mathrm {B} y_{x+1,t}+\mathrm {B} 'y_{x,t+1}+\mathrm {C} 'y_{x+1,t+1}=0.$

Je fais

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t},$

$a,\alpha ,\beta$ étant des constantes indéterminées ; j’aurai ainsi

$y_{x+1,t}=a\alpha ^{x+1}\beta ^{t},\quad y_{x,t+1}=a\alpha ^{x}\beta ^{t+1},\quad y_{x+1,t+1}=a\alpha ^{x+1}\beta ^{t+1}\,;$

substituant ces valeurs et divisant ensuite toute l’équation par $a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ il viendra celle-ci

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {B} '\beta +\mathrm {C} '\alpha \beta =0,$

par laquelle on pourra déterminer l’une des deux constantes $\alpha ,\beta$ par l’autre.

Je tire $\beta$ de cette équation, j’ai

$\beta =-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \,;$

donc, substituant cette valeur de $\beta ,$ j’aurai

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\left(-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \right)^{t},$

où $a$ et $\alpha$ demeurent indéterminées.

Qu’on réduise maintenant la quantité $\left(-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \right)^{t}$ en une série qui procède suivant les puissances de $\alpha ,$ mais en sorte que ces puissances aillent en diminuant, et si l’on suppose, en général,

$\left(-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \right)^{t}=\mathrm {T} \alpha ^{\mu t}+\mathrm {T} '\alpha ^{\mu t-1}+\mathrm {T} ''\alpha ^{\mu t-2}+\mathrm {T} '''\alpha ^{\mu t-3}+\ldots ,$

on aura

$y_{x,t}=\mathrm {T} a\alpha ^{x+\mu t}+\mathrm {T} 'a\alpha ^{x+\mu t-1}+\mathrm {T} ''a\alpha ^{x+\mu t-2}+\ldots .$

Or, comme $a$ et $\alpha$ sont arbitraires, on aura une infinité de valeurs différentes de $y_{x,t},$ et il s’ensuit de ce que l’équation différentielle (F) est linéaire, qu’on pourra également prendre pour $y_{x,t},$ la somme d’autant de ces différentes valeurs qu’on voudra.

Donc, si l’on prend un nombre quelconquede constantes différentes $a,b,c,\ldots ,\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,\ldots ,$ on aura, en général,

${\begin{aligned}y_{x,t}=&\mathrm {T} \left(a\alpha ^{x+\mu t}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t}+c\gamma ^{x+\mu t}+\ldots \right)\\&+\mathrm {T} '\ \ \left(a\alpha ^{x+\mu t-1}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-1}+c\gamma ^{x+\mu t-1}+\ldots \right)\\&+\mathrm {T} ''\ \left(a\alpha ^{x+\mu t-2}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-2}+c\gamma ^{x+\mu t-2}+\ldots \right)\\&+\mathrm {T} '''\left(a\alpha ^{x+\mu t-3}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-3}+c\gamma ^{x+\mu t-3}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Je remarque maintenant qu’à cause du nombre indéfini des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots ,\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,\ldots ,$ la quantité

$a\alpha ^{x+\mu t}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t}+c\gamma ^{x+\mu t}+\ldots$

doit pouvoir représenter une fonction quelconque de $x+\mu t$ que je désignerai par la caractéristique $f$ ainsi, $f(x+\mu t)\,;$ et alors il est visible que les quantités semblables

$a\alpha ^{x+\mu t-1}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-1}+c\gamma ^{x+\mu t-1}+\ldots ,$

$a\alpha ^{x+\mu t-2}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-2}+c\gamma ^{x+\mu t-2}+\ldots ,\ldots$

deviendront

$f(x+\mu t-1),\quad f(x+\mu t-2),\ldots \,;$

donc faisant ces substitutions on aura, en général,

$y_{x,t}=\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-1)+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-2)+\ldots .$

8. La détermination de la forme de la fonction $f(x+\mu t)$ dépend des valeurs de $y_{x,t}$ lorsque $t=0\,;$ en effet, si l’on fait $t=0,$ on a

$\mathrm {T=1,\quad T'=0,\quad T''} =0,\ldots \,;$

donc

$y_{x,0}=f(x).$

D’où il s’ensuit que l’on aura, en général,

$y_{x,0}=\mathrm {T} y_{x+\mu t,0}+\mathrm {T} 'y_{x+\mu t-1,0}+\mathrm {T} ''y_{x+\mu t-2,0}+\ldots ,$

où l’on voit que les quantités $y_{x+\mu t,0},y_{x+\mu t-1,0},\ldots$ sont contenues parmi les termes qui forment le premier rang horizontal de la Table du n^o 6, pourvu qu’on suppose que la série de ce rang soit aussi continuée à gauche de cette manière

$\ldots ,\quad y_{-(x+1),0},\quad y_{-x,0},\quad \ldots ,\quad y_{-3,0},\quad y_{-2,0},\quad y_{-1,0},\quad y_{0,0}.$

Si donc on regarde tous ces termes comme donnés, on aura par la formule précédente la valeur d’un terme quelconque $y_{x,t}$ de la Table dont il s’agit, dans le cas où elle est supposée formée par une loi telle, que l’on ait constamment, entre quatre termes contigus ou disposés en carré, une équation de la forme (F) du n^o 7.

9. Si l’on suppose que tous les termes du premier rang horizontal, qui précèdent $y_{0,0},$ c’est-à-dire les termes de ce rang continué en arrière soient nuls, ce qui peut avoir lieu dans un grand nombre de Problèmes, alors l’expression de $y_{x,t}$ sera toujours composée d’un nombre fini de termes, parce qu’il faudra en rejeter tous ceux où se trouvera $y_{s,0},$ $s$ étant un nombre négatif quelconque. On aura donc dans ce cas

$y_{x,t}=\mathrm {T} y_{x+\mu t,0}+\mathrm {T} 'y_{x+\mu t-1,0}+\mathrm {T} ''y_{x+\mu t-2,0}+\ldots +\mathrm {T} ^{(x+\mu t)}y_{0,0}.$

Dans tous les autres cas la série ira à l’infini, à moins que l’on n’ait $\mathrm {B} '=0$ ou $\mathrm {C} '=0\,;$ parce qu’alors, à cause de $t$ égal à un nombre entier positif, la série des quantités $\mathrm {T,T} ',\ldots$ sera finie et n’aura que $t+1$ termes.

10. Pour montrer, par un exemple connu, l’application de la formule précédente, je prends celui de la Table de Pascal pour les combinaisons, dans laquelle on sait que chaque terme est égal à la somme de celui qui le précède dans le même rang horizontal et de celui qui est au-dessus de ce dernier dans le même rang vertical ; de plus le premier rang horizontal est tout formé d’unités et le premier rang vertical est tout zéro. D’où il s’ensuit qu’on a d’abord, en général, cette équation

$y_{x+1,t+1}=y_{x,t+1}+y_{x,t},$

et qu’ensuite on a

${\begin{alignedat}{2}y_{x,0}=&1,\ \ {\text{tant que}}\ \ &x=0,1,2,\ldots ,\\y_{0,t}=&0,\ \ {\text{tant que}}\ \ &t=1,2,3,\ldots .\end{alignedat}}$

Cette équation étant comparée à celle du n^o 7, on a

$\mathrm {A=1,\quad B=0,\quad B'=1,\quad C'=-1} \,;$

donc

$-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} ={\frac {1}{\alpha -1}}\,;$

ce qui étant élevé à la puissance $t$ donne la série

$\alpha ^{-t}+t\alpha ^{-t-1}+{\frac {t(t+1)}{2}}\alpha ^{-t-2}+{\frac {t(t+1)(t+2)}{2.3}}\alpha ^{-t-3}+\ldots ,$

de sorte qu’on aura dans la formule générale du numéro cité $\mu =-1$ et

$\mathrm {T} =1,\quad \mathrm {T} '=t,\quad \mathrm {T} ''={\frac {t(t+1)}{2}},\ldots .$

Donc, par la formule du n^o 8, on aura, en général,

$y_{x,t}=y_{x-t,0}+ty_{x-t-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}y_{x-t-2,0}+\ldots .$

Mais en faisant $x=0$ on doit avoir, par l’hypothèse, $y_{0,t}=0,$ en supposant $t=1,2,3,\ldots \,;$ donc il faudra que l’on ait, en général,

$y_{-t,0}=ty_{-t-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}y_{-t-2,0}+\ldots ,$

quel que soit $t,$ pourvu que ce soit un nombre entier positif ; d’où il est facile de conclure que l’on doit avoir

$y_{-1,0}=0,\quad y_{-2,0}=0,\ldots ,$

et, en général,

$y_{s,0}=0,$

tant que $s$ sera entier négatif, ce qui est le cas du n^o 9, dans lequel nous avons vu que la série devient finie.

On aura donc, d’après la formule de ce numéro,

$y_{x,t}=y_{x-t,0}+ty_{x-t-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}y_{x-t-2,0}+\ldots +{\frac {t(t+1)\ldots (x-1)}{1.2\ldots (x-t)}}y_{0,0}.$

Telle est l’expression générale d’un terme quelconque de la Table de Pascal, en supposant que les termes qui forment le premier rang horizontal, et qui sont représentés par $y_{0,0},y_{1,0},y_{2,0},\ldots ,$ soient quelconques. Mais dans le cas de la Table de Pascal ces termes sont tous égaux à l’unité ; substituant donc l’unité à la place de ces quantités dans la formule ci-dessus, on aura

$y_{x,t}=1+t+{\frac {t(t+1)}{2}}+{\frac {t(t+1)(t+2)}{2.3}}+\ldots +{\frac {t(t+1)\ldots (x-1)}{1.2\ldots (x-t)}},$

ce qui se réduit, comme l’on sait, à cette expression plus simple

$y_{x,t}={\frac {(t+1)(t+2)(t+3)\ldots x}{1.2.3\ldots (x-t)}}.$

11. Nous avons remarqué ci-dessus que la solution précédente donne, en général, une expression finie de $y_{x,t},$ lorsque $\mathrm {C} '=0$ ou $\mathrm {B} '=0\,;$ examinons donc d’abord ces deux cas.

1^o Soit $\mathrm {C} '=0\,;$ alors l’équation différentielle (F) n’aura que trois termes et sera du premier ordre. Et si l’on fait, pour abréger,

$-\mathrm {\frac {B}{B'}} =p,\quad \mathrm {\frac {A}{B}} =q,$

on aura

$-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'}} =p\alpha \left(1+{\frac {q}{\alpha }}\right),$

ce qui étant élevé à la puissance $t$ et ensuite comparé à la formule générale $\mathrm {T} \alpha ^{\mu t}+\mathrm {T} '\alpha ^{\mu t-1}+\ldots ,$ donnera

$\mu =1,\quad \mathrm {T} =p^{t},\quad \mathrm {T} '=tp^{t}q,\quad \mathrm {T} ''={\frac {t(t-1)}{2}}p^{t}q^{2},\ldots .$

Donc (8)

$y_{x,t}=p^{t}\left[y_{x+t,0}+tqy_{x+t-1,0}+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}y_{x+t-2,0}+\ldots \right].$

On voit ici non-seulement que la série est toujours finie lorsque $t$ est un nombre entier positif, mais encore qu’elle ne contient que des quantités de la forme $y_{s,0},$ $s$ étant positif ; d’où il s’ensuit que dans ce cas il suffit que le premier rang horizontal de la Table du n^o 6 soit donné, pour qu’on puisse déterminer la valeur de $q$uelque terme que ce soit de la même Table.

2^o Supposons que l’on ait $\mathrm {B} '=0\,;$ l’équation différentielle n’aura aussi que trois termes, mais elle sera du second ordre. Faisant dans ce cas

$-\mathrm {\frac {B}{C'}} =p,\quad \mathrm {\frac {A}{B}} =q,$

on aura

$-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{C'\alpha }} =p\left(1+{\frac {q}{\alpha }}\right)\,;$

élevant cette quantité à la puissance $t,$ et comparant avec la formule gé-

nérale, on aura $\mu =0,$ et les valeurs de $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ seront les mêmes que dans le cas précédent.

Ainsi on aura

$y_{x,t}=p^{t}\left[y_{x,0}+tqy_{x-1,0}+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}y_{x-2,0}+\ldots \right].$

Cette expression est toujours finie tant que $t$ est un nombre entier positif mais, lorsque $t$ est $>x,$ elle contient nécessairement des quantités telles que $y_{s,0},$ $s$ étant négatif. Ainsi il ne suffira pas, dans ce cas, que le premier rang horizontal de la Table du n^o 6 soit donné, il faudra encore supposer donnés les termes précédents $y_{-1,0},y_{-2,0},\ldots .$ Si l’on ne connaît pas ces termes, mais que l’on connaisse ceux qui forment le premier rang vertical de la Table, on pourra alors déduire ceux-là de ceux-ci de la manière suivante.

Je fais $x=0$ et $t$ successivement $=1,2,3,\ldots \,;$ j’aurai

${\begin{aligned}y_{0,1}&=p\ \ \left(y_{0,0}+qy_{-1,0}\right),\\y_{0,2}&=p^{2}\left(y_{0,0}+2qy_{-1,0}+q^{2}y_{-2,0}\right),\\y_{0,3}&=p^{3}\left(y_{0,0}+3qy_{-1,0}+3q^{2}y_{-2,0}+q^{3}y_{-3,0}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il est facile de tirer

${\begin{aligned}q\ \ y_{-1,0}=&{\frac {1}{p}}\ \ y_{0,1}-y_{0,0},\\q^{2}y_{-2,0}=&{\frac {1}{p^{2}}}y_{0,2}-{\frac {2}{p}}\ \,y_{0,1}+y_{0,0},\\q^{3}y_{-3,0}=&{\frac {1}{p^{3}}}y_{0,3}-{\frac {3}{p^{2}}}y_{0,2}+{\frac {3}{p}}y_{0,1}-y_{0,0},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$q^{s}y_{-s,0}={\frac {1}{p^{s}}}y_{0,s}-{\frac {s}{p^{s-1}}}y_{0,s-1}+{\frac {s(s-1)}{2p^{s-2}}}y_{0,s-2}-\ldots .$

Je conclus de là que, si l’on considère ces deux séries

${\begin{array}{llll}y_{0,0},&{\cfrac {1}{q}}y_{1,0},&{\cfrac {1}{q^{2}}}y_{2,0},&{\cfrac {1}{q^{3}}}y_{3,0},\ldots ,\\y_{0,0},&{\cfrac {1}{p}}y_{0,1},&{\cfrac {1}{p^{2}}}y_{0,2},&{\cfrac {1}{p^{3}}}y_{0,3},\ldots ,\end{array}}$

qui sont supposées données, et qu’on dénote pour plus de simplicité les termes de la première par

$\mathrm {Y,Y_{1},Y_{2},Y_{3}} ,\ldots ,$

et ceux de la seconde par

$\mathrm {Y,Y',Y'',Y'''} ,\ldots \,;$

qu’ensuite on prenne les différences successives des termes de cette dernière, lesquelles soient dénotées par la caractéristique $\Delta ,$ en sorte que l’on ait ; comme on sait,

${\begin{aligned}&\Delta \ \ \mathrm {Y=Y'\ \ -Y} ,\\&\Delta ^{2}\mathrm {Y=Y''\ -2Y'\ +Y} ,\\&\Delta ^{3}\mathrm {Y=Y'''-3Y''+3Y'-Y} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

qu’on suppose enfin que la première suite soit continuée en arrière par les termes

$\mathrm {Y_{-1},\ \ Y_{-2},\ \ Y_{-3}} ,\ldots ,$

lesquels soient respectivement égaux à

$\Delta \mathrm {Y} ,\ \ \Delta ^{2}\mathrm {Y} ,\ \ \Delta ^{3}\mathrm {Y} ,\ldots ,$

en sorte que l’on ait, en général,

$\mathrm {Y} _{-1}=\Delta ^{s}\mathrm {Y} \,;$

on aura la formule

$y_{x,t}=(pq)^{t}\left[\mathrm {Y} _{x}+t\mathrm {Y} _{x-1}+{\frac {t(t-1)}{2}}\mathrm {Y} _{x-2}+{\frac {t(t-1)(t-2)}{2.3}}\mathrm {Y} _{x-3}+\ldots \right],$

dans laquelle toutes les quantités $\mathrm {Y} _{x},\mathrm {Y} _{x-1},\ldots$ seront connues.

12. Mais, si ni $\mathrm {C} '$ ni $\mathrm {B} '$ n’est égal à zéro, alors il est impossible d’avoir, en général, une expression finie pour $y_{x,t}$ par la méthode du n^o 7 ; cependant on y peut parvenir par une autre méthode que nous allons exposer.

Je reprends l’expression de $\beta$ en $\alpha$ (7), laquelle es

$\beta =-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \,;$

je fais

$\mathrm {B'+C'} \alpha =-\omega ,$

d’où je tire

$\alpha =-\mathrm {\frac {\omega +B'}{C'}} ,$

et substituant dans la valeur de $\beta ,$ il me vient

$\beta =-\mathrm {{\frac {B}{C'}}+\left(A-{\frac {BB'}{C'}}\right)} {\frac {1}{\omega }}.$

J’aurai donc ainsi

$\alpha =\mathrm {-{\frac {\omega }{C'}}\left(1+{\frac {B'}{\omega }}\right),\quad \beta =-{\frac {B}{C'}}\left[1+\left(B'-{\frac {AC'}{B}}\right){\frac {1}{\omega }}\right]} .$

Ces valeurs étant substituées dans la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ réduisant ensuite cette quantité en série suivant les puissances de ${\frac {1}{\omega }},$ on aura une expression de la forme

$\alpha ^{x}\beta ^{t}=\mathrm {V\alpha ^{x}+V'\alpha ^{x-1}+V''\alpha ^{x-2}+V'''\alpha ^{x-3}} +\ldots ,$

laquelle sera toujours composée d’un nombre fini de termes, $x$ et $t$ étant des nombres entiers positifs.

Or, puisque $\omega$ est une constante indéterminée, il est facile de prouver, par un raisonnement semblable à celui qu’on a fait dans le n^o 7 relativement à l’indéterminée $\alpha ,$ que l’on aura, en général,

$y_{x,t}=\mathrm {V} f(x)+\mathrm {V} 'f(x-1)+\mathrm {V} ''f(x-2)+\mathrm {V} '''f(x-3)+\ldots ,$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque.

Telle est donc l’expression générale de $y_{x,t},$ et cette expression a sur celle du numéro cité l’avantage d’être toujours finie.

13. Supposons maintenant que les valeurs données de $y$ soient celles qui forment le premier rang horizontal, et le premier rang vertical de la Table du n^o 6, c’est-à-dire qui répondent à $t=0$ et à $x=0\,;$ et voyons comment on doit déterminer par leur moyen les différentes valeurs de la fonction $f(x),f(x-1)\ldots .$

1^o Soit donc $t=0,$ et faisant pour plus de simplicité

$-{\frac {1}{\mathrm {C} '}}=m,\quad \mathrm {B} '=n,$

en sorte que

$\alpha =m\omega \left(1+{\frac {n}{\omega }}\right)\ \ {\text{et}}\ \ \alpha ^{x}=m^{x}\left[\omega ^{x}+xn\omega ^{x-1}+{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}\omega ^{x-2}+\ldots \right],$

on aura

$\mathrm {V} =m^{x},\quad \mathrm {V} '=xn\omega ^{x},\quad \mathrm {V} ''={\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}m^{x},\ldots \,;$

donc

$y_{x,0}=m^{x}\left[f(x)+xnf(x-1)+{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}f(x-2)+\ldots \right].$

Supposons successivement

$x=0,1,2,3,\ldots \,;$

on aura

${\begin{aligned}y_{0,0}&=f(0),\\y_{1,0}&=m\ \ \left[f(1)+nf(0)\right],\\y_{2,0}&=m^{2}\left[f(2)+2nf(1)+n^{2}f(0)\right],\\y_{3,0}&=m^{3}\left[f(3)+3nf(2)+3n^{2}f(1)+n^{3}f(0)\right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f(0)&=y_{0,0},\\{\frac {1}{n}}\ \ f(1)&={\frac {1}{mn}}\quad y_{1,0}-y_{0,0},\\{\frac {1}{n^{2}}}f(2)&={\frac {1}{m^{2}n^{2}}}y_{2,0}-{\frac {2}{mn}}\quad y_{1,0}+y_{0,0},\\{\frac {1}{n^{3}}}f(3)&={\frac {1}{m^{3}n^{3}}}y_{3,0}-{\frac {3}{m^{2}n^{2}}}y_{2,0}+{\frac {2}{mn}}y_{1,0}-y_{0,0},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où l’on peut conclure que, si l’on considère la série des termes

$y_{0,0},\quad {\frac {1}{mn}}y_{1,0},\quad {\frac {1}{m^{2}n^{2}}}y_{2,0},\quad {\frac {1}{m^{3}n^{3}}}y_{3,0},\ldots ,$

et qu’on les désigne par $\mathrm {Y,Y',Y'',Y'''} ,\ldots ,$ qu’ensuite on prenne les différences successives de ces termes et qu’on les désigne à la manière ordinaire par la caractéristique $\Delta ,$ on aura

$f(0)=\mathrm {Y} ,\ \ f(1)=n\Delta \mathrm {Y} ,\ \ f(2)=n^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Y} ,\ \ f(3)=n^{3}\Delta ^{3}\mathrm {Y} ,\ldots ,f(s)=n^{s}\Delta ^{s}\mathrm {Y} .$

2^o Soit $x=0,$ et faisant, pour abréger,

$-\mathrm {\frac {B}{C'}} =p,\quad \mathrm {B'-{\frac {AC'}{B}}} =q,$

en sorte que

$\beta =p\left(1+{\frac {q}{\omega }}\right),$

et par conséquent

$\beta '=p^{t}\left[1+{\frac {tq}{\omega }}+{\frac {t(t-1)q^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {t(t-1)(t-2)q^{3}}{2.3.\omega ^{3}}}+\ldots \right],$

on aura

$\mathrm {V} =p^{t},\quad \mathrm {V} '=tqp^{t},\quad \mathrm {V} ''={\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}p^{t},\ldots \,;$

donc

$y_{0,t}=p^{t}\left[f(0)+tqf(-1)+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}f(-2)+\ldots \right].$

Faisons successivement

$t=0,1,2,3,\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}y_{0,0}&=f(0),\\y_{0,1}&=p\ \ \left[f(0)+qf(-1)\right],\\y_{0,2}&=p^{2}\left[f(0)+2qf(-1)+q^{2}f(-2)\right],\\y_{0,3}&=p^{3}\left[f(0)+3qf(-1)+3q^{2}f(-2)+q^{3}f(-3)\right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f(0)=y_{0,0},&\\q\ \ f(-1)&={\frac {1}{p}}\ \ y_{0,1}-y_{0,0},\\q^{2}f(-2)&={\frac {1}{p^{2}}}y_{0,2}-{\frac {2}{p}}\ \ y_{0,1}+y_{0,0},\\q^{3}f(-3)&={\frac {1}{p^{3}}}y_{0,3}-{\frac {3}{p^{2}}}y_{0,2}+{\frac {3}{p}}y_{0,1}-y_{0,0},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc si l’on considère la série

$y_{0,0},\quad {\frac {1}{p}}y_{0,1},\quad {\frac {1}{p^{2}}}y_{0,2},\quad {\frac {1}{p^{3}}}y_{0,3},\ldots ,$

et qu’on désigne les termes de cette série par $\mathrm {Y} ,\ {\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ldots$ qu’ensuite on prenne les différences successives de ces termes et qu’on les désigne par la caractéristique $\delta ,$ on aura

$f(0)=\mathrm {Y} ,\ \ f(-1)={\frac {\delta \mathrm {Y} }{q}},\ \ f(-2)={\frac {\delta ^{2}\mathrm {Y} }{q^{2}}},\ \ f(-3)={\frac {\delta ^{3}\mathrm {Y} }{q^{3}}},\ldots ,f(-s)={\frac {\delta ^{s}\mathrm {Y} }{q^{s}}}.$

Ainsi l’on connaîtra les valeurs de $f(s),$ soit que $s$ soit positif ou négatif ; et l’on aura, en général, comme ci-dessus,

$y_{x,t}=\mathrm {V} f(x)+\mathrm {V} 'f(x-1)+\mathrm {V} ''f(x-2)+\ldots .$

À l’égard des valeurs de $\mathrm {V,V',V''} ,\ldots ,$ il est clair que pour les trouver il n’y aura qu’à multiplier ensemble les séries ci-dessus qui donnent les valeurs de $\alpha ^{x}$ et de $\beta ^{t}\,;$ on aura par ce moyen

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ \ &=m^{x}p^{t},\\\mathrm {V} '\ \ &=m^{x}p^{t}(xn+tq),\\\mathrm {V} ''\ &=m^{x}p^{t}\left[{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}+xn.tq+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}\right],\\\mathrm {V} '''&=m^{x}p^{t}\left[{\frac {x(x-1)(x-2)}{2.3}}n^{3}+{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}.tq\right.\\&\quad \qquad \qquad +\left.xn.{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}+{\frac {t(t-1)(t-2)}{2.3}}q^{3}\right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si $q=n,$ ce qui a lieu lorsque $\mathrm {A} =0,$ on aura plus simplement

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ \ &=m^{x}p^{t},\\\mathrm {V} '\ \ &=m^{x}p^{t}(x+t)n,\\\mathrm {V} ''\ &=m^{x}p^{t}{\frac {(x+t)(x+t-1)}{2}}n^{2},\\\mathrm {V} '''&=m^{x}p^{t}{\frac {(x+t)(x+t-1)(x+t-2)}{2.3}}n^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Le Problème est donc résolu avec toute la simplicité et la généralité qu’on peut désirer.

14. Dans l’Exemple du n^o 10 on a

$\mathrm {A=1,\quad B=0,\quad B'=1,\quad C'=-1} \,;$

donc

$m=1,\quad n=1,\quad p=0,\quad q=\infty ,\quad {\text{et}}\quad pq=1.$

Donc on trouvera (à cause de $p=0,q=\infty$ et $pq=1$)

$\mathrm {V=0,\quad V'=0,\quad V''=0,\ldots ,\quad V} ^{(t-1)}=0,$

$\mathrm {V} ^{(t)}=m^{x},\quad \mathrm {V} ^{(t+1)}=m^{x}xn,\quad \mathrm {V} ^{(t+2)}=m^{x}{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2},$

$\mathrm {V} ^{(t+3)}=m^{x}{\frac {x(x-1)(x-2)}{2.3}}n^{3},\ldots .$

Ensuite la série $\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots$ deviendra $y_{0,0},y_{1,0},y_{2,0},\ldots ,$ de sorte qu’on aura, en général,

$f(s)=\Delta ^{s}y_{0,0},$

$s$ étant un nombre positif. Enfin, à cause de $p=0,\ q=\infty$ et $pq=1,$ on trouvera

$f(0)=y_{0,0},\quad f(-1)=-y_{0,1},\quad f(-2)=y_{0,2},\ldots \quad f(-s)=\pm y_{0,s}\,;$

le signe supérieur étant pour le cas de $s$ pair, et l’inférieur pour celui de $s$ impair.

Substituant donc ces valeurs dans l’expression générale de $y_{x,t},$ on aura

$y_{x,t}=m^{x}\left\{{\begin{aligned}&\Delta ^{x-t}y_{0,0}+x\Delta ^{x-t-1}y_{0,0}+{\frac {x(x-1)}{2}}\Delta ^{x-t-2}y_{0,0}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (t+1)}{1.2.3\ldots (x-t)}}y_{0,0}\\&-{\frac {x(x-1)(x-2)\ldots t}{1.2.3\ldots (x-t+1)}}y_{0,1}+{\frac {x(x-1)\ldots (t-1)}{1.2\ldots (x-t+2)}}y_{0,2}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {x(x-1)\ldots (t-2)}{1.2\ldots (x-t+3)}}y_{0,3}+\ldots \end{aligned}}\right\},$

où les différences $\Delta y_{0,0},\Delta ^{2}y_{0,0},\ldots$ se rapportent uniquement aux termes du premier rang horizontal $y_{0,0},y_{1,0},y_{2,0},\ldots ,$ en sorte que

$\Delta y_{0,0}=y_{1,0}-y_{0,0},\quad \Delta ^{2}y_{0,0}=y_{2,0}-2y_{1,0}+y_{0,0},\ldots .$

Par le moyen de cette formule on peut donc avoir la valeur d’un terme quelconque de la Table de Pascal, en supposant que dans cette Table le premier rang horizontal et le premier rang vertical soient quelconques.

Dans la Table même de Pascal, le premier rang horizontal est tout formé d’unités, et le premier rang vertical est tout zéro à l’exception du premier terme, en sorte que l’on a

${\begin{array}{lll}y_{0,0}=1,&y_{1,0}=1,&y_{2,0}=1\ldots ,\\y_{0,1}=0,&y_{0,2}=0,&\ldots \,;\end{array}}$

donc

$\Delta y_{0,0}=0,\quad \Delta ^{2}y_{0,0}=0,\ldots .$

Ainsi la formule précédente deviendra dans ce cas

$y_{x,t}={\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (t+1)}{1.2.3\ldots (x-t)}}\,;$

ce qui s’accorde avec ce que l’on a trouvé à la fin du n^o 10.

15. Soit proposée maintenant l’équation générale du second ordre

(G)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,t}+\mathrm {B} \ y_{x+1,t}&+\mathrm {C} \ \ y_{x+2,t}\\+\mathrm {B} 'y_{x,t+1}&+\mathrm {C} '\ y_{x+1,t+1}\\&+\mathrm {C} ''y_{x,t+2}\end{aligned}}\right\}=0.$

Je fais, comme ci-dessus,

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t}\,;$

substituant et divisant ensuite tous les termes par $a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ il me vient cette équation en $\alpha$ et $\beta$

(H)

$\mathrm {A+B\alpha +B'\beta +C\alpha ^{2}+C'\alpha \beta +C''\beta ^{2}} =0,$

par laquelle on pourra déterminer $\beta$ en $\alpha .$

Je cherche donc par la méthode connue de Newton la valeur de $e$n, exprimée par une série descendante, c’est-à-dire dans laquelle les exposants de $\alpha$ aillent en diminuant. J’élève ensuite cette série à la puissance $t$ au moyen des formules connues pour cet objet ; j’obtiens par là une valeur de $\beta ^{t}$ en $\alpha$ de la forme suivante

$\beta ^{t}=\mathrm {T} \alpha ^{\mu t}+\mathrm {T} '\alpha ^{\mu t-\mu '}+\mathrm {T} ''\alpha ^{\mu t-\mu ''}+\mathrm {T} '''\alpha ^{\mu t-\mu '''}+\ldots ,$

où les nombres $\mu ',\mu '',\mu ''',\ldots$ seront nécessairement tous positifs et croissants.

Donc, substituant cette valeur de $\beta ^{t},$ on aura cette expression particulière de $y_{x,t},$ savoir

$y_{x,t}=\mathrm {T} a\alpha ^{x+\mu t}+\mathrm {T} 'a\alpha ^{x+\mu t-\mu '}+\mathrm {T} ''a\alpha ^{x+\mu t-\mu ''}+\ldots ,$

dans laquelle $a$ et $\alpha$ seront des constantes indéterminées.

De là, par un raisonnement semblable à celui du n^o 7, on tirera immédiatement l’expression générale

$y_{x,t}=\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-\mu ')+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots ,$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque indéterminée.

Or, tant que $\mathrm {C} ''$ ne sera pas nul, l’équation en $\beta$ montera au second degré et aura par conséquent deux racines ; on aura donc pour $\beta ,$ et par conséquent aussi pour $\beta ^{t},$ deux séries différentes ; donc, si l’autre valeur de $\beta ^{t}$ est représentée par la série

$\beta ^{t}=\mathrm {U} \alpha ^{\nu t}+\mathrm {U} '\alpha ^{\nu t-\nu '}+\mathrm {U} ''\alpha ^{\nu t-\nu ''}+\mathrm {U} '''\alpha ^{\nu t-\nu '''}+\ldots ,$

les nombres $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots$ étant aussi positifs et croissants, on en tirera pareillement une valeur de $y_{x,t},$ qui sera

$y_{x,t}=\mathrm {U} \varphi (x+\nu t)+\mathrm {U} '\varphi (x+\nu t-\nu ')+\mathrm {U} ''\varphi (x+\nu t-\nu '')+\ldots ,$

la caractéristique $\varphi$ désignant aussi une fonction quelconque indéterminée.

Réunissant maintenant ces deux valeurs de $y_{x,t},$ on aura, en général,

${\begin{aligned}y_{x,t}&=\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-\mu ')+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots ,\\&+\mathrm {U} \varphi (x+\nu t)+\mathrm {U} '\varphi (x+\nu t-\nu ')+\mathrm {U} ''\varphi (x+\nu t-\nu '')+\ldots ,\end{aligned}}$

expression qui est nécessairement l’intégrale complète de la proposée, puisqu’elle contient deux fonctions indéterminées.

16. Il est clair que cette expression de $y_{x,t}$ sera toujours composée d’un nombre infini de termes, à moins que les deux valeurs de $\beta$ en $\alpha$ ne soient finies ; ce qui n’a lieu que lorsque l’équation (H) peut se décomposer en deux équations du premier degré. Dans ce cas on aura pour $y_{x,t}$ une expression finie, et par conséquent on aura l’intégrale finie de l’équation différentielle proposée. Mais il peut arriver dans ce même cas que les deux valeurs de $\beta$ en $\alpha$ soient égales ; ce qui donnera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {U} =&\mathrm {T} ,\qquad &\mathrm {U} '=&\mathrm {T} ',\ldots ,\\\nu =&\mu ,&\nu '=&\mu ',\ldots ,\end{alignedat}}$

en sorte que les deux fonctions arbitraires se fondront en une seule ; ce qui rendra la valeur de $y_{x,t}$ incomplète.

Pour remédier à cet inconvénient on supposera, suivant la méthode usitée dans ces sortes de cas, que les deux valeurs de $\beta$ diffèrent entre celles d’une quantité très-petite, c’est-à-dire qu’on prendra pour la seconde valeur de $\beta ,$ $\beta +d\beta \,;$ ce qui donnera pour la seconde valeur de $\beta ^{t},$ $\beta ^{t}+t\beta ^{t-1}d\beta ,$ où il faut remarquer que la différentielle $d\beta$ demeure indéterminée, parce qu’en différentiant l’équation (H) il arrivera nécessairement que les quantités par lesquelles les deux différentielles $d\alpha$ et $d\beta$ se trouveront multipliées, seront nulles à la fois. De là il est aisé de conclure que si l’on dénote par $_{\prime }\!\mathrm {T} ,\ _{\prime }\!\mathrm {T} ',\ _{\prime }\!\mathrm {T} '',\ _{\prime }\!\mathrm {T} ''',\ldots$ les valeurs de $\mathrm {T,T',T'',T'''} ,$ qui répondent à $t-1,$ c’est-à-dire qui résultent de la substitution de $t-1$ à la place de $t,$ on aura pour $y_{x,t}$ cette autre expression

${\begin{aligned}y_{x,t}=&\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-\mu ')+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots ,\\&+t\ _{\prime }\!\mathrm {TF} (x+\mu (t-1))+t\ _{\prime }\!\mathrm {T'F} (x+\mu (t-1)-\mu ')\end{aligned}}$

$+t\ _{\prime }\!\mathrm {T''F} (x+\mu (t-1)-\mu '')+\ldots ,$

dans laquelle les caractéristiques $f$ et $\mathrm {F}$ dénotent des fonctions quelconques.

17. Pour déterminer maintenant les fonctions arbitraires, on supposera que les deux premiers rangs horizontaux de la Table du n^o 6 soient donnés, c’est-à-dire qu’on connaisse toutes les valeurs de $y_{x,0}$ et $y_{x,1}\,;$ on fera donc 1^o $t=0,$ et, comme dans ce cas on a

$\mathrm {T=1,\quad T'=0,\quad T''} =0,\ldots ,$

et de même

$\mathrm {U=1,\quad U'=0,\quad U''} =0,\ldots ,$

la formule du n^o 15 donnera

$y_{x,t}=f(x)+\varphi (x)\,;$

on fera 2^o $t=1,$ et, dénotant par $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots \upsilon ,\upsilon ',\upsilon '',\ldots$ les valeurs

de $\mathrm {T,T',T'',\ldots ,U,U',U''} ,\ldots$ qui répondent à $t=1,$ la même formule donnera

${\begin{aligned}y_{x,1}&=\theta f(x+\mu t)+\theta 'f(x+\mu t-\mu ')+\theta ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots \\&+\upsilon \varphi (x+\nu t)+\upsilon '\varphi (x+\nu t-\nu ')+\upsilon ''\varphi (x+\nu t-\nu '')+\ldots \,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura deux équations, à l’aide desquelles, en donnant successivement à $x$ toutes les valeurs $0,1,2,3,\ldots ,$ on pourra déterminer celles des fonctions $f(x)$ et $\varphi (x)\,;$ mais il est clair que cette détermination sera très-difficile, en général, à moins que l’expression de $y_{x,1}$ ne soit finie, ce qui n’arrivera que lorsque la valeur de $\beta$ en $\alpha$ est finie.

Si les deux valeurs de $\beta$ sont égales, la détermination des fonctions $f(x)$ et $\operatorname {F} (x)$ de la formule du n^o 16 sera très-facile ; car en faisant $t=0$ on aura d’abord

$y_{x,0}=f(x)\,;$

et faisant ensuite $t=1,$ on aura

$_{\prime }\!\mathrm {T} =1,\quad _{\prime }\!\mathrm {T} '=0,\quad _{\prime }\!\mathrm {T} ''=0,\ldots ,$

donc

$y_{x,1}=\theta f(x+\mu -\mu ')+\theta 'f(x+\mu -\mu ')+\ldots +\operatorname {F} (x)\,;$

de sorte qu’on connaîtra immédiatement par là les valeurs générales des deux fonctions.

18. Au reste, quoique l’expression de $y_{x,t}$ trouvée par la méthode précédente soit, en général, composée d’un nombre infini de termes, il y a cependant un cas très-étendu, et qui a lieu dans la plupart des questions qui conduisent à ces sortes d’équations différentielles, dans lequel cette expression devient finie ; en sorte que la détermination des fonctions arbitraires n’a plus de difficulté. Ce cas est celui où l’on suppose que si l’on continue en arrière les deux premiers rangs horizontaux de la Table du n^o 6, tous les termes qui formeraient ces rangs ainsi continués soient nuls ; c’est-à-dire lorsque l’on aura, en général,

$y_{x,0}=0,\quad y_{x,1}=0,$

tant que $x$ sera négatif.

En effet, il est aisé de voir qu’on aura alors

$f(-s)=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (-s)=0,$

tant que $s$ sera plus grand que $\mu$ et $\nu \,;$ de sorte que comme les nombres qui sont après les caractéristiques $f$ et $\varphi$ dans l’expression générale de $y_{x,t}$ vont continuellement en diminuant, les fonctions de ces nombres deviendront enfin nulles, ce qui rendra l’expression dont il s’agit finie.

Il est facile maintenant d’appliquer aux équations différentielles de tous les ordres, comprises sous la formule générale du n^o 6, la méthode que nous venons d’exposer pour les équations du second ordre, et d’en tirer des conclusions semblables ; ainsi nous ne nous étendrons pas davantage sur cette méthode.

19. Dans le cas des équations du second ordre à trois termes nous avons trouvé moyen de remédier à l’inconvénient de la méthode générale, et d’obtenir une expression finie de