Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur l’intégration des équations à différences partielles du premier ordre

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’intégration des équations à différences partielles du premier ordre

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 549-575).

SUR L’INTÉGRATION
DES
ÉQUATIONS À DIFFÉRENCES PARTIELLES
DU PREMIER ORDRE.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1772.)

1. Lorsqu’on a une fonction $u$ de plusieurs variables $x,y,z,\ldots ,$ on appelle différences partielles de $u$ celles qui résultent de la différentiation de $u$ en y faisant varier chacune des quantités $x,y,z,\ldots$ à part ; ainsi, supposant que la valeur complète de $du$ soit représentée par

$pdx+qdy+rdz+\ldots ,$

les différents termes

$pdx,\quad qdy,\quad rdz,\ldots$

de cette différentielle seront les différences partielles du premier ordre de $u.$ On a coutume de représenter les coefficients $p,q,r,\ldots$ des différences $dx,dy,dz,\ldots ,$ dans la différentielle de $u,$ par ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},{\frac {du}{dz}},\ldots ,$ de sorte que la valeur complète de $du$ sera représentée par

${\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy+{\frac {du}{dz}}dz+\ldots .$

Ainsi, si l’on a une équation entre $u,x,y,z,\ldots$ et ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},{\frac {du}{dz}},\ldots ,$ ce

sera une équation à différences partielles du premier ordre ; et c’est sur l’intégration de ce genre d’équations que je me propose ici de donner quelques nouveaux principes.

2. Supposons que $u$ soit une fonction de $x$ et de $y$ seulement, et que l’on ait pour la détermination de cette fonction une équation en $u,x,y,$ ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}}\,;$ si l’on fait pour plus de commodité ${\frac {du}{dx}}=p,{\frac {du}{dy}}=q,$ on aura

$du=pdx+qdy,$

et l’équation donnée sera entre les cinq variables $u,x,y,p,q\,;$ en sorte qu’on pourra par cette équation déterminer, par exemple, $q$ en $u,x,y,p\,;$ la quantité $p$ sera donc encore indéterminée, et la question se réduira à la déterminer de façon que l’équation

$du=pdx+qdy,\quad {\text{ou bien}}\quad du-pdx-qdy=0$

soit intégrable, ou d’elle-même, ou étant multipliée par un facteur quelconque.

Soit en général. $\mathrm {M}$ le facteur que la différentiation aura pu faire disparaître, en sorte que la quantité

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy)$

soit une différentielle exacte d’une fonction de $u,x,y$ que nous désignerons par $\mathrm {N} \,;$ on aura donc

$d\mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {N} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {N} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {N} }{dy}}dy=\mathrm {M} du-\mathrm {M} pdx-\mathrm {M} qdy,$

et de là

${\frac {d\mathrm {N} }{du}}=\mathrm {M} ,\quad {\frac {d\mathrm {N} }{dx}}=-\mathrm {M} p,\quad {\frac {d\mathrm {N} }{dy}}=-\mathrm {M} q\,;$

d’où l’on tire les conditions suivantes

${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=-{\frac {d(\mathrm {M} p)}{du}},\quad {\frac {d\mathrm {M} }{dy}}=-{\frac {d(\mathrm {M} q)}{du}},\quad -{\frac {d\mathrm {M} p}{dy}}=-{\frac {d(\mathrm {M} q)}{dx}}.$

par lesquelles il faudrait déterminer $\mathrm {M}$ et $p.$ La dernière de ces équations

donne celle-ci

$\mathrm {M} \left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)+p{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}-q{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=0,$

laquelle, en substituant pour ${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ et ${\frac {d\mathrm {M} }{dy}}$ leurs valeurs données par les deux premières, devient

$\mathrm {M} \left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)-p{\frac {d(\mathrm {M} q)}{du}}+q{\frac {d(\mathrm {M} p)}{du}}=0,$

c’est-à-dire, en effaçant ce qui se détruit et divisant le reste par $\mathrm {M} ,$

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0\,;$

or, comme $q$ est (hypothèse) une fonction donnée de $x,y,u$ et $p,$ cette équation ne contiendra plus que l’inconnue $p\,;$ et la difficulté sera réduite à déterminer par son moyen la valeur de $p$ en $u,x,y.$

3. Quoique de cette manière on ait trouvé l’équation qui doit servir à déterminer $p,$ il paraît qu’on n’a guère avancé dans la solution du Problème proposé ; car au lieu qu’on avait une équation entre $x,y,u$, ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}}$ pour la détermination de $u,$ on en a maintenant une entre $x,y,u,p,$ ${\frac {dp}{dx}},{\frac {dp}{dy}},{\frac {dp}{du}}$ pour la détermination de $p,$ laquelle, à la considérer, en général, doit être au moins aussi difficile à résoudre que celle-là, si même elle ne l’est pas davantage à cause qu’elle contient une variable de plus. Il y a cependant une circonstance qui doit la faire regarder comme plus simple que la proposée, c’est que les différentielles $dp$ et $dq$ n’y paraissent que sous une forme linéaire ; d’ailleurs nous remarquerons qu’il ne sera pas nécessaire de résoudre cette équation d’une manière complète, mais qu’il suffira de trouver une valeur quelconque de $p$ qui y satisfasse, pourvu qu’elle contienne une constante arbitraire ; car nous ferons voir bient\delta t comment, à l’aide d’une telle valeur de $p,$ on pourra néanmoins parvenir à la solution générale et complète de l’équation proposée.

4. Pour faire voir d’une manière encore plus directe comment l’équation que nous venons de trouver pour la détermination de $p$ peut servir à résoudre le Problème dont il s’agit, reprenons l’équation

$du-pdx-qdy=0,$

dans laquelle $q$ est une fonction donnée de $p,u,x,y,$ et où $p$ est supposé une fonction de $u,x,y$ telle, que l’équation soit intégrable, soit d’elle-même, soit à l’aide d’un multiplicateur quelconque. Qu’on suppose que l’une des trois variables $u,x,y$ devienne constante, par exemple $u,$ en sorte qu’on ait l’équation à deux variables

$pdx+qdy=0\,;$

soit $\mathrm {L}$ le facteur qui rendra la différentielle $pdx+qdy$ intégrable (facteur qu’on peut toujours trouver à posteriori dès qu’on aura intégré l’équation $pdx+qdy=0$) ; on aura donc

$\mathrm {L} (pdx+qdy)=dt,$

$t$ étant une fonction de $x$ et de $y,$ dans laquelle $u$ entrera aussi comme constante ; par conséquent on aura

$\mathrm {L} p={\frac {dt}{dx}},\quad \mathrm {L} q={\frac {dt}{dy}}\,;$

mais en regardant $x,y$ et $u$ comme variables à la fois, on a, pour la valeur complète de la différentielles $dt,$

${\frac {dt}{dx}}dx+{\frac {dt}{dy}}dy+{\frac {dt}{du}}du\,;$

donc on aura

$dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du\,;$

ainsi l’équation

$du-pdx-qdy=0,$

étant multipliée par $\mathrm {L} ,$ deviendra celle-ci

$\left(\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}}\right)du-dt=0,$

qui devra donc être intégrable. Or comme $t$ est une fonction connue de $u,x,y,$ on aura réciproquement $x$ égale à une fonction connue de $t,u,y,$ de sorte qu’on pourra introduire la variable $t$ à la place de la variable $x\,;$ qu’on fasse donc cette substitution dans la quantité $\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}},$ et comme l’équation ne contient que les deux différentielles $du$ et $dt,$ il est clair qu’elle ne pourra être intégrable à moins que la variable $y$ ne disparaisse entièrement de la quantité $\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}}.$ Supposons, pour abréger, cette quantité égale à $\mathrm {P} ,$ et il faudra qu’en substituant dans $\mathrm {P} ,$ à la place de $x,$ sa valeur en $y,u$ et $t,$ la variable $y$ s’en aille en même temps que $x\,;$ donc aussi si, dans la différentielle

$d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+{\frac {d\mathrm {P} }{du}}du,$

on substitue pour $dx$ sa valeur tirée de l’équation

$dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du,$

il faudra que la différentielle $dy$ disparaisse ; mais, la substitution faite, on a

$d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {dt-\mathrm {L} qdy-{\dfrac {dt}{du}}du}{\mathrm {L} p}}+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+{\frac {d\mathrm {P} }{du}}du\,;$

savoir

$d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {dt}{\mathrm {L} p}}+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-{\frac {q}{p}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)dy+\left({\frac {d\mathrm {P} }{du}}-{\frac {dt}{du}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {1}{\mathrm {L} p}}\right)du\,;$

donc il faudra qu’on ait

${\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-{\frac {q}{p}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}=0.$

Or

$\mathrm {P=L} +{\frac {dt}{du}}\,;$

donc on aura cette équation de condition

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+{\frac {d^{2}t}{dudy}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+{\frac {d^{2}t}{dudx}}\right)=0\,;$

mais on a déjà

${\frac {dt}{dx}}=\mathrm {L} p,\quad {\frac {dt}{dy}}=\mathrm {L} q\,;$

donc on aura

${\frac {d^{2}t}{dxdu}}={\frac {d(\mathrm {L} p)}{du}}=\mathrm {L} {\frac {dp}{du}}+p{\frac {d\mathrm {L} }{du}},\quad {\frac {d^{2}t}{dydu}}={\frac {d(\mathrm {L} q)}{du}}=\mathrm {L} {\frac {dq}{du}}+q{\frac {d\mathrm {L} }{du}}\,;$

donc l’équation précédente deviendra

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {dq}{du}}+q{\frac {d\mathrm {L} }{du}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\mathrm {L} {\frac {dp}{du}}+p{\frac {d\mathrm {L} }{du}}\right)=0,$

savoir, en ôtant ce qui se détruit,

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {dq}{du}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\mathrm {L} {\frac {dp}{du}}\right)=0.$

De plus les mêmes équations

${\frac {dt}{dx}}=\mathrm {L} p,\quad {\frac {dt}{dy}}=\mathrm {L} q$

donnent

${\frac {d(\mathrm {L} p)}{dy}}={\frac {d(\mathrm {L} q)}{dx}},$

savoir

$p{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {dp}{dy}}-q{\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\mathrm {L} {\frac {dq}{dx}}=0\,;$

donc, retranchant de cette équation la précédente multipliée par $p,$ et divisant le reste par $\mathrm {L} ,$ on aura celle-ci

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0,$

qui est, comme on voit, la même qu’on a trouvée plus haut.

5. Ainsi, dès qu’on aura satisfait à l’équation précédente par le moyen de la valeur de $p,$ on sera assuré qu’en chassant $x$ de la quantité

$\mathrm {P=L} +{\frac {dt}{du}},$

par l’introduction de la variable $t,$ la quantité $y$ s’en ira en même temps, de sorte qu’on aura alors l’équation à deux variables

$\mathrm {P} du-dt=0.$

Soit donc $\mathrm {L} '$ la fonction de $u$ et de $t$ par laquelle il faudra multiplier maintenant la différentielle

$\mathrm {P} du-dt$

pour la rendre intégrable (fonction qu’on pourra toujours trouver par l’intégration de l’équation $\mathrm {P} du-dt=0$), et comme

$\mathrm {L} '(\mathrm {P} du-dt)$

sera une différentielle exacte d’une fonction de $u$ et $t,$ si l’on remet à la place de $t$ sa valeur en $u,x$ et $y,$ ce qui, à cause de

$dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du,\quad \mathrm {P} =\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}},$

transforme la différentielle dont il s’agit en celle-ci

$\mathrm {L} '(\mathrm {L} du-\mathrm {L} pdx-\mathrm {L} qdy),$

il est évidént que cette dernière différentielle sera pareillement une différentielle exacte d’une fonction de $u,x$ et $y\,;$ d’où il s’ensuit que $\mathrm {L'L}$ sera le facteur propre à rendre intégrable la différentielle

$du-pdx-qdy,$

et qu’ainsi l’on aura (2)

$\mathrm {M=L'L} \,;$

de sorte que connaissant $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} ',$ on connaitra sur-le-champ le facteur $\mathrm {M} ,$ et de là par l’intégration on pourra connaître la valeur de la fonction finie

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy).$

6. On voit donc clairement par l’analyse précédente que la solution du Problème ne dépend que de la recherche de la quantité $p$ à l’aide de l’équation de condition

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0,$

laquelle est connue depuis longtemps ; car, dès que cette condition sera remplie, on pourra toujours trouver le multiplicateur $\mathrm {M} ,$ qui rendra intégrable l’équation

$du-pdx-qdy=0,$

et l’intégration donnera ensuite la valeur cherchée de $u$ en $x$ et $y.$

Si la valeur de $p,$ qui satisfait à l’équation de condition, a toute la généralité que cette équation comporte, on aura par son moyen la valeur complète de $u\,;$ mais si la valeur de $p$ n’est que particulière, on ne trouvera d’abord qu’une valeur particulière et incomplète de la fonction cherchée $u\,;$ cependant si la valeur particulière de $p$ est telle, qu’elle renferme une constante arbitraire, on pourra compléter la valeur de $u$ de la manière suivante.. On cherchera d’abord, d’après cette valeur particulière de $p,$ le multiplicateur $\mathrm {M} ,$ qui rendra intégrable la différentielle

$du-pdx-qdy,$

et l’on aura, en intégrant, l’équation

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {une\ const} .$

Désignons, pour plus de simplicité, par $\mathrm {N}$ la quantité

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy),$

qui sera nécessairement une fonction finie de $u,x$ et $y\,;$ soit de plus $\alpha$ la constante arbitraire qui entre dans la valeur de $p,$ et il est clair que cette constante entrera aussi comme telle dans l’expression de $\mathrm {N} \,;$ supposons maintenant que cette même quantité $\alpha ,$ au lieu d’être constante, soit aussi une fonction variable, et il est visible que dans ce cas la différentielle

complète de $\mathrm {N}$ ne sera plus simplement

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy),$

mais

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy)+{\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha \,;$

de sorte qu’on aura, dans l’hypothèse de la variabilité de $\alpha ,$

$\mathrm {N} =\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)+\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha ,$

et par conséquent

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {N} -\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha .$

Donc, si pour satisfaire aux conditions du Problème on veut que la différentielle

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy)$

soit intégrable d’elle-même, il faudra que la différentielle ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha$ le soit aussi en particulier ; ce qui ne saurait évidemment avoir lieu, à moins que ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}$ ne soit une fonction quelconque de $\alpha .$

Que $f(\alpha )$ dénote donc une fonction quelconque de $\alpha ,$ et supposant $f'(\alpha )={\frac {df(\alpha )}{d\alpha }},$ on fera

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=f'(\alpha ),$

équation par laquelle on pourra déterminer $\alpha .$ Ensuite on aura

$\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha =f(\alpha )\,;$

donc

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {N} -f(\alpha )\,;$

de là on aura l’équation intégrale

$\mathrm {N} -f(\alpha )=\mathrm {une\ const} .,$

ou bien simplement

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0$

[à cause que la constante peut être censée renfermée dans la fonction $f(\alpha )$ ], laquelle servira à trouver la valeur de la fonction $u\,;$ et il est clair que cette valeur de $u$ sera complète, puisqu’elle contiendra une fonction arbitraire.

7. On voit donc aussi par là que toute équation de la forme

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0,$

où $q$ est supposée une fonction quelconque donnée de $u,x,y,p,$ est telle, que si l’on connaît seulement une valeur particulière de $p,$ mais qui renferme une constante arbitraire $\alpha ,$ on pourra toujours trouver la valeur complète de $p\,;$ car il n’y aura qu’à tirer la valeur de $\alpha$ de l’équation

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=f'(\alpha )$

et la substituer ensuite dans la valeur particulière et connue de $p.$

8. Pour montrer maintenant l’application du Théorème précédent, nous allons parcourir les principaux cas dans lesquels l’équation de condition est facile à remplir par le moyen d’une valeur particulière de $p$ qui se présente naturellement, et nous en verrons naître les solutions de la plupart des Problèmes de ce genre qui n’ont été résolus jusqu’ici que par des méthodes particulières.

Premier Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ seul.

Soit $\mathrm {P}$ une fonction quelconque de $p,$ et supposons qu’on ait

$q=\mathrm {P} ,$

l’équation de condition (6) deviendra, en faisant $d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dp,$

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}}-\mathrm {P} 'p{\frac {dp}{du}}+\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0,$

à laquelle il est visible que satisfait cette valeur

$p=\mathrm {une\ const} .$

On aura donc ainsi

$p=\alpha \quad {\text{et}}\quad q=\mathrm {A}$

($\mathrm {A}$ étant ce que devient $\mathrm {P}$ lorsque $\mathrm {P} =\alpha$), d’où l’on voit que la différentielle

$du-pdx-qdy$

deviendra

$du-\alpha dx-\mathrm {A} dy,$

laquelle est évidemment intégrable d’elle-même. Intégrant donc un aura

$u-\alpha x-\mathrm {A} y=\mathrm {N} \,;$

de là, en faisant varier $\alpha ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-x-\mathrm {A} 'y$

($\mathrm {A} '$ étant égal à ${\frac {d\mathrm {A} }{d\alpha }}$) ; donc

$-x-\mathrm {A} 'y=f'(\alpha ),$

équation d’où l’on tirera la valeur de $\alpha$, qui étant ensuite substituée dans l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0,$

ou bien

$u-\alpha x-\mathrm {A} y-f(\alpha )=0,$

donnera la valeur complète de $u.$

Deuxième Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ et de $y.$

Soit $\mathrm {P}$ une fonction de $p$ et de $y,$ en sorte que

$d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dq+\mathrm {Q} dy,$

et supposons

$q=\mathrm {P} \,;$

l’équation de condition deviendra la même que ci-dessus, à cause que

${\frac {dq}{dx}}=\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}},\quad {\frac {dq}{du}}=\mathrm {P} '{\frac {dp}{du}}\,;$

ainsi l’on y pourra satisfaire en prenant de même

$p=\alpha ,$

ce qui rendra $\mathrm {P}$ égal à une fonction de $y$ seul ; de sorte que la quantité

$du-pdx-qdy,$

savoir

$du-\alpha dx-\mathrm {P} dy,$

sera intégrable d’elle-même, et l’on aura

$\mathrm {N} =u-\alpha x-\int \mathrm {P} dy.$

de là on tirera

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-x-\int {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}dy,$

par conséquent on aura l’équation

$f'(\alpha )=-x-\int {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}dy,$

laquelle servira à déterminer $\alpha \,;$ ensuite de quoi on aura $u$ par l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0,$

ou bien

$u-\alpha x-\int \mathrm {P} dy-f(\alpha )=0.$

Troisième Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ et de $x.$

Dans ce cas il est clair que la valeur de $p$ sera réciproquement exprimée par une fonction de $q$ et $x\,;$ donc regardant $q$ comme l’inconnue, et supposant $\mathrm {Q}$ une fonction de $q$ et $x,$ on aura

$p=\mathrm {Q} ,$

et l’équation de condition deviendra, en supposant ${\frac {d\mathrm {Q} }{dq}}=\mathrm {Q} ',$

$\mathrm {Q} '{\frac {dq}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-\mathrm {Q} {\frac {dq}{du}}+\mathrm {Q} 'q{\frac {dq}{du}}=0,$

à laquelle on peut satisfaire en prenant $q$ égal à une constante $\alpha ,$ ce qui rendra $\mathrm {Q}$ égal à une fonction de $x$ seul, en sorte que la quantité

$du-pdx-qdy,$

ou bien

$du-\mathrm {Q} dx-\alpha dy,$

sera intégrable d’elle-même. Ainsi l’on aura

$\mathrm {N} =u-\int \mathrm {Q} dx-\alpha y,$

et de là

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-\int {\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}dx-y=f'(\alpha )y,$

d’où l’on tirera $\alpha ,$ qu’on substituera dans l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0.$

Quatrième Cas. — Lorsqu’une fonction de $p$ et $x$ est égale à une fonction de $q$ et $y$.

Soit $\mathrm {P}$ une fonction de $p$ et $x,$ et $\mathrm {Q}$ une fonction de $q$ et $y$, en sorte qu’on ait

$\mathrm {P=Q} ,$

il est clair que si l’on prend une constante $\alpha$ et qu’on fasse

$\mathrm {P} =\alpha ,\quad \mathrm {Q} =\alpha ,$

on aura, par la première de ces équations, $p$ exprimé par une fonction de $x$ seul, et par la seconde on aura $q$ exprimé par $y$ seul ; en sorte que les différentielles ${\frac {dp}{dy}},\ {\frac {dp}{du}},\ {\frac {dq}{dx}},\ {\frac {dq}{du}}$ seront nulles d’elles-mêmes ; ainsi l’équation de condition se trouvera remplie, et il est visible que la quantité

$du-pdx-qdy$

sera intégrable sans aucune préparation ; on aura donc

$\mathrm {N} =u-\int pdx-\int qdy,$

et de là

${\frac {dN}{d\alpha }}=-\int {\frac {dp}{d\alpha }}dx-\int {\frac {dq}{d\alpha }}dy=f'(\alpha )\,;$

d’où l’on tirera la valeur de $\alpha$ pour la substituer dans l’équation $\mathrm {N} -f(\alpha )=0,$ laquelle deviendra donc

$u-\int pdx-\int qdy-f(\alpha )=0.$

Cinquième Cas. — Lorsqu’il y a entre $p,q,x$ et $y$ une équation dans laquelle $p$ et $q$ ne montent qu’à la première dimension.

Soient $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ des fonctions quelconques de $x$ et $y,$ et supposons qu’on ait

$q=p\mathrm {X+Y} \,;$

substituant donc cette valeur dans l’équation de condition, elle deviendra

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}-p{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}-p\mathrm {X} {\frac {dp}{du}}+(p\mathrm {X} +\mathrm {Y} ){\frac {dp}{du}}=0.$

Il est d’abord clair que si l’on suppose que $p$ ne contienne point $u,$ cette équation se simplifiera beaucoup, car elle deviendra, en faisant pour plus de simplicité ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {X} '$ et ${\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}=\mathrm {Y} ',$

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}-\mathrm {X} 'p-\mathrm {Y} '=0.$

Mais cette équation est encore trop compliquée pour qu’on puisse trouver facilement une valeur particulière de $p$ qui y satisfasse. Considérons donc plutôt la quantité même

$du-pdx-qdy,$

ou bien, en mettant $p\mathrm {X+Y}$ à la place de $q,$

$du-p(dx+\mathrm {X} dy)-\mathrm {Y} dy,$

laquelle doit être une différentielle exacte, ou d’elle-même, ou étant multipliée par un facteur convenable $\mathrm {M} \,;$ et il est d’abord clair que, comme $\mathrm {X}$ est une fonction donnée de $x$ et $y,$ si l’on cherche le facteur $m$ qui rendra intégrable la quantité $dx+\mathrm {X} dy,$ et qu’on suppose ensuite

$m(dx+\mathrm {X} dy)=dz,$

on aura à rendre intégrable cette quantité plus simple

$du-{\frac {p}{m}}dz-\mathrm {Y} dy,$

où ${\frac {p}{m}}$ est une fonction inconnue, et $\mathrm {Y}$ une fonction connue de $x$ et de $y,$ ou bien de $z$ et de $y,$ en substituant à la place de $x$ sa valeur en $y$ et $z$ tirée de l’équation

$\int m(dx+\mathrm {X} dy)=z\,;$

or on sait que la quantité dont il s’agit sera intégrable si l’on a

${\frac {d{\dfrac {p}{m}}}{dy}}={\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}\,;$

ce qui donne, en intégrant suivant $y,$

${\frac {p}{m}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy+\alpha ,$

$\alpha$ étant une constante arbitraire ; ainsi l’on a une valeur particulière de $p,$ laquelle donne

$\mathrm {N} =u-\alpha z-\int \mathrm {Y} dy\,;$

donc

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-z=f'(\alpha ),$

ce qui servira à déterminer $\alpha \,;$ ensuite de quoi on aura l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=u-\alpha z-\int \mathrm {Y} dy-f(\alpha )=0.$

Or comme on a

$-z=f'(\alpha ),$

il est clair que $\alpha$ sera une fonction quelconque de $z\,;$ de sorte que l’équation qui sert à déterminer $u$ pourra être représentée plus simplement ainsi

$u-\int \mathrm {Y} dy-f(z)=0.$

Au reste on aurait pu voir d’abord par l’équation

${\frac {p}{m}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy+\alpha$

que la constante $\alpha$ pouvait être une fonction quelconque de $z,$ puisque l’intégrale $\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy$ est censée prise en faisant varier $y$ seul, et $z$ demeurant constante ; de sorte que la valeur de $p$ étant complète, on aurait eu sur-le-champ par son moyen la valeur complète de $u\,;$ mais nous avons cru qu’il n’était pas inutile de faire voir comment on y pouvait parvenir aussi par le secours de notre méthode, en supposant que la quantité $\alpha$ ne fût regardée d’abord que comme une constante indéterminée.

Sixième Cas. — Lorsqu’il y a entre $p,q,x,y$ une équation telle, que $x$ et $y$ ne remplissent ensemble aucune dimension.

Faisant $x=zy,$ on aura donc une équation entre $p,q,z,$ d’où l’on tirera

$q=\mathrm {P} ,$

$\mathrm {P}$ étant une fonetion de $p$ et $z$ seulement. Or en considérant immédiatement l’équation

$du-pdx-qdy,$

ainsi qu’on l’a fait dans le cas précédent, elle deviendra, par les substitutions,

$du-p(zdy+ydz)-\mathrm {P} dy=0,$

savoir

$du-ypdz-(pz+\mathrm {P} )dy=0\,;$

et l’on voit que cette équation peut devenir intégrable en supposant $p$ une fonction de $z$ seul (ce qui rendra pareillement $\mathrm {P}$ une fonction de $z$), pourvu qu’on ait

$pz+\mathrm {P} =\int pdz,$

savoir

$pdz=pdz+zdp+d\mathrm {P} ,$

ou bien

$zdp+d\mathrm {P} =0\,;$

équation différentielle entre $p$ et $z,$ d’où l’on pourra, par l’intégration, tirer la valeur de $p$ en $z,$ laquelle contiendra une constante arbitraire $\alpha .$ De cette manière on aura, par l’intégration,

$\mathrm {N} =u-y\int pdz,$

et ensuite

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-y\int {\frac {dp}{d\alpha }}dz=f'(\alpha ),$

d’où l’on tirera $\alpha ,$ qu’on substituera ensuite dans l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=u-y\int pdz-f(\alpha )=0.$

Au reste, comme on doit avoir dans ce cas $y=\mathrm {Q} x,$ $\mathrm {Q}$ étant une fonetion de $p$ et $q,$ on pourra le résoudre aussi plus simplement par la Remarque suivante, à l’aide de laquelle on peut le réduire au cinquième Cas ci-dessus.

Remarque. — Tels sont les principaux cas résolubles, en générale, lorsqu’il y a une équation entre $p,q,x$ et $y$ sans $u,$ et où par conséquent $p$ et $q$ peuvent être des fonctions de $x$ et $y$ seuls ; il faut cependant y ajouter encore ceux dans lesquels il y aura entre ces quatre quantités mêmes équations, mais en échangeant $x,y$ en $p,q,$ et réciproquement ; car, à cause de ${\frac {dp}{du}}=0$ et ${\frac {dq}{du}}=0,$ l’équation de condition est

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}=0,$

laquelle, en regardant maintenant $x$ et $y$ comme des fonctions de $p$ et q, peut se mettre également sous la forme

${\frac {dx}{dq}}-{\frac {dy}{dp}}=0,$

où $p$ et $q$ ont pris la place de $x$ et $y$, et vice versâ. Ainsi il n’y aura qu’à traiter ces cas de la même manière que les cas analogues résolus ci-dessus, en supposant qu’au lieu de chercher $p$ et $q$ en $x$ et $y,$ on cherche au contraire $x$ et $y$ en $p$ et $q.$

Septième Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ et $u.$

Soit $\mathrm {P}$ une fonction de $p$ et $u,$ en sorte que

$d\mathrm {P} =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} du,$

et soit

$q=\mathrm {P} ,$

l’équation de condition deviendra

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}}-p\mathrm {P} '{\frac {dp}{du}}-p\mathrm {Q} +\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0\,;$

il est clair qu’on peut supposer que $p$ soit une fonction de $u$ seul, sans $x$ ni $y,$ ce qui réduira l’équation à celle-ci

$\mathrm {P} 'p{\frac {dp}{du}}+p\mathrm {Q} -\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0\,;$

or comme $\mathrm {P,P'}$ et $\mathrm {Q}$ sont des fonctions données de $p$ et $u,$ il est clair que l’équation précédente ne sera qu’entre ces deux variables, en sorte qu’elle pourra s’intégrer par les méthodes ordinaires ; ainsi l’on aura $p$ en $u,$ et comme l’intégration introduira une constante arbitraire $\alpha$ dans la valeur de $p,$ on pourra en déduire la valeur générale et complète de $u.$

En effet, l’équation

$du-pdx-qdy=0,$

ou bien

$du-pdx-\mathrm {P} dy=0$

donnera celle-ci

$dy={\frac {du-pdx}{\mathrm {P} }},$

où le second nombre étant une fonction de $x$ et $u$ seuls, sera nécessairement intégrable ; de sorte qu’on aura

$\mathrm {N} =y-\int {\frac {du-pdx}{\mathrm {P} }}\,;$

et de là on tirera la valeur de ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }},$ qui étant supposée égale à $f'(\alpha )$ servira à déterminer celle de $\alpha$, qu’on substituera ensuite dans l’équation intégrale

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0.$

Huitième Cas. — Lorsque $q=p\mathrm {X+V} ,$ $\mathrm {X}$ étant une fonction de $x$ et $y$, et $\mathrm {V}$ une fonction de $x,y$ et $u.$

Au lieu de considérer l’équation de condition par laquelle on doit déterminer $p,$ je considérerai d’abord, ainsi que j’en ai déjà usé plus haut, dans un cas analogue à celui-ci (cinquième Cas), la quantité

$du-pdx-qdy,$

qui doit être une différentielle complète, ou dans l’état où elle est, ou après la multiplication par un facteur quelconque $\mathrm {M} .$ Or, mettant $p\mathrm {X+V}$ à la place de $q,$ elle devient

$du-p(dx+\mathrm {X} dy)-\mathrm {V} dy\,;$

et cherchant le multiplicateur $m$ qui rendra $dx+\mathrm {X} dy$ égale à une différentielle exacte $dz,$ on aura

$du-{\frac {p}{m}}dz-\mathrm {V} dy,$

quantité où ${\frac {p}{m}}$ est une fonction inconnue, et où $\mathrm {V}$ est une fonction

connue de $x,y,u,$ ou bien de $u,y,z,$ en mettant à la place de $x$ sa valeur tirée de l’équation

$\int m(dx+\mathrm {X} dy)=z.$

Supposons donc que cette quantité, étant multipliée par $\mathrm {M} ,$ devienne une différentielle exacte ; il faudra que

$\mathrm {M} \left(du-\mathrm {V} dy-{\frac {p}{m}}dz\right)$

soit la différentielle d’une fonction de $u,y,z\,;$ donc, en regardant d’abord $z$ comme constante, il faudra que

$\mathrm {M} (du-\mathrm {V} dy)$

soit la différentielle d’une fonction de $u$ et $y\,;$ ainsi il n’y aura d’abord qu’à chercher le multiplicateur $\mathrm {M}$ qui rendra intégrable la quantité $\mathrm {M} (du-\mathrm {V} dy)$ considérée comme fonction de $u$ et $y$ seuls. Soit donc

$\int \mathrm {M} (du-\mathrm {V} dy)=\mathrm {Z} ,$

il est clair que $\mathrm {Z}$ contiendra aussi $z$ comme constante ; de sorte que si l’on veut maintenant traiter $z$ comme variable, on aura, pour la différéntielle complète de $\mathrm {Z} ,$ la quantité

$\mathrm {M} (du-\mathrm {V} dy)+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}dz\,;$

donc

$\mathrm {M} (du-\mathrm {V} dy)=d\mathrm {Z} -{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}dz\,;$

de sorte que la quantité qui doit être une différentielle exacte deviendra

$d\mathrm {Z} -\left({\frac {\mathrm {M} p}{m}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}\right)dz.$

Or il est visible que pour que cette condition ait lieu il n’y aura qu’à supposer

${\frac {\mathrm {M} p}{m}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=\alpha \,;$

ce qui donnera une valeur particulière de $p$ qui, contenant la constante arbitraire $\alpha ,$ conduira, à l’aide de notre méthode, à la solution générale du Problème. On aura en effet

$\mathrm {N=Z} -\alpha z,$

d’où

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-z=f'(\alpha ),$

et de là

$\mathrm {\mathrm {N} } -f(\alpha )=\mathrm {Z} -\alpha z-f(\alpha )=0.$

D’où l’on voit que $\alpha$ sera une fonction quelconque de $z\,;$ en sorte que l’équation, qui donnera la valeur complète de $u,$ pourra se mettre sous cette forme plus simple

$\mathrm {Z} -f(z)=0.$

Au reste on peut faire ici une remarque analogue à celle qu’on a faite ci-dessus dans la solution du cinquième Cas, dont celui-ci n’est qu’une généralisation.

Neuvième Cas. — Lorsque $q=p^{m}\mathrm {XYU} ,$ $\mathrm {X}$ étant une fonction de $x,$ $\mathrm {Y}$ une fonction de $y$ et $\mathrm {U}$ une fonction de $u.$

Je considère encore immédiatementla quantité

$du-pdx-qdy,$

laquelle, par la substitution de la valeur de $q,$ devient

$du-pdx-p^{m}\mathrm {XYU} dy\,;$

je fais

$p=rv,$

$v$ étant une fonction de $u,$ et j’ai

$du-rvdx-r^{m}v^{m}\mathrm {XYU} dy\,;$

je suppose maintenant $v=v^{m}\mathrm {U} ,$ ce qui donne

$v={\sqrt[{m-1}]{\frac {1}{\mathrm {U} }}},$

et divisant ensuite toute la quantité précédente par $v,$ j’ai

${\frac {du}{v}}-rdx-r^{m}\mathrm {XY} dy\,;$

il est clair que cette quantité sera intégrable si l’on fait

$r^{m}\mathrm {X} =\alpha ,$

$\alpha$ étant une constante, car elle deviendra

${\frac {du}{v}}-{\sqrt[{m}]{\frac {\alpha }{\mathrm {X} }}}dx-\alpha \mathrm {Y} dy,$

dont l’intégrale sera

$\mathrm {N} =\int {\frac {du}{v}}-{\sqrt[{m}]{\alpha }}\int {\frac {dx}{\sqrt[{m}]{\mathrm {X} }}}-\alpha \int \mathrm {Y} dy\,;$

de là on tirera donc la valeur de ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }},$ qu’on fera égal à $f'(\alpha ),$ et il n’y aura plus qu’à substituer la valeur de $\alpha ,$ qui résultera de cette dernière équation, dans celle-ei

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0.$

Remarque. — Si l’on a une équation entre $p,q,u$ et $x,$ on pourra regarder $p$ et $q$ comme des fonctions de $u$ et $x$ seuls, et le Problème rentrera dans le cas où l’équation est entre $p,q,x,y,$ en prenant $y$ à la place de $u,$ $-{\frac {p}{q}}$ à la place de $p,$ et ${\frac {1}{q}}$ à la place de $q\,;$ car il est visible que l’équation

$du-pdx-qdy=0$

peut se mettre aussi sous la forme

$dy+{\frac {pdx}{q}}-{\frac {du}{q}}=0,$

qui résulte de la précédente, en changeant $u$ en $y,$ $p$ en $-{\frac {p}{q}},$ $q$ en ${\frac {1}{q}}.$ Il en sera de même, mutatis mutandis, du cas où l’on aura une équation entre $p,q,u$ et $y.$

9. Les cas que nous venons d’examiner renferment d’une manière générale à peu près tout ce qu’on sait sur l’intégration des équations du premier ordre entre trois variables ; d’où l’on voit combien peu on est encore avancé dans cette matière. Le principe que nous avons donné, pour trouver l’intégrale complète d’après une intégrale particulière, est, comme on voit, très-fécond, et suffit seul pour résoudre la plupart des cas où l’intégration réussit. Nous remarquerons cependant sur ce sujet que si, au lieu d’avoir une valeur particulière de $p,$ laquelle renferme une constante arbitraire, on avait une valeur particulière de $u$ renfermant de même une constante arbitraire, on ne pourrait cependant pas trouver par son moyen l’intégrale complète ; mais on pourrait y parvenir si la valeur particulière de $u$ renfermait à la fois deux constantes arbitraires.

10. Pour démontrer cette proposition et donner en même temps le moyen de déduire la valeur complète de $u$ d’une valeur particulière renfermant deux constantes arbitraires, supposons que cette valeur soit déterminée par une équation entre $u,x$ et $y,$ laquelle renferme outre cela deux constantes $\alpha$ et $\beta$ qui ne se trouvent pas dans l’équation différentielle il est visible que, si l’on différentie cette équation en sorte que l’une des constantes comme $\beta$ disparaisse, on aura une équation différentielle qui sera nécessairement comparable à la proposée

$du-pdx-qdy=0,$

et d’où l’on pourra tirer par la comparaison une valeur de $p,$ laquelle renfermera encore une constante arbitraire $\alpha \,;$ en sorte qu’on pourra ensuite en déduire la valeur complète de $u.$ Mais si l’équation en $u,x$ et $y$ ne renfermait qu’une constante arbitraire, alors il est visible qu’en faisant évanouir cette arbitraire par la différentiation, l’équation différentielle qui en résultera ne renfermera plus de constantes arbitraires ; ainsi l’on ne trouvera qu’une valeur particulière de $p$ qui n’aura point de constante arbitraire, et qui sera par conséquent inutile pour la recherche de la valeur complète de $u.$

11. Il ne doit point au reste être étonnant qu’une solution particulière, qui renferme deux constantes arbitraires, soit suffisante pour en déduire la solution complète ; car en y regardant de plus près on voit que cette solution remplit presque en entier les conditions de l’équation différentielle, puisqu’on ne peut faire évanouir les deux constantes arbitraires sans tomber dans une équation qui renferme à la fois les différences partielles ${\frac {du}{dx}}$ et ${\frac {du}{dy}}\,;$ en effet, comme il y a deux quantités à éliminer, il faudra avoir trois équations ; ainsi il en faudra encore deux outre la proposée, et ces deux ne peuvent venir que de deux différentiations différentes, l’une en faisant varier $x$ et l’autre en faisant varier $y$.

On peut prouver de la même manière que, si l’on a une fonction $u$ de trois variables $x,y,z,$ laquelle dépende d’une équation différentielle du premier ordre entre $u,x,y,z,$ et ${\frac {du}{dx}},\ {\frac {du}{dy}},\ {\frac {du}{dz}},$ et qu’on ait une valeur particulière de $u,$ laquelle renferme trois constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ cette valeur remplira presque en entier les conditions du Problème ; car on ne pourra éliminer les trois constantes qu’au moyen de trois différentiations, l’une relative à $x,$ l’autre à $y$ et la troisième à $z.$

Et ainsi de suite.

12. En général, soit $u$ une fonction de plusieurs variables $x,y,z,\ldots ,$ et soit donnée une équation entre

$u,\ x,\ y,\ z,\ldots ,\quad {\frac {du}{dx}},\ {\frac {du}{dy}},\ {\frac {du}{dz}},\ldots$

par laquelle il faille déterminer la valeur de $u$. Supposons que l’on ait une valeur particulière de $u,$ laquelle renferme les constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ dont le nombre soit égal à celui des variables $x,y,z,\ldots \,;$ qu’on en tire la valeur d’une de ces constantes comme $\alpha ,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {V} =\alpha ,$

$\mathrm {V}$ étant une fonction de $u,x,y,z,\ldots$ et de $\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ qu’on différentie cette équation, et supposant

$d\mathrm {V} =\mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots ,$

on aura, en divisant par $\mathrm {M} ,$ l’équation

$du+{\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {M} }}+{\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {M} }}+{\frac {\mathrm {R} dz}{\mathrm {M} }}+\ldots =0\,;$

en sorte que

${\frac {du}{dx}}=-\mathrm {\frac {P}{M}} ,\quad {\frac {du}{dy}}=-\mathrm {\frac {Q}{M}} ,\quad {\frac {du}{dz}}=-\mathrm {\frac {R}{M}} ,\ldots ,$

et ces valeurs seront telles, qu’elles satisferont par l’hypothèse à l’équation donnée. Maintenant, comme la solution du Problème dépend uniquement de ce que l’équation précédente devient intégrable étant multipliée par le facteur $\mathrm {M} ,$ c’est-à-dire de ce que

$\mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots$

est une différentielle complète de $u,x,y,z,$ il est clair que la solution aura lieu de même si les quantités $\beta ,\gamma ,\ldots ,$ au lieu d’être constantes, sont variables, pourvu que la même différentielle continue à être complète or l’intégrale de cette différentielle, tant que $\beta ,\gamma ,\ldots$ sont constantes, est $\mathrm {V} \,;$ en sorte qu’on a dans cette hypothèse

$\mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots =d\mathrm {V} \,;$

mais si l’on regarde comme variable, alors on aura

$\mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots +{\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}d\beta =d\mathrm {V} \,;$

donc

$\mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots =d\mathrm {V} -{\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}d\beta \,;$

donc comme $d\mathrm {V}$ est par elle-même une différentielle complète, il faudra que ${\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}d\beta$ soit aussi une quantité intégrable d’elle-même, ce qui ne peut avoir lieu à moins que ${\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}$ ne soit égal à une fonction quelconque de $\beta .$ Ainsi supposant

${\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}=f(\beta ),$

et tirant de cette équation la valeur de $\beta ,$ on pourra la substituer à la place de $\beta ,$ et l’on aura, au lieu de l’équation $\mathrm {V} =\alpha ,$ celle-ci

$\mathrm {V-B} =\alpha ,$

$\mathrm {B}$ étant égal à $\int f(\beta )d\beta ,$ où il faut remarquer que les quantités $\gamma ,\ldots$ peuvent entrer d’une manière quelconque en qualité de constantes dans la fonction $f(\beta ),$ et par conséquent aussi dans la fonction $\mathrm {B} .$ Maintenant on pourra rendre de même variable la quantité $\gamma$ contenue dans $\mathrm {V}$ et $\mathrm {B} ,$ en prenant

${\frac {d(\mathrm {V-B} )}{d\gamma }}=f(\gamma ),$

ce qui détermine $\gamma \,;$ et substituant ensuite cette valeur de $\gamma ,$ on aura l’équation

$\mathrm {V-B-C} =\alpha ,$

où $\mathrm {C} =\int f(\gamma )d\gamma ,$ et ainsi de suite.

Par ce moyen l’intégrale incomplète

$\mathrm {V} =\alpha$

deviendra de la forme

$\mathrm {V-B-C} -\ldots =\alpha ,$

et sera nécessairement complète, puisqu’elle contiendra autant de fonctions arbitraires qu’il y a de variables $x,y,z,\ldots$ moins une^[1].

13. Pour faire voir l’usage de cette méthode par un exemple très général, supposons que $\mathrm {X}$ soit une fonction de ${\frac {du}{dx}}$ et $x,$ que $\mathrm {Y}$ en soit une de ${\frac {du}{dy}}$ et $y,$ que $\mathrm {Z}$ en soit une de ${\frac {du}{dz}}$ et $z,$ et ainsi de suite, et que l’on ait une équation donnée entre $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ,$ d’où il faille tirer la valeur de $u\,;$ comme le Problème consiste à faire en sorte que la quantité

$du-pdx-qdy-rdz-\ldots$

soit intégrable ou par elle-même ou étant multipliée par un facteur quelconque, en supposant

$p={\frac {du}{dx}},\quad q={\frac {du}{dy}},\quad r={\frac {du}{dz}},\ldots ,$

il est clair que la condition du Problème sera remplie si $p$ est une fonction de $x$ seul, $q$ de $y$ seul, $r$ de $z$ seul, etc. ; or c’est ce qui aura lieu si l’on fait $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ égales à des quantités constantes ; car alors l’équation donnée servira à déterminer une de ces constantes par toutes les autres, en sorte qu’il restera autant de constantes arbitraires, $\beta ,\gamma ,\ldots$ qu’il y aura de variables $x,y,z,\ldots$ moins une. De cette manière on aura

$\mathrm {V} =u-\int pdx-\int qdy-\int rdz-\ldots =\alpha$

pour l’équation qui détermine la valeur particulière de $u\,;$ et, comme cette valeur de $u$ contient les constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on pourra compléter la solution par la méthode exposée ci-dessus.

14. Il est clair qu’on peut généraliser encore le cas précédent, en supposant que $\mathrm {W}$ soit une fonction quelconque de $u,$ et que l’on ait $\mathrm {X}$ égal à une fonction de $\mathrm {W} {\frac {du}{dx}}$ et $x,$ $\mathrm {Y}$ une fonction de $\mathrm {W} {\frac {du}{dy}}$ et $y$, $\mathrm {Z}$ une fonction de $\mathrm {W} {\frac {du}{dz}}$ et $z,\ldots \,;$ car en faisant $\mathrm {X,Y} ,\ldots$ constantes, on aura $p$ égal à une fonction de $x$ seul divisée par $\mathrm {W} ,$ $q$ égal à une fonction de $y$ seul divisée de même par $\mathrm {W} ,\ldots ,$ de sorte que la quantité

$du-pdx-qdy-rdz-\ldots$

étant multipliée par $\mathrm {W}$ deviendra intégrable.

1. L’analyse qui vient d’être développée conduit assurément à l’intégrale générale de l’équation proposée, mais cette intégrale ne contient pas, comme le dit ici par inadvertance l’illustre Auteur, autant de fonctions arbitraires moins une qu’il y a de variables indépendantes. Dans la formule obtenue par Lagrange, il n’y a en réalité qu’une seule fonction arbitraire, $\mathrm {B+C} +\ldots +\alpha ,$ laquelle dépend des quantités $\beta ,\gamma ,\ldots .$ Si l’on représente cette fonction par $f(\beta ,\gamma ,\ldots ),$ l’intégrale générale de l’équation proposée sera le résultat de l’élimination de $\beta ,\gamma ,\ldots$ entre l’équation
   $\mathrm {V} =f(\beta ,\gamma ,\ldots )$

   et les suivantes

   ${\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}={\frac {df}{d\beta }},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d\gamma }}={\frac {df}{d\gamma }},\ldots .$
   (Note de l’Éditeur.)