SUR UNE
MÉTHODE PARTICULIÈRE D’APPROXIMATION
ET
D’INTERPOLATION.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1783.)
Lorsque l’inconnue qu’on cherche est donnée par une équation d’une forme déterminée, on peut toujours la trouver, soit rigoureusement, soit par différentes méthodes d’approximation. Mais il peut arriver que la forme de l’équation soit elle-même indéterminée ; en ce cas aucune des méthodes connues ne peut servir ; c’est pourquoi je me flatte que les Géomètres me sauront quelque gré de leur en communiquer une qui a l’avantage de pouvoir être pratiquée, non-seulement en employant des opérations analytiques, mais aussi à l’aide de simples opérations mécaniques, et qui renferme d’ailleurs une méthode d’interpolation applicable à un grand nombre de questions.
1. Soit
une fonction inconnue de
pour la détermination de laquelle on ait une équation quelconque entre
et
en supposant
donnée en
d’une manière quelconque. On suppose que pour une valeur donnée de
on connaisse celle de
et l’on demande la valeur de
correspondante à une autre valeur donnée de
.
2. Soit
![{\displaystyle \varphi (x)=y,\quad \varphi (\mathrm {X} )=\mathrm {Y} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0eb7050eaeaefa366bdafb62b118326d778f4a2)
on aura donc une équation entre
et
et une autre entre
et
et l’on pourra représenter ces équations par deux courbes, dans l’une desquelles
sera l’abscisse,
l’ordonpée, et dans l’autre
sera l’abscisse et
l’ordonnée.
3. Si l’on fait
il est clair qu’on aura aussi
alors l’équation entre
et
se changera en une équation en
seul, par laquelle on déterminera
et de même l’équation entre
et
se réduira en une équation en
seul, laquelle servira à déterminer
Nous dénoterons par
et
les valeurs de
et
trouvées par ces deux équations.
4. Si la relation entre
et
au lieu d’être donnée par une équation algébrique, était simplement représentée par une courbe dont
et
fussent les deux coordonnées, alors, pour avoir la valeur de
il faudra chercher mécaniquement le point de la courbe dont l’abscisse et l’ordonnée seront égales. On trouvera de même la valeur de
dans la courbe dont
et
seront les coordonnées.
5. Donc, puisque
donne
il s’ensuit que
(en supposant
une quantité assez petite) donnera
![{\displaystyle y=\beta +\gamma \xi +\delta \xi ^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a5601313d35036aeaf37ced34e14d045559ea1)
et, prenant
assez petite pour que
puissent être négligées, on aura simplement
![{\displaystyle y=\beta +\gamma \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487bd1321a6039036f33ddc3ae1f5fc3055ea368)
Ainsi, pour
![{\displaystyle x=\alpha +\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511d43f42b00133ad7cbb703e316a23c0739a4a3)
on aura
![{\displaystyle y=\beta +\gamma \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab7c50c10f746f5131bea5f757a4ec26f45d8a4)
en supposant
si petite que les puissances
puissent être censées nulles, eu égard au degré de précision auquel on veut porter le calcul. Mais il faudra déterminer le coefficient
et pour cela il est nécessaire
de supposer connue une valeur de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
correspondante à une valeur quelconque donnée de
![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Voici donc comment on parviendra à cette détermination.
6. Soient
et
les valeurs connues et données de
et
en sorte que
![{\displaystyle x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b)
donne
![{\displaystyle y=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef1bd48463dbb0709b15f72779baf4c80f980a2)
Qu’on cherche la valeur de
répondante à
et qu’on la désigne par
qu’on fasse ensuite
![{\displaystyle x=\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56cf738599e7d7c99edb2c1f9db876d0c6273874)
et qu’on cherche la valeur correspondante de
laquelle soit
qu’on fasse de nouveau
![{\displaystyle x=\mathrm {A} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e782114834641a19b2d553c59acd85194c23b99)
et qu’on désigne par
la valeur correspondante de
qu’on continue à faire
![{\displaystyle x=\mathrm {A} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a72133ae2149dd1fda5f181b666feca0609b7ad)
et ainsi de suite.
Qu’on fasse les mêmes opérations par rapport à
et
c’est-à-dire que
donne
![{\displaystyle \mathrm {Y=B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156466c3266b2ba4e489e0fb164a3699ed62fb65)
qu’ensuite
donne
![{\displaystyle \mathrm {Y=B'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f465d7a27b5d753ae8dbd959f68a87ae0dfe844)
que de plus
donne et ainsi de suite.
![{\displaystyle \mathrm {Y=B''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44caadc006cab3e92c13ec8c17810f006f206155)
et ainsi de suite.
On aura de cette manière deux suites correspondantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a,\mathrm {A,A',A'',A'''} ,\ldots ,\\&b,\mathrm {B,B',B'',B'''} ,\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af7a3bbf3d678a1f378864fa747475f64b7f297)
telles que, si
est supposé égal à un terme quelconque de la première, le terme correspondant de la seconde sera la valeur correspondante de
.
7. Or je remarque que, si les termes de la série
![{\displaystyle a,\mathrm {A,A',A'',A'''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2fff0c1eeb4859dbce68a61ba5dc8771d51952)
approchent peu à peu de l’égalité, ils doivent approcher en même temps de la quantité
trouvée ci-dessus (3) ; car, puisque
est la valeur de
qui rend
il s’ensuit que si par exemple
on aura aussi
par conséquent
et vice versâ.
Et comme, lorsque
on a aussi
il s’ensuit encore que les termes de la série
![{\displaystyle b,\mathrm {B,B',B''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2906c4fb348060f6ee8fa5d1c7d56517fb90fc31)
approcheront aussi en même temps de l’égalité et de la quantité ![{\displaystyle \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7eccdb23980e06f136fbea999c8e96e7db1b6b)
En poussant donc les deux séries assez loin pour qu’on parvienne à des termes
peu différents de
et de
on pourra supposer (5)
![{\displaystyle \mathrm {A} '''^{\ldots }=\alpha +\xi ,\quad \mathrm {B} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936940c0cc90494f7e2c61c662e0abfb3fbf38d7)
De là on aura
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha ,\quad \mathrm {B} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8dff753003bcb4d067e8b7cb762f1ad466786d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \gamma ={\frac {\mathrm {B} '''^{\ldots }-\beta }{\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38f2b5822b5a0f179c8a47ab4832a4974bbdd32)
Ainsi l’on connaîtra la valeur du coefficient ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
8. Si la série
![{\displaystyle a,\mathrm {A,A',A''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b829bc936d77352176c0e8225edfe721060628)
était divergente, alors elle serait convergente de l’autre côté ; il faudrait donc continuer cette série en sens contraire suivant la même loi, c’est-àdire en sorte que chaque terme soit une fonction de celui qui le précédera à gauche, telle que
l’est de
.
Ainsi l’on fera dans ce cas
![{\displaystyle \mathrm {X} =a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b23b7ec7e305f8d7e52335a902cc326e4f395fd)
et l’on cherchera la valeur de
qui en résulte et qu’on nommera
on fera ensuite
![{\displaystyle \mathrm {X} =a',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eca34de1d60de3f134f18affbf105027f5214b)
et l’on cherchera la valeur résultante de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
qu’on nommera
![{\displaystyle a'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a2f32c6938238c4a8e9b709a00c6299106f9c9)
et ainsi de suite. On fera de même
![{\displaystyle \mathrm {Y} =b,\quad y=b',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860b71323de8d13f87237eb31a783ca6e91a0585)
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {Y} =b',\quad y=b'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9af1bb64271f0ce196a6c83e26a5062a5e35603)
et ainsi du reste.
On aura ainsi les deux séries
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}&a,&a',&a'',&a''',\ldots \\&b,&b',&b'',&b''',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7cc662c4a4f9d96b12ddb4b3a9f40bcdb40b00)
qui seront convergentes vers les quantités
et
et serviront par conséquent à déterminer la valeur de
en faisant
![{\displaystyle a'''^{\ldots }=\alpha +\xi \quad {\text{et}}\quad b'''^{\ldots }=\beta +\gamma \xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da39a1406f9d58fc4f82b999b38d4bba01d7250)
d’où
![{\displaystyle \gamma ={\frac {b'''^{\ldots }-\beta }{a'''^{\ldots }-\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9e936ed43947bc91c49048e7a4e68d5947e492)
9. Au reste, lorsque les relations entre
et
et entre
et
sont données algébriquement, on pourra trouver les valeurs arithmétiques des termes des séries proposées aussi exactement qu’on voudra par les règles connues. Mais, si ces relations ne sont représentées que par des courbes, il faudra alors chercher mécaniquement les termes dont il s’agit, en prenant les ordonnées correspondantes aux abscisses données, ou les abscisses correspondantes aux ordonnées données ; opération qui n’a aucune difficulté lorsque les courbes sont tracées avec exactitude.
10. Cela posé, qu’on cherche maintenant la valeur de
correspondante à une valeur quelconque donnée de
.
Soit
la valeur donnée de
qu’on fasse
![{\displaystyle x=m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314411939481d72fcde6b9ef64d10c1df9cfbe20)
et qu’on cherche la valeur correspondante de
qu’on nommera
qu’on fasse ensuite
![{\displaystyle x=\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1c944603a49a033808c087c63a3b0bf27e637d)
et que
![{\displaystyle \mathrm {M} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72be84f7b9a9c6c807d09bd03b880adb45bc5678)
soit la valeur correspondante de
![{\displaystyle \mathrm {X} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8519eb47a0e485e9db09dccb5b1da8e84ac76a)
qu’on fasse encore
![{\displaystyle x=\mathrm {M} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28db2174d4c87600ffc9e5d9f33a7ee4a06ec1a)
et que
soit la valeur de
et ainsi de suite.
On aura de cette manière la série
![{\displaystyle m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90afc5ee886dbe7c3a01176ca7833aa01343cb58)
laquelle, si elle tend vers l’égalité, sera nécessairement convergente vers la quantité
par la même raison que nous avons vue plus haut (7). On parviendra donc dans ce cas à un terme tel que
lequel sera peu différent de
en sorte qu’on pourra faire
![{\displaystyle \mathrm {M} '''^{\ldots }=\alpha +\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2279413e321846dbcf7679861ad84cd47cc1a84)
et alors, ce terme étant pris pour
la valeur correspondante de
sera
(5). Ainsi lorsque
sera presque égal à
on aura, pour ![{\displaystyle x=\mathrm {M} '''^{\ldots },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d81eb420e6e3ec73cc96bc852e488d569e653c2)
![{\displaystyle y=\beta +\gamma \left(\mathrm {M} '''^{\ldots }-\alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590f548fae062b816153d089a4ae6ca723f56c0b)
Supposons que
soit la valeur cherchée de
correspondante à
que de même
soit la valeur qui en résulte pour
et que
![{\displaystyle y=\mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e765a4d1bda43f7d10c7512e997c3b1e189e49a)
donne
![{\displaystyle \mathrm {Y=N} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1df514ec014f7c9b0150e35e020db47dbfcbd89)
qu’ensuite
![{\displaystyle y=\mathrm {N} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3bbb462f271e185d86d034775a3ad1c0005a58)
donne
![{\displaystyle \mathrm {Y=N} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c281964816a9607393b74cafebb8b8865071c78)
et ainsi de suite. Il est clair que les termes de la série
![{\displaystyle n,\ \ \mathrm {N,\ \ N',\ \ N''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6cadfe03f55893b40119d6081c3dd340e213c6a)
seront les valeurs de
répondantes aux valeurs
![{\displaystyle m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e9fd189bfdc13ec081c60951436e7ee3f7b6fc)
de
![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Donc aussi
![{\displaystyle \mathrm {N} '''^{\ldots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb0026bea39754d614229d7b46a83a73315e22a)
sera la valeur de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
qui répond à
![{\displaystyle x=\mathrm {M} '''^{\ldots }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8bd805702867807b6874f3a6d608a12b64ce15)
par conséquent on aura
![{\displaystyle \mathrm {N} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(\mathrm {M} '''^{\ldots }-\alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f3e6b8e9a0caab1d7f3efcfef360d700a8f729)
Cette valeur de
sera donc connue, et de là, en remontant par des opérations contraires, on trouvera tous les termes précédents de la série
![{\displaystyle n,\ \ \mathrm {N,\ \ N',\ \ N'',\ldots ,\mathrm {N} '''^{\ldots }} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d3f537a49e63f1f003dcba9eef99da9e588d2)
et l’on parviendra ainsi à la valeur cherchée
.
11. Si la série
![{\displaystyle m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e9fd189bfdc13ec081c60951436e7ee3f7b6fc)
ne tend pas vers l’égalité, et par conséquent ne converge pas vers la valeur de
il faudra alors la continuer en sens contraire, c’est-à-dire former la série
![{\displaystyle m,\ \ m',\ \ m'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc17d407a722349234445913c90f84b871b5533)
en faisant, comme dans le no 8 ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {X} =m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ea56d68b4b826627660cec86c124ecf0342b65)
et de là
![{\displaystyle x=m',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a7c5e95636794cb5a7cc7444dff9a81e9a9107)
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {X} =m',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a868995864c1471b7801dda410f2f0a0967de881)
et de là
![{\displaystyle x=m'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3975942079aadc3cc60f3c785d5392651580f9fa)
et ainsi de suite. La série
![{\displaystyle m,\ \ m',\ \ m'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc17d407a722349234445913c90f84b871b5533)
étant convergente vers
on la poussera jusqu’à un terme
peu différent de
et, faisant
![{\displaystyle x=m'''^{\ldots }=\alpha +\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffdeb0831c5bfb7188093df464bfdc9d4cded23)
on aura
![{\displaystyle y=\beta +\gamma \xi =\beta +\gamma \left(m'''^{\ldots }-\alpha \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3764413232de8787ce3b8c7479dfc7eea7f573)
c’est le terme correspondant dans la série
![{\displaystyle n,\ \ n',\ \ n'',\ldots ,n'''^{\ldots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff009e19753ec3f6dea0b7a35978d0b572956ab)
formée suivant cette loi, que
![{\displaystyle \mathrm {Y} =n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5df023360aae581111bcf643e3852d42254f21)
donne
![{\displaystyle y=n',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260227357cbc46265b48c44fbfa75731ed1d5c9c)
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {Y} =n'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6844d7bf83131890842a660cb6cc3c96ed5e738)
donne
![{\displaystyle y=n'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055eef4fb305f6f452cc0eedcb663ceda5c594eb)
et ainsi de suite. Ainsi, en remontant de ce terme connu vers le précédent, on trouvera la valeur cherchée de
.
12. Nous avons supposé que l’équation donnée entre
et
c’est-à-dire entre
et
(2), était indépendante de
mais il n’est pas difficile de voir que la même méthode peut servir également lorsque cette équation contiendra aussi
d’une manière quelconque seulement on ne pourra pas dans ce cas représenter la relation entre
et
par une courbe ; mais il faudra nécessairement que cette relation soit exprimée algébriquement. Il ne s’agira alors que de substituer, à chaque opération, dans l’équation entre
et
la valeur de
déjà trouvée dans l’opération correspondante et relative à
ainsi, après avoir trouvé la valeur
de
laquelle rend
=X, on mettra cette valeur pour
dans l’équation en
et
et, faisant
on en tirera la valeur
de
et ainsi du reste.
Enfin il pourrait arriver que
se trouvât
alors pour
![{\displaystyle x=\alpha +\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e110bfdb79296d9ee572d508c85918e6104db4)
on aurait (5)
![{\displaystyle y=\beta +\delta \xi ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e1b4f2368856ee3a99306da7aaac127cd370e3)
et le Problème serait toujours résoluble par les mêmes principes.
13. La méthode que nous venons d’exposer n’est autre chose dans le fond qu’une généralisation de celle qui a été employée par Briggs dans la construction de sa Table des logarithmes. (Voyez son Ouvrage intitulé : Arithmetica logarithmica.) Cette méthode de Briggs est peu connue, et dans la foule des Auteurs qui, dans ce siècle-ci, ont traité des logarithmes, il n’y en a peut-être pas un qui en ait fait usage, ou même mention ils ont presque tous suivi la méthode indirecte et de tâtonnement, qui est à la vérité préférable lorsqu’il s’agit de construire des Tables ; mais celle de Briggs a l’avantage d’être tout à fait directe et de donner immédiatement le logarithme de chaque nombre sans le faire dépendre d’aucun autre logarithme. Comme elle est applicable à plusieurs questions qui pourraient échapper aux méthodes connues, j’ai cru devoir en enrichir l’Analyse, en la généralisant et la présentant, ainsi que je viens de le faire, avec toute l’étendue dont elle est susceptible.
Application aux logarithmes.
14. Pour donner un exemple de cette méthode, nous choisirons la question même des logarithmes, comme renfermant l’application la plus simple qu’on en puisse faire ; et nous partirons aussi de la propriété la plus simple des logarithmes, celle que le logarithme d’un carré est égal au double du logarithme de sa racine.
On aura donc dans ce cas (1)
![{\displaystyle \varphi (x)=\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c88514322e2a97bbaba85451e98a23a72db387)
et, comme la propriété donnée consiste en ce que
![{\displaystyle \log x^{2}=2\log x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2613cd30758ff312f0a9f792a88d164be7e324)
l’équation entre
et
sera
![{\displaystyle \varphi (x^{2})=2\varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c502f67f9cb40a503a85167ba60a2750490ea493)
donc
![{\displaystyle \mathrm {X} =x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1579fd340ae254a2a1a93420a47e34d3cf2138)
et, faisant (2)
![{\displaystyle \varphi (x)=y\quad \varphi (\mathrm {X} )=\mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986748e71e4e3eb94fcaefbfad628112458ffdf8)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Y} =2y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9a9da3385ba7da175d21672421e70bb8c9fa55)
Ainsi le lieu de l’équation entre
et
est une parabole, et celui de l’équation entre
et
est une simple ligne droite.
Faisant maintenant
![{\displaystyle \mathrm {X} =x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594f1919e449af381e52bcd7c3f20232e7b586c3)
on a
![{\displaystyle x=x^{2},\quad {\text{donc}}\quad x=1=\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75dc99db5fd9fec73c71c6a4f1f5e4f6ae3ab8dd)
et, faisant
on a (3)
![{\displaystyle y=2y,\quad {\text{donc}}\quad y=0=\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e6dcb1f2f27bd7735f284e3876ed486d7aeb7c)
15. À l’égard des valeurs de
et
qu’on doit supposer connues et que nous avons désignées par
et
(6), elles dépendent du système de logarithmes qu’on veut adopter. Dans celui de Briggs, qui est le système reçu généralement, on fait
donc
donne
par
![{\displaystyle a=10,\quad b=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e325c2fe698fc699740f082871193c838da26f)
Ainsi la série
![{\displaystyle a,\ \ \mathrm {A,\ \ A',\ \ A''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd70d27b40febc9a77b3553a1d1e6cd6033d9e61)
deviendra
![{\displaystyle 10,\ \ 10^{2},\ \ 10^{4},\ \ 10^{8},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d928a21ddfd873029ff8d27be86e73b42bfafd)
et la série correspondante
![{\displaystyle b,\ \ \mathrm {B,\ \ B',\ \ B''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af332a1540d97c010ac00f5d94ddaad9aa166d12)
sera
![{\displaystyle 1,\ \ 2,\ \ 4,\ \ 8\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f606a2c18a2f05fffb8371cf3e3b40501664e3c4)
Et réciproquement la série
![{\displaystyle a,\ \ a',\ \ a'',\ \ a''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7021c5ce7bf9aec0799f02972a4d816baaa96e38)
sera
![{\displaystyle 10,\ \ {\sqrt {10}},\ \ {\sqrt[{4}]{10}},\ \ {\sqrt[{8}]{10}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874e3a1285712dfd744ec329e2108b9b0837c7b4)
et la correspondante
![{\displaystyle b,\ \ b',\ \ b'',\ \ b''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06daa04453bfbca4e49272a9cf01734dab7eb137)
sera
![{\displaystyle 1,\ \ {\frac {1}{2}},\ \ {\frac {1}{4}},\ \ {\frac {1}{8}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad78974f2ed8a4dc838c2a6618fd93c0da435e3)
On voit ici que la série
![{\displaystyle a,\ \ \mathrm {A,\ \ A',\ \ A''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd70d27b40febc9a77b3553a1d1e6cd6033d9e61)
est divergente, mais qu’au contraire la série
![{\displaystyle a,\ \ a',\ \ a'',\ \ a''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7021c5ce7bf9aec0799f02972a4d816baaa96e38)
est convergente et approche de plus en plus de la valeur de
Ainsi il faudra employer cette dernière série pour trouver la valeur de
(8).
16. On extraira donc la racine carrée de
ensuite la racine carrée de cette racine, et puis la racine carrée de celle-ci, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à une racine très-peu différente de l’unité. On formera ensuite les termes correspondants de la série
![{\displaystyle {\frac {1}{2}},\ \ {\frac {1}{4}},\ \ {\frac {1}{8}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce238f01bd514f1959100f6cf243682d9a5ec99c)
par une continuelle bissection de l’unité. On poussera ces séries jusqu’aux termes
et
tels que
et
soient des fractions assez petites pour que leurs carrés soient comme nuls. Ainsi, en employant le calcul décimal, si l’on a fixé le nombre des décimales auquel on veut porter la précision, il faudra que les quantités dont il s’agit se trouvent exprimées par des nombres qui aient avant les chiffres ou notes significatives autant de zéros qu’il y aura de ces chiffres, afin que les carrés de ces nombres tombent hors des limites, fixées.
Briggs, ayant employé
décimales, a poussé le nombre des extractions successives jusqu’à
et il a eu pour dernière racine le nombre
![{\displaystyle 1{,}00000\ 00000\ 00000\ 12781\ 91493\ 20032\ 35,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34b1cd4e931b8b62db4acd078c47c26e04616ca)
c’est le terme
de notre série ![{\displaystyle a',a'',a''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b6f8afb1538b85ed68c955d3910fc93a3fadcd)
Il a trouvé ensuite par
bissections continuelles de l’unité le nombre
![{\displaystyle 0{,}00000\ 00000\ 00000\ 05551\ 11512\ 31257\ 827,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3c557319318d428e0b67855edb05167b761e40)
qui est par conséquent le terme
de la série ![{\displaystyle b',b'',b''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2ba77845c62acdbcb552d2f66dc6b932dfbc42)
Ainsi, puisque
![{\displaystyle \alpha =1,\quad \beta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3861cd635fec609aa4e408bae986195432b08efd)
on aura
![{\displaystyle \gamma ={\frac {b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}{a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ad1663d999285e1acf9f933f4ebf29f43bc860)
savoir
![{\displaystyle \gamma ={\frac {0{,}5551\ 11512\ 31257\ 827}{1{,}2781\ 91493\ 20032\ 35}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae53841de0f743fc310c3ea1d8e76966b57078d1)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle \gamma =0{,}4342\ 94481\ 90325\ 18.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502dda4357e507fecf3f6c3741c2948145859f20)
17. Cette valeur de
étant ainsi trouvée servira pour déterminer les logarithmes de tous les nombres. Car, si le nombre donné dont on cherche le logarithme est
il n’y aura qu’à former la série
par de semblables extractions de la racine carrée, en sorte que
![{\displaystyle m'={\sqrt {m}},\quad m''={\sqrt {\sqrt {m}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc5d065c97a6fea7ea235ec8c83b21dc40d26ed)
et, dès qu’on sera parvenu ainsi a une racine ou terme
qui aura avant les notes décimales significatives autant de zéros qu’on veut avoir de ces notes significatives, on aura sur-le-champ le terme correspondant
de la série
![{\displaystyle n,\ \ n',\ \ n'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1556a4b161d6647f1cbe7f4aa1af8c9139841015)
des logarithmes par la formule (11)
![{\displaystyle n'''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(m'''^{\ldots }-\alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8e86ab30577b95547ce3c91fc5c8547677346c)
Or les termes de cette dernière série sont formés comme ceux de la série
![{\displaystyle b,\ \ b',\ \ b'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a332b638c499e6396ec94c12a7053a082d07572)
par une bissection continuelle du premier terme
en sorte que, nommant l’exposant du terme
on aura
![{\displaystyle n'''^{\ldots }={\frac {n}{2^{\lambda }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2844024b6c44a69df871db986f1f5c76b72c68b4)
et par conséquent
![{\displaystyle n=2^{\lambda }\times n'''^{\ldots }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f84754e3ae98eb29f7d737220dccdd57a1e8ef5)
Donc, puisque
![{\displaystyle \beta =0,\quad \alpha =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834e142e010b263dbbbba11f9e6668adfb9e3d8e)
on aura
![{\displaystyle n=2^{\lambda }\times \gamma \left(m'''^{\ldots }-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece293b9536ef8e8402105f801a100a38e71a165)
Ce sera le logarithme du nombre
.
18. Briggs a déterminé ainsi les logarithmes de
de
et de plusieurs nombres premiers ; mais, pour faciliter le calcul des extractions des racines carrées, au lieu d’opérer sur le nombre
il opère sur la
puissance de
qui est
et qui étant divisée par
donne le nombre
dont l’extraction des racines carrées est beaucoup plus facile. Prenant donc
pour le nombre proposé, il trouve par
extractions successives le nombre
![{\displaystyle 1{,}00000\ 00000\ 00000\ 16851\ 60570\ 53949\ 77,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d10f150f6c390a7024988ae304cafa1ae615c2)
qui a les conditions demandées ; ainsi, mettant ce nombre la place de
dans la formule précédente et faisant
on a, pour le logarithme
du nombre ![{\displaystyle m=1{,}024,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daf6d4e7d1ffd860cc47d72f8aaf462f9ee8139)
![{\displaystyle n=2^{47}\times 0,00000\ 00000\ 00000\ 16861\ 60570\ 53949\ 77\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a705c31d4d46f5deca2b3aa00c8e1712e283ec6)
c’est-à-dire en substituant la valeur de
trouvée ci-dessus (16)
![{\displaystyle n=2^{47}\times 0,00000\ 00000\ 00000\ 07318\ 55936\ 90623\ 9368\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c935bc2e1041ad2063efa212c27bb74dde5c0fbf)
et de là on aura enfin
![{\displaystyle n=0,01029\ 99566\ 39811\ 95265=\log 1{,}024.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1dc7c163ac99ae6f4d6ffc029409f388e92281)
Ajoutant maintenant à ce logarithme celui de
qui est
on aura
![{\displaystyle 35{,}01029\ 99566\ 39811\ 95265=\log 1024=\log 2^{10}=10\log 2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c73961c61a48e9e41ae7160916c7c9c05a4dbe)
donc, divisant par
on aura
![{\displaystyle \log 2=0{,}30102\ 99956\ 63981\ 19526.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6c16b5914e2bb8ae555f00072c90bc7f948813)
19. Nous avons vu que la valeur du coefficient constant y dépend du système de logarithmes qu’on veut employer, c’est-à-dire du logarithme qu’on veut assigner à un nombre donné (15) ; il peut donc y avoir tel système de logarithmes dans lequel la valeur de
sera l’unité ; et il est clair que ce système sera le plus simple, du moins par rapport à la recherche des logarithmes par la méthode présente. Dans ce système donc le logarithme
d’un nombre
très-peu différent de l’unité, sera simplement
(17), c’est-à-dire qu’on aura
![{\displaystyle \log(1+\xi )=\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc4493e86293c7f4ef3cc6f4f1acc2b983383f8)
lorsque
est une quantité infiniment petite. C’est la propriété connue des logarithmes hyperboliques. Et de là on voit en même temps comment ces sortes de logarithmes, qu’on appelle aussi naturels, ont pu se présenter les premiers à leur inventeur Neper, quoique d’ailleurs notre système décimal paraisse indiquer naturellement les logarithmes tabulaires ou de Briggs, dans lesquels l’unité est le logarithme de ![{\displaystyle 10.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6314920d56a18621f0fbc1d56526be049949f2b)
Ainsi, dans les formules du no 16,
sera le logarithme hyperbolique de
et si l’on nomme
le logarithme hyperbolique de
ou de
le terme
de la série
![{\displaystyle h,h',h'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c947ef411bda6c39925a67da34abd4db337bc9)
des logarithmes correspondants aux nombres
![{\displaystyle a,a',a'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba77ef142962c5c5d6a23d787bc4ac369f4ae4a)
sera évidemment
puisque ces termes procèdent par une bissection continuelle. On aura donc
![{\displaystyle b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}h=a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54233305c7c72914300daa628d6287313b3ff5a6)
et de là
![{\displaystyle h={\frac {a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}{b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}}={\frac {1}{\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c261ab75a815cc886259873e09f7b448df9d8b90)
de sorte que le nombre réciproque du nombre
du système tabulaire sera le logarithme hyperbolique de
et l’on aura par ce moyen
![{\displaystyle \operatorname {log\,hyp} 10=2{,}30258\ 50929\ 94045.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afc661ff8f62c731f45c5a4ff4396eb0ea0f774)
20. Au reste cette méthode de trouver les logarithmes peut être facilement traduite en formule au moyen du Théorème de Newton pour la formation des puissances des binômes. Car, suivant le no 17, on a
![{\displaystyle n=\log m=2^{\lambda }\times \gamma ({\sqrt[{2\lambda }]{m}}-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ffcf739182fded34b276fd968094a83fc8df20)
lorsque
![{\displaystyle 2^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5a5aba115cfc951494fd40a653261437a1be86)
est un très-grand nombre. Donc, si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\lambda }}}=i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a3969f0709edc4b7a396ad1686b05ab28b409a)
en sorte que
soit une fraction fort petite, on aura
![{\displaystyle \log m={\frac {\gamma \left(m^{i}-1\right)}{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b8de20fd63e09ff3b5a1e25f1dd11200eb3016)
Soit
![{\displaystyle m=1+z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5cfea7534e34d9f0b6939a889f5cd2198a71fb)
on aura par le Théorème cité
![{\displaystyle m^{i}=1+iz+{\frac {i(i-1)}{2}}z^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}z^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a25d52cd5ac98a8f4aed5493af17833175ce65)
et lorsque
est un nombre très-petit, on a, en rejetant les termes affectés de ![{\displaystyle i^{2},i^{3},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eb5080adfe7d5640028b8475e0acdeb7fe2fb3)
![{\displaystyle m^{i}=1+i\left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b5c840e25451181a6b9b5b2406c18f5786f7b9)
donc
![{\displaystyle \log(1+z)=\gamma \left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e07093c1f6af7e77e1149115d8b9de8b251bc7)
et si l’on fait
on a
![{\displaystyle \operatorname {log\,hyp} (1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1d6d22ee61ea11124772def7482d3128954404)
comme on le trouve par le Calcul intégral.
21. Réciproquement donc, puisque
![{\displaystyle \log m={\frac {\gamma (m^{i}-1)}{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d694d63cbba542af5e249c24e616db627109c92)
on aura
![{\displaystyle m^{i}=1+{\frac {i\log m}{\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cfe95d5aba7d13a09791a230a1c2aae2d5ce4b)
et de là
![{\displaystyle m=\left(1+{\frac {i\log m}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44357a3626c1d6e3148bca2dd4c57bbecf199b4c)
donc, développant cette puissance par la même formule et faisant en même temps
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
infiniment petit, on aura
![{\displaystyle m=1+{\frac {\log m}{\gamma }}+{\frac {(\log m)^{2}}{2\gamma ^{2}}}+{\frac {(\log m)^{3}}{2.3\gamma ^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7c29c0f1bc5ddd6ceb350861e4ac5b7524a828)
ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.
Halley est, je crois, le premier qui ait donné cette manière également simple et ingénieuse de parvenir aux expressions analytiques des logarithmes par les nombres, et des nombres par les logarithmes. (Voyez les Transactions philosophiques, no 216.)
22. Je finirai par faire remarquer que si l’on élève la quantité
à une puissance quelconque
et qu’on veuille avoir la série qui exprime cette puissance, ordonnée par rapport aux puissances mêmes de l’exposant
on aura
![{\displaystyle (1+z)^{t}=1+t\zeta +{\frac {t^{2}\zeta ^{2}}{2}}++{\frac {t^{3}\zeta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994be2262e05aae6d4cc0a3de1a3d7aaacf1ee68)
étant le logarithme hyperbolique de ![{\displaystyle 1+z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084a22bf995b85e5f843d2d9e077c67236dc9008)
Car, faisant dans la série du numéro précédent
![{\displaystyle m=(1+z)^{t},\quad \gamma =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acf3450f492c1dd2bfea172b0c720375d741fc5)
on aura
![{\displaystyle \log m=\operatorname {log\,hyp} (1+z)^{t}=t\operatorname {log\,hyp} (1+z)=t\zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3dc749b5ba9e5fc5c711c3df92937934a482a7)
donc, etc.